Квадрат теңдеу

Study Notes

Квадрат теңдеу

Анықтама: Квадрат теңдеу - x айнымалысының дәрежесі 2 болатын теңдеу. Жалпы түрі: [ ax^2 + bx + c = 0 ] мұнда:
- ( a ), ( b ), ( c ) - коэффициенттер ( ( a \neq 0 ) ).
Коэффициенттер:
- ( a ) - квадрат коэффициенті;
- ( b ) - сызықтық коэффициент;
- ( c ) - бос мүшесі.
Түбірлерін табу әдістері:
1. Дискриминант әдісі:
  - Дискриминант ( D ) формуласы: [ D = b^2 - 4ac ]
  - Түбірлер саны:
    - ( D > 0 ): 2 түрлі түбір.
    - ( D = 0 ): 1 көпжақты түбір (дублет).
    - ( D < 0 ): түбір жоқ (комплекс түбірлер).
2. Квадрат түбір алу:
  - Егер ( D ) оң болса: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
График:
- Квадрат теңдеудің графигі - парабола.
- Параболаның ашылу бағыты:
  - ( a > 0 ): жоғарыға;
  - ( a < 0 ): төменге.
Формаларды қайта жазу:
- Вершина формасы: [ y = a(x - h)^2 + k ] мұнда ( (h, k) ) - параболаның вершиналық нүктесі.
Қолдану салалары:
- Физика, экономика, инженерия және т.б. ғылыми есептерде.
Мысал:
- Теңдеу: ( 2x^2 - 4x - 6 = 0 )
  - Дискриминант: [ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64 ]
  - Түбірлер: [ x_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{4} ]
    - ( x_1 = 3 )
    - ( x_2 = -1 )

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение имеет форму: [ ax^2 + bx + c = 0 ] где ( a \neq 0 ).
Коэффициенты уравнения:
- ( a ): квадратный коэффициент;
- ( b ): линейный коэффициент;
- ( c ): свободный член.

Методы нахождения корней

Метод дискриминанта:
- Дискриминант вычисляется по формуле: [ D = b^2 - 4ac ]
- Возможные ситуации при значение ( D ):
  - ( D > 0 ): два различных корня.
  - ( D = 0 ): один корень (двойной).
  - ( D < 0 ): нет корней (комплексные корни).
Квадратный корень:
- При ( D > 0 ) корни находятся по формуле: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

График

График квадратного уравнения представляет собой параболу.
Направление открытия параболы:
- ( a > 0 ): открывается вверх;
- ( a < 0 ): открывается вниз.

Переписывание форм

Вершинная форма параболы: [ y = a(x - h)^2 + k ] где ( (h, k) ) — вершина параболы.

Применение

Квадратные уравнения используются в физике, экономике, инженерии и других научных расчетах.

Пример

Уравнение: ( 2x^2 - 4x - 6 = 0 )
- Вычисление дискриминанта: [ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64 ]
- Нахождение корней: [ x_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{4} ]
  - Корень ( x_1 = 3 )
  - Корень ( x_2 = -1 )