Karmaşık Sayılar ve their Forms

Complex Numbers

Cartesian Form

• A complex number can be represented in Cartesian form as:
  • z = a + bi
  • a is the real part (Re(z))
  • b is the imaginary part (Im(z))
  • i is the imaginary unit (i = √(-1))

Polar Form

• A complex number can be represented in polar form as:
  • z = r(cos(θ) + i*sin(θ))
  • r is the modulus (or magnitude) of z
  • θ is the argument (or angle) of z
• Conversion between Cartesian and polar forms:
  • r = √(a² + b²)
  • θ = arctan(b/a)

De Moivre's Theorem

• De Moivre's Theorem states that for any complex number z = r(cos(θ) + i*sin(θ)):
  • z^n = r^n(cos(nθ) + i*sin(nθ))
  • This theorem can be used to raise a complex number to a power or find roots of a complex number
• Example: find the cube of z = 2(cos(30°) + i*sin(30°))
  • z^3 = 2^3(cos(330°) + isin(330°)) = 8(cos(90°) + isin(90°)) = 8i

Trigonometric Identities

• Important trigonometric identities used in complex numbers:
  • cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
  • sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
  • cos²(a) + sin²(a) = 1
• These identities can be used to simplify complex expressions and prove identities involving complex numbers.

Karmiş Sayılar

Kartezyen Form

• Karmiş sayılar Kartezyen formunda şu şekilde temsil edilir:
  • z = a + bi
  • a, gerçek kısım (Re(z))
  • b, imginary kısım (Im(z))
  • i, imginary birim (i = √(-1))

Poler Form

• Karmiş sayılar Poler formunda şu şekilde temsil edilir:
  • z = r(cos(θ) + i*sin(θ))
  • r, z'nin modülüsü (veya büyüklüğü)
  • θ, z'nin argümanı (veya açısı)
• Kartezyen ve Poler formları arasında dönüştürme:
  • r = √(a² + b²)
  • θ = arctan(b/a)

De Moivre Teoremi

• De Moivre Teoremi, herhangi bir karmiş sayı z = r(cos(θ) + i*sin(θ)) için:
  • z^n = r^n(cos(nθ) + i*sin(nθ))
  • Bu teorem, karmiş sayının bir kuvvette arttırılması veya karmiş sayının köklerinin bulunması için kullanılır
• Örnek: z = 2(cos(30°) + i*sin(30°))'nin kübünü bulun
  • z^3 = 2^3(cos(330°) + isin(330°)) = 8(cos(90°) + isin(90°)) = 8i

Trigonometrik Kimlikler

• Karmiş sayılar için önemli trigonometrik kimlikler:
  • cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
  • sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
  • cos²(a) + sin²(a) = 1
• Bu kimlikler, karmiş ifadelerin basitleştirilmesi ve karmiş sayılar içeren kimliklerin kanıtlanması için kullanılır.