कलननाशास्त्र का परिचय

Calculus

Definition: The branch of mathematics that studies continuous change, focusing on limits, functions, derivatives, integrals, and infinite series.
Key Concepts:
- Limits: The value that a function approaches as the input approaches some value.
- Derivatives: Measures the rate at which a quantity changes; the slope of the tangent line to a curve.
  - Notation: f'(x) or dy/dx.
  - Applications: Optimization problems, motion analysis.
- Integrals: Represents the accumulation of quantities, such as areas under curves.
  - Definite Integrals: Compute the area under a curve between two points.
  - Indefinite Integrals: Represents a family of functions; includes a constant of integration (C).
- Fundamental Theorem of Calculus: Connects differentiation and integration, stating that differentiation and integration are inverse processes.
Techniques:
- Differentiation Techniques: Product rule, quotient rule, chain rule.
- Integration Techniques: Substitution, integration by parts, partial fractions.
Applications:
- Physics: Motion, forces, and energy calculations.
- Economics: Cost functions, marginal analysis.

Percentage (%)

Definition: A way to express a number as a fraction of 100. It is often used to compare relative sizes or to indicate changes.
Key Concepts:
- Calculation:
  - Finding a percentage of a number: (Percentage × Total) / 100.
  - Converting a fraction or decimal to a percentage: Multiply by 100.
- Increase/Decrease:
  - Percentage increase: ((New Value - Original Value) / Original Value) × 100.
  - Percentage decrease: ((Original Value - New Value) / Original Value) × 100.
Applications:
- Financial mathematics: Interest rates, discounts, taxes.
- Statistics: Analyzing data sets and survey results.
Common Percentages:
- 50% = 1/2
- 25% = 1/4
- 10% = 1/10
Real-World Usage:
- Budgeting: Calculating expenditure percentages.
- Sales: Applying discounts and determining profit margins.

कलन

परिभाषा: गणित की एक शाखा जो निरंतर परिवर्तन का अध्ययन करती है, जो सीमाओं, कार्यों, व्युत्क्रमों, समाकलों, और अनंत श्रृंखलाओं पर ध्यान केंद्रित करती है।
मुख्य सिद्धांत:
- सीमाएँ: यह उस मान को दर्शाता है जो एक कार्य तब पहुंचता है जब इनपुट किसी मान के करीब पहुंचता है।
- व्युत्क्रम: यह किसी मात्रा के बदलने की दर को दर्शाता है; एक वक्र पर स्पर्श रेखा की ढलान।
- संकेतांकन: f'(x) या dy/dx के रूप में दर्शाया जाता है।
- अनुप्रयोग: अनुकूलन समस्याएं, गति विश्लेषण।
समाकल: यह मात्राओं के संचय का प्रतिनिधित्व करता है, जैसे वक्र के नीचे क्षेत्रों का।
निश्चित समाकल: यह दो बिंदुओं के बीच वक्र के नीचे का क्षेत्र निकालता है।
असंख्य समाकल: यह कार्यों का एक परिवार दर्शाता है; इसमें समाकलन का एक स्थिरांक (C) शामिल होता है।
कलन का मौलिक प्रमेय: व्युत्क्रमण और समाकलन को जोड़ता है, stating कि व्युत्क्रमण और समाकलन विपरीत प्रक्रियाएं हैं।
तकनीक:
- व्युत्क्रमण तकनीकें: उत्पाद नियम, भागफल नियम, श्रृंखला नियम।
- समाकल तकनीकें: प्रतिस्थापन, भागों द्वारा समाकलन, आंशिक भिन्न।
अनुप्रयोग:
- भौतिकी: गति, बल, और ऊर्जा गणनाएं।
- अर्थशास्त्र: लागत कार्य, सीमांत विश्लेषण।

प्रतिशत (%)

परिभाषा: किसी संख्या को 100 के अंश के रूप में व्यक्त करने का एक तरीका। यह अक्सर सापेक्ष आकारों की तुलना करने या परिवर्तनों को इंगित करने के लिए उपयोग किया जाता है।
मुख्य सिद्धांत:
- गणना:
  - किसी संख्या का प्रतिशत निकालना: (प्रतिशत × कुल) / 100।
  - भिन्न या दशमलव को प्रतिशत में बदलना: 100 से गुणा करें।
- बढ़ोतरी/घटौती:
  - प्रतिशत वृद्धि: ((नया मान - मूल मान) / मूल मान) × 100।
  - प्रतिशत कमी: ((मूल मान - नया मान) / मूल मान) × 100।
अनुप्रयोग:
- वित्तीय गणित: ब्याज दरें, छूट, कर।
- सांख्यिकी: डेटा सेट का विश्लेषण और सर्वेक्षण परिणाम।
साधारण प्रतिशत:
- 50% = 1/2
- 25% = 1/4
- 10% = 1/10
वास्तविक दुनिया में उपयोग:
- बजटिंग: खर्च के प्रतिशत की गणना करना।
- बिक्री: छूट लागू करना और लाभ मार्जिन निर्धारित करना।