قواعد التفاضل والتكامل

Study Notes

قواعد التفاضل

قاعدة القوة: إذا كانت ( f(x) = x^n )، فإن ( f'(x) = n \cdot x^{n-1} ).
قاعدة الجمع: إذا كانت ( f(x) = g(x) + h(x) )، فإن ( f'(x) = g'(x) + h'(x) ).
قاعدة الطرح: إذا كانت ( f(x) = g(x) - h(x) )، فإن ( f'(x) = g'(x) - h'(x) ).
قاعدة الضرب: إذا كانت ( f(x) = g(x) \cdot h(x) )، فإن ( f'(x) = g(x) \cdot h'(x) + g'(x) \cdot h(x) ).
قاعدة القسمة: إذا كانت ( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} )، فإن [ f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2} ]
قاعدة السلسلة: إذا كانت ( f(g(x)) )، فإن [ f'(g(x)) \cdot g'(x) ]
التفاضل الدالي: استخدام الاشتقاق لإيجاد المشتقات العالية أو التطبيقات في علم الجبر.

تطبيقات التكامل

المساحة تحت المنحنى: يتم حساب المساحة تحت منحنى دالة ( f(x) ) باستخدام التكامل غير المحدود.
حساب الحجم: يمكن حساب حجم الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام تكاملات معينة (مثل طريقة الأقراص أو الحلقات).
تبسيط المعادلات: استخدام التكامل لتحويل المعادلات العادية إلى معادلات بسيطة تسهل الحل.
حساب العمل: في الفيزياء، يمكن استخدام التكامل لحساب العمل المنجز بواسطة قوة متغيرة.
تطبيقات اقتصادية: مثل حساب التكامل في تقدير تكاليف الإنتاج أو الإيرادات على مدى فترة زمنية.
نظرية القيمة المتوسطة: إذا كانت ( f ) مستمرة على [a, b] وقابلة للاشتقاق في (a, b)، فإن هناك نقطة ( c ) بحيث [ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ]
التكامل المحدود: يعدل حدود التكامل للحصول على قيم معينة أو تقديرات للمساحات أو الكميات.

قواعد التفاضل

قاعدة القوة: للمشتقة من دالة مرفوعة للقوة ( n )، تتحول إلى ( n \cdot x^{n-1} ).
قاعدة الجمع: المشتقة لجمع دالتين هي مجموع مشتقات الدالتين.
قاعدة الطرح: المشتقة لطرح دالتين هي الفرق بين مشتقات الدالتين.
قاعدة الضرب: المشتقة لجداء دالتين تشمل كلتا المشتقتين مضاف إليهما حاصل ضرب الدالتين.
قاعدة القسمة: لحساب المشتقة لدالة كسرية، استخدم قاعدة القسمة، التي توفر معادلة معقدة تعتمد على مشتقات البسط والمقام.
قاعدة السلسلة: عند الاشتقاق لدالة مركبة، اضرب مشتقة الدالة الخارجية في مشتقة الدالة الداخلية.
التفاضل الدالي: يُستخدم لإيجاد المشتقات العالية وله تطبيقات في علم الجبر.

تطبيقات التكامل

المساحة تحت المنحنى: يتم حسابها باستخدام التكامل غير المحدود، والذي يساعد في تحديد المساحات الضمنية.
حساب الحجم: يُستخدم التكامل لدراسة حجم الكائنات الناتجة عن الدوران، مثل التقنيات المعتمدة على طريقة الأقراص أو الحلقات.
تبسيط المعادلات: عبر التكامل، يمكن تحويل المعادلات العادية إلى صيغ مبسطة لتسهيل الحل.
حساب العمل: في الفيزياء، يُستخدم التكامل لتحديد العمل المنجز بواسطة قوة متغيرة.
تطبيقات اقتصادية: مثل تقدير تكاليف الإنتاج والإيرادات على مدى زمن محدد باستخدام التكامل.
نظرية القيمة المتوسطة: تُشير إلى وجود نقطة تضمن مساواة المشتقة لنسبة التغير بين نقطتين معينتين.
التكامل المحدود: يسمح بتحديد حدود التكامل للحصول على قيم محددة أو تقديرات للمساحات أو الكميات.

Description

يستعرض هذا الاختبار القواعد الأساسية للتفاضل والتكامل، بما في ذلك قواعد القوة والجمع والطرح والضرب والقسمة. كما يتطرق إلى التطبيقات العملية للتكامل، مثل حساب المساحة والحجم. اختبر معلوماتك حول هذه الموضوعات الأساسية في الرياضيات.