قواعد التفاضل والتكامل

قواعد التفاضل

• قاعدة القوة: إذا كانت ( f(x) = x^n )، فإن ( f'(x) = n \cdot x^{n-1} ).
• قاعدة الجمع: إذا كانت ( f(x) = g(x) + h(x) )، فإن ( f'(x) = g'(x) + h'(x) ).
• قاعدة الطرح: إذا كانت ( f(x) = g(x) - h(x) )، فإن ( f'(x) = g'(x) - h'(x) ).
• قاعدة الضرب: إذا كانت ( f(x) = g(x) \cdot h(x) )، فإن ( f'(x) = g(x) \cdot h'(x) + g'(x) \cdot h(x) ).
• قاعدة القسمة: إذا كانت ( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} )، فإن [ f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2} ]
• قاعدة السلسلة: إذا كانت ( f(g(x)) )، فإن [ f'(g(x)) \cdot g'(x) ]
• التفاضل الدالي: استخدام الاشتقاق لإيجاد المشتقات العالية أو التطبيقات في علم الجبر.

تطبيقات التكامل

• المساحة تحت المنحنى: يتم حساب المساحة تحت منحنى دالة ( f(x) ) باستخدام التكامل غير المحدود.
• حساب الحجم: يمكن حساب حجم الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام تكاملات معينة (مثل طريقة الأقراص أو الحلقات).
• تبسيط المعادلات: استخدام التكامل لتحويل المعادلات العادية إلى معادلات بسيطة تسهل الحل.
• حساب العمل: في الفيزياء، يمكن استخدام التكامل لحساب العمل المنجز بواسطة قوة متغيرة.
• تطبيقات اقتصادية: مثل حساب التكامل في تقدير تكاليف الإنتاج أو الإيرادات على مدى فترة زمنية.
• نظرية القيمة المتوسطة: إذا كانت ( f ) مستمرة على [a, b] وقابلة للاشتقاق في (a, b)، فإن هناك نقطة ( c ) بحيث [ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ]
• التكامل المحدود: يعدل حدود التكامل للحصول على قيم معينة أو تقديرات للمساحات أو الكميات.

قواعد التفاضل

• قاعدة القوة: للمشتقة من دالة مرفوعة للقوة ( n )، تتحول إلى ( n \cdot x^{n-1} ).
• قاعدة الجمع: المشتقة لجمع دالتين هي مجموع مشتقات الدالتين.
• قاعدة الطرح: المشتقة لطرح دالتين هي الفرق بين مشتقات الدالتين.
• قاعدة الضرب: المشتقة لجداء دالتين تشمل كلتا المشتقتين مضاف إليهما حاصل ضرب الدالتين.
• قاعدة القسمة: لحساب المشتقة لدالة كسرية، استخدم قاعدة القسمة، التي توفر معادلة معقدة تعتمد على مشتقات البسط والمقام.
• قاعدة السلسلة: عند الاشتقاق لدالة مركبة، اضرب مشتقة الدالة الخارجية في مشتقة الدالة الداخلية.
• التفاضل الدالي: يُستخدم لإيجاد المشتقات العالية وله تطبيقات في علم الجبر.

تطبيقات التكامل

• المساحة تحت المنحنى: يتم حسابها باستخدام التكامل غير المحدود، والذي يساعد في تحديد المساحات الضمنية.
• حساب الحجم: يُستخدم التكامل لدراسة حجم الكائنات الناتجة عن الدوران، مثل التقنيات المعتمدة على طريقة الأقراص أو الحلقات.
• تبسيط المعادلات: عبر التكامل، يمكن تحويل المعادلات العادية إلى صيغ مبسطة لتسهيل الحل.
• حساب العمل: في الفيزياء، يُستخدم التكامل لتحديد العمل المنجز بواسطة قوة متغيرة.
• تطبيقات اقتصادية: مثل تقدير تكاليف الإنتاج والإيرادات على مدى زمن محدد باستخدام التكامل.
• نظرية القيمة المتوسطة: تُشير إلى وجود نقطة تضمن مساواة المشتقة لنسبة التغير بين نقطتين معينتين.
• التكامل المحدود: يسمح بتحديد حدود التكامل للحصول على قيم محددة أو تقديرات للمساحات أو الكميات.