Комплексные числа и их свойства

Комплексное число вида z = x + iy, где x и y - действительные числа, а i - мнимая единица (i² = -1).

Комплексное число вида z = r(cos  + i sin ), где r - модуль комплексного числа,  - аргумент комплексного числа, i - мнимая единица (i² = -1).

Комплексное число вида z = rei, где r - модуль комплексного числа,  - аргумент комплексного числа, i - мнимая единица (i² = -1), e - основание натурального логарифма.

Модуль комплексного числа z = x + iy вычисляется по формуле |z| = √(x² + y²).

Сумма двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 вычисляется по формуле z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2).

Разность двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 вычисляется по формуле z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2).

Произведение двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 вычисляется по формуле z1 * z2 = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + y1x2).

Частное двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 вычисляется по формуле z1 / z2 = [(x1x2 + y1y2) + i(y1x2 - x1y2)] / (x2² + y2²).

Действительная часть комплексного числа z обозначена как Re z = x, где x - действительное число.

Мнимая часть комплексного числа z обозначена как Im z = y, где y - действительное число.

Формула Муавра: zn = (r(cos  + i sin ))n = rn(cos n  + i sin n ), где r - модуль комплексного числа,  - аргумент комплексного числа, n - целое число.

i² = -1, где i - мнимая единица.

i³ = -i, где i - мнимая единица.

i⁴ = 1, где i - мнимая единица.

(2 + 5i) + (1 – 7i) = 3 – 2i.

(2 + 3i) + (4 – 5i) = 6 – 2i.

(2 + 3i) + (4 – 8i) = 6 – 5i.

(3 – 9i) – (7 + i) = -4 – 10i.

(2 – 3i) – (1 – 5i) = 1 + 2i.

(6 – 2i) – (4 + 3i) = 2 – 5i.

(2 + 3i) (4 – 8i) = 32 – 4i.

(1 + 2i) (3 – i) = 5 + 5i.

(2 + 3i) (4 – 5i) = 23 + 2i.

(23 + i) / (3 + i) = 7 – 2i.

(3 + i) / (4 – i) = (11 + 7i) / 17.

(5 – 2i) / (3 – 2i) = (19 + 4i) / 13.

(23 – i) / (3 – i) = 7 + 2i.