قواعد الاشتقاق: الضرب والقسمة وتمارين

قاعدة مشتقة ضرب دالتين

• إذا كانت ع و ل دالتين بدلالة س، فإن مشتقة ضربهما تساوي (ع´) × ل + ع × (ل´).
• يمكن تذكر هذه القاعدة كـ: (الدالة الأولى × مشتقة الدالة الثانية) + (الدالة الثانية × مشتقة الدالة الأولى).

قاعدة مشتقة قسمة دالتين

• إذا كانت ع و ل دالتين بدلالة س، فإن مشتقة قسمتهما تساوي: (ل × ع´ - ع × ل´) / ل².
• يمكن تذكر هذه القاعدة كـ: (المقام × مشتقة البسط - البسط × مشتقة المقام) / (المقام)².

تمارين على قواعد الاشتقاق

• استخدم قاعدة مشتقة ضرب دالتين لإيجاد مشتقة الدوال المعطاة بالنسبة إلى س.
• أوجد ميل المماس لمنحنى الدالة ص = س² + 4س عند النقطة (3، 9).
• أوجد معادلة المماس للمنحنى ص = س(س + 1)² عند النقطة (1، 16).
• أوجد ميل المماس لمنحنى الدالة ص = (س + 2)(س - 1) عند النقطة التي يتقاطع فيها المنحنى مع محور الصادات.
• أوجد إحداثيات النقطة الحرجة الواقعة على المنحنى ص = س² - 7س + 3.
• أوجد الإحداثي السيني للنقطة الواقعة على منحنى الدالة ص = (س + 2)(1 - 2س) حيث ميل المماس يساوي صفرًا.
• دالة معادلتها ص = (س - 3)(س + 4):
  • أوجد قيمة الإحداثي السيني لكل نقطة حرجة.
  • حدد نوع كل نقطة حرجة.
  • ارسم منحنى الدالة.
• استخدم قاعدة مشتقة قسمة دالتين لإيجاد مشتقة الدوال المعطاة بالنسبة إلى س.

تمارين متنوعة على الاشتقاق

• أوجد مشتقة الدوال المختلفة بالنسبة إلى س.
• أوجد إحداثيات النقاط الواقعة على المنحنى ص = (س - 1) / (2س + 5) التي يكون عندها المماس موازيًا لمحور السينات.
• أوجد إحداثيات النقاط الحرجة للمنحنى ص = س² / (2س - 1).
• أوجد إحداثيات النقاط الواقعة على المنحنى ص = (1 - 2س) / (س - 5) التي عندها ميل المماس للمنحنى يساوي 1.
• أوجد معادلة المماس للمنحنى ص = (س - 5) / (2س + 1) عند النقطة التي يقطع فيها المنحنى محور الصادات.
• أوجد معادلة العمودي على مماس المنحنى ص = (2س - 1) / (س(س - 3)) عند النقطة الواقعة على المنحنى، والتي عندها س = 2.
• أوجد الإحداثي السيني للنقطة الواقعة على المنحنى ص = (س + 1) / (س² - 1) التي عندها ميل مماس المنحنى يساوي صفرًا.

تحديد الثوابت في الدوال

• إذا علمت أن ص = (أ س²) / (س² + 1) ، فبين أن ص´= (س (أ س² + ب)) / ((س² + 1)² ل) ، ثم أوجد قيمة كل من أ، ب، ل.

شرح لقاعدة مشتقة ضرب دالتين وقاعدة مشتقة قسمة دالتين في علم التفاضل. يتضمن الشرح أمثلة وتمارين متنوعة لتطبيق هذه القواعد وإيجاد ميل المماس ومعادلة المماس للمنحنيات المختلفة. تشمل التمارين إيجاد النقط الحرجة والإحداثيات السينية لها.