Podcast
Questions and Answers
ما هي نتيجة تطبيق قاعدة القوة على الدالة $f(x) = x^3$؟
ما هي نتيجة تطبيق قاعدة القوة على الدالة $f(x) = x^3$؟
- $6x^2$
- $2x^3$
- $3x^2$ (correct)
- $x^2$
عند استخدام قاعدة الجمع، ما هي صيغة المشتق لدالة $f(x) = 2x^2 + 3x$؟
عند استخدام قاعدة الجمع، ما هي صيغة المشتق لدالة $f(x) = 2x^2 + 3x$؟
- $6x$
- $2x + 3$
- $5x^2$
- $4x + 3$ (correct)
ما هي الصيغة الصحيحة لمشتق الدالة $f(x) = rac{x^2 + 1}{x - 1}$ باستخدام قاعدة القسمة؟
ما هي الصيغة الصحيحة لمشتق الدالة $f(x) = rac{x^2 + 1}{x - 1}$ باستخدام قاعدة القسمة؟
- $ rac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}$ (correct)
- $ rac{0}{(x - 1)^2}$
- $ rac{(x^2 + 1)(2)}{(x - 1)^2}$
- $ rac{(x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)}$
كيف يستخدم التكامل لحساب المساحة تحت منحنى دالة $f(x)$؟
كيف يستخدم التكامل لحساب المساحة تحت منحنى دالة $f(x)$؟
ماذا تعبر نظرية القيمة المتوسطة عن العلاقة بين $f(c)$ و $f'(c)$؟
ماذا تعبر نظرية القيمة المتوسطة عن العلاقة بين $f(c)$ و $f'(c)$؟
أي من التطبيقات التالية تعتبر مثالًا على استخدام التكامل لحساب العمل؟
أي من التطبيقات التالية تعتبر مثالًا على استخدام التكامل لحساب العمل؟
عند استخدام قاعدة الطرح على الدالة $f(x) = g(x) - h(x)$، ماذا ستكون نتيجة مشتقها؟
عند استخدام قاعدة الطرح على الدالة $f(x) = g(x) - h(x)$، ماذا ستكون نتيجة مشتقها؟
كيف يتم استخدام التكامل في العلوم الاقتصادية؟
كيف يتم استخدام التكامل في العلوم الاقتصادية؟
إذا كانت $f(x) = x^4$، فما هي نتيجة تطبيق قاعدة السلسلة لمشتق الدالة $f(g(x))$؟
إذا كانت $f(x) = x^4$، فما هي نتيجة تطبيق قاعدة السلسلة لمشتق الدالة $f(g(x))$؟
Flashcards are hidden until you start studying
Study Notes
قواعد التفاضل
- قاعدة القوة: إذا كانت ( f(x) = x^n )، فإن ( f'(x) = n \cdot x^{n-1} ).
- قاعدة الجمع: إذا كانت ( f(x) = g(x) + h(x) )، فإن ( f'(x) = g'(x) + h'(x) ).
- قاعدة الطرح: إذا كانت ( f(x) = g(x) - h(x) )، فإن ( f'(x) = g'(x) - h'(x) ).
- قاعدة الضرب: إذا كانت ( f(x) = g(x) \cdot h(x) )، فإن ( f'(x) = g(x) \cdot h'(x) + g'(x) \cdot h(x) ).
- قاعدة القسمة: إذا كانت ( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} )، فإن [ f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2} ]
- قاعدة السلسلة: إذا كانت ( f(g(x)) )، فإن [ f'(g(x)) \cdot g'(x) ]
- التفاضل الدالي: استخدام الاشتقاق لإيجاد المشتقات العالية أو التطبيقات في علم الجبر.
تطبيقات التكامل
- المساحة تحت المنحنى: يتم حساب المساحة تحت منحنى دالة ( f(x) ) باستخدام التكامل غير المحدود.
- حساب الحجم: يمكن حساب حجم الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام تكاملات معينة (مثل طريقة الأقراص أو الحلقات).
- تبسيط المعادلات: استخدام التكامل لتحويل المعادلات العادية إلى معادلات بسيطة تسهل الحل.
- حساب العمل: في الفيزياء، يمكن استخدام التكامل لحساب العمل المنجز بواسطة قوة متغيرة.
- تطبيقات اقتصادية: مثل حساب التكامل في تقدير تكاليف الإنتاج أو الإيرادات على مدى فترة زمنية.
- نظرية القيمة المتوسطة: إذا كانت ( f ) مستمرة على [a, b] وقابلة للاشتقاق في (a, b)، فإن هناك نقطة ( c ) بحيث [ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ]
- التكامل المحدود: يعدل حدود التكامل للحصول على قيم معينة أو تقديرات للمساحات أو الكميات.
قواعد التفاضل
- قاعدة القوة: للمشتقة من دالة مرفوعة للقوة ( n )، تتحول إلى ( n \cdot x^{n-1} ).
- قاعدة الجمع: المشتقة لجمع دالتين هي مجموع مشتقات الدالتين.
- قاعدة الطرح: المشتقة لطرح دالتين هي الفرق بين مشتقات الدالتين.
- قاعدة الضرب: المشتقة لجداء دالتين تشمل كلتا المشتقتين مضاف إليهما حاصل ضرب الدالتين.
- قاعدة القسمة: لحساب المشتقة لدالة كسرية، استخدم قاعدة القسمة، التي توفر معادلة معقدة تعتمد على مشتقات البسط والمقام.
- قاعدة السلسلة: عند الاشتقاق لدالة مركبة، اضرب مشتقة الدالة الخارجية في مشتقة الدالة الداخلية.
- التفاضل الدالي: يُستخدم لإيجاد المشتقات العالية وله تطبيقات في علم الجبر.
تطبيقات التكامل
- المساحة تحت المنحنى: يتم حسابها باستخدام التكامل غير المحدود، والذي يساعد في تحديد المساحات الضمنية.
- حساب الحجم: يُستخدم التكامل لدراسة حجم الكائنات الناتجة عن الدوران، مثل التقنيات المعتمدة على طريقة الأقراص أو الحلقات.
- تبسيط المعادلات: عبر التكامل، يمكن تحويل المعادلات العادية إلى صيغ مبسطة لتسهيل الحل.
- حساب العمل: في الفيزياء، يُستخدم التكامل لتحديد العمل المنجز بواسطة قوة متغيرة.
- تطبيقات اقتصادية: مثل تقدير تكاليف الإنتاج والإيرادات على مدى زمن محدد باستخدام التكامل.
- نظرية القيمة المتوسطة: تُشير إلى وجود نقطة تضمن مساواة المشتقة لنسبة التغير بين نقطتين معينتين.
- التكامل المحدود: يسمح بتحديد حدود التكامل للحصول على قيم محددة أو تقديرات للمساحات أو الكميات.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
