कैलकुलस चैप्टर 1: लिमिट्स और डेरिवेटिव्स

Calculus

Limits

• A limit represents the behavior of a function as the input (x) approaches a specific value
• Notation: lim x→a f(x) = L, read as "the limit as x approaches a of f(x) is L"
• Properties of limits:
  • Linearity: lim x→a [af(x) + bg(x)] = a lim x→a f(x) + b lim x→a g(x)
  • Homogeneity: lim x→a [f(x)g(x)] = [lim x→a f(x)][lim x→a g(x)]

Derivatives

• A derivative represents the rate of change of a function with respect to its input
• Notation: f'(x) or (d/dx)f(x), read as "the derivative of f with respect to x"
• Rules of differentiation:
  • Power rule: if f(x) = x^n, then f'(x) = nx^(n-1)
  • Product rule: if f(x) = u(x)v(x), then f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
  • Chain rule: if f(x) = g(h(x)), then f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)

Integrals

• A definite integral represents the area under a curve between two points
• Notation: ∫[a, b] f(x) dx, read as "the integral from a to b of f with respect to x"
• Properties of integrals:
  • Linearity: ∫[a, b] [af(x) + bg(x)] dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx
  • Additivity: ∫[a, c] f(x) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx

Geometry

Points, Lines, and Planes

• A point is a location in space, represented by an ordered pair (x, y) or triple (x, y, z)
• A line is a set of points extending infinitely in two directions, represented by the equation ax + by = c
• A plane is a flat surface, represented by the equation ax + by + cz = d

Angles and Measurements

• An angle is formed by two rays sharing a common endpoint (vertex)
• Angle measurements: degrees, radians, or revolutions
• Types of angles:
  • Acute: < 90°
  • Right: = 90°
  • Obtuse: > 90° and < 180°
  • Straight: = 180°

Shapes and Solids

• Types of shapes:
  • Polygon: a closed shape with at least three sides (e.g., triangle, quadrilateral)
  • Circle: a set of points equidistant from a central point (center)
• Types of solids:
  • Polyhedron: a three-dimensional shape with flat faces (e.g., cube, pyramid)
  • Sphere: a set of points equidistant from a central point (center)

कैलक्युलस

सीमा

• एक सीमा एक फंक्शन के व्यवहार का प्रतिनिधित्व करती है जैसे ही इनपुट (x) एक विशिष्ट मान की ओर बढ़ता है
• नोटेशन: lim x→a f(x) = L, "x के a मान की ओर बढ़ते हुए f(x) की सीमा L है"
• सीमा के गुण:
  • रैखिक: lim x→a [af(x) + bg(x)] = a lim x→a f(x) + b lim x→a g(x)
  • समता_homogeneity: lim x→a [f(x)g(x)] = [lim x→a f(x)][lim x→a g(x)]

अवकलज

• एक अवकलज एक फंक्शन के इनपुट के सापेक्ष दर का प्रतिनिधित्व करता है
• नोटेशन: f'(x) or (d/dx)f(x), "f का अवकलज x के सापेक्ष"
• अवकलन के नियम:
  • शक्ति नियम: यदि f(x) = x^n, तो f'(x) = nx^(n-1)
  • गुणन नियम: यदि f(x) = u(x)v(x), तो f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
  • श्रृंखला नियम: यदि f(x) = g(h(x)), तो f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)

इंटीग्रल

• एक निश्चित इंटीग्रल एक कर्व के नीचे के क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करता है
• नोटेशन: ∫[a, b] f(x) dx, "a से b तक f का इंटीग्रल x के सापेक्ष"
• इंटीग्रल के गुण:
  • रैखिक: ∫[a, b] [af(x) + bg(x)] dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx
  • Additivity: ∫[a, c] f(x) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx

ज्यामिति

बिंदु, रेखाएं, और समतल

• एक बिंदु एक स्थान है, जिसका प्रतिनिधित्व एक क्रमित जोड़े (x, y) या त्रिविम क्रमित त्रिज्या (x, y, z) द्वारा किया जाता है
• एक रेखा दो दिशाओं में विस्तृत एक बिंदु सेट है, जिसका प्रतिनिधित्व एक समीकरण ax + by = c द्वारा किया जाता है
• एक समतल एक फ्लैट सतह है, जिसका प्रतिनिधित्व एक समीकरण ax + by + cz = d द्वारा किया जाता हा

कोण और माप

• एक कोण दो किरणों के मिलने से बनता है, जिसका निर्धारण एक बिंदु (शीर्ष) द्वारा किया जाता है
• कोण माप:
  • डिग्री
  • रेडियन
  • क्रांति
• कोण के प्रकार:
  • तीक्ष्ण: < 90°
  • समरूप: = 90°
  • लंब: > 90° और < 180°
  • सीधा: = 180°

आकार और ठोस

• आकार के प्रकार:
  • बहुभुज: एक करीब की आकृति जिसमें कम से कम तीन भुजा होती हैं (उदाहरण, त्रिभुज, चतुर्भुज)
  • वृत्त: एक 集 के स्थान जो केंद्र से समान दूरी पर होता है
• ठोस के प्रकार:
  • बहुफलक: एक त्रिविम आकृति जिसमें फ्लैट फेस होते हैं (उदाहरण, घन, पिरामिड)
  • गोला: एक सेट के स्थान जो केंद्र से समान दूरी पर होता है