Podcast
Questions and Answers
একটি জটিল সংখ্যা $z = a + bi$ এর মধ্যে কিসের পরিচয় দিচ্ছে?
একটি জটিল সংখ্যা $z = a + bi$ এর মধ্যে কিসের পরিচয় দিচ্ছে?
জটিল সংখ্যা $z = a + bi$ এর মডুলাস বা আকারের সূত্র কী?
জটিল সংখ্যা $z = a + bi$ এর মডুলাস বা আকারের সূত্র কী?
যদি $z = 3 + 4i$ হয়, তবে $z$ এর কনজুগেট $z̅$ হবে?
যদি $z = 3 + 4i$ হয়, তবে $z$ এর কনজুগেট $z̅$ হবে?
জটিল সংখ্যার গুণনের ফলাফল $(a + bi)(c + di)$ এর জন্য সঠিক সূত্র কী?
জটিল সংখ্যার গুণনের ফলাফল $(a + bi)(c + di)$ এর জন্য সঠিক সূত্র কী?
Signup and view all the answers
জটিল সংখ্যা $a + bi$ এর জন্য উপযুক্ত অভিযোগের বৈশিষ্ট্য কোনটি?
জটিল সংখ্যা $a + bi$ এর জন্য উপযুক্ত অভিযোগের বৈশিষ্ট্য কোনটি?
Signup and view all the answers
জটিল সংখ্যা কোন ধরনের সংখ্যা সিস্টেম গঠন করে?
জটিল সংখ্যা কোন ধরনের সংখ্যা সিস্টেম গঠন করে?
Signup and view all the answers
যদি $z = 5 + 12i$, তবে $|z|$ এর মান কত হবে?
যদি $z = 5 + 12i$, তবে $|z|$ এর মান কত হবে?
Signup and view all the answers
ইউলার ফর্মুলার মাধ্যমে জটিল সংখ্যা $e^(iθ)$ কে কীভাবে প্রকাশ করা হয়?
ইউলার ফর্মুলার মাধ্যমে জটিল সংখ্যা $e^(iθ)$ কে কীভাবে প্রকাশ করা হয়?
Signup and view all the answers
কোন সূত্র দ্বারা জটিল সংখ্যার n-থ মূলে পৌঁছানো যায়?
কোন সূত্র দ্বারা জটিল সংখ্যার n-থ মূলে পৌঁছানো যায়?
Signup and view all the answers
Study Notes
Complex Numbers
-
Definition: A complex number is a number that can be expressed in the form a + bi, where:
- a is the real part
- b is the imaginary part
- i is the imaginary unit, defined as (i^2 = -1)
-
Components:
- Real Part: The value of a in the complex number.
- Imaginary Part: The value of b in the complex number, multiplied by i.
-
Representation:
- Cartesian Form: a + bi
-
Polar Form: r(cos θ + i sin θ) or re^(iθ), where:
- r = magnitude (modulus) of the complex number
- θ = argument (angle) of the complex number in radians
-
Operations:
- Addition: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- Subtraction: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
- Multiplication: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
- Division: (a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c^2 + d^2)] + [(bc - ad) / (c^2 + d^2)]i
-
Magnitude:
- The magnitude (or modulus) of a complex number z = a + bi is given by:
- |z| = √(a² + b²)
- The magnitude (or modulus) of a complex number z = a + bi is given by:
-
Conjugate:
- The conjugate of a complex number z = a + bi is:
- z̅ = a - bi
- Properties:
- z + z̅ = 2a
- z * z̅ = a² + b² = |z|²
- The conjugate of a complex number z = a + bi is:
-
Applications:
- Used in various fields such as engineering, physics, and applied mathematics.
- Important in solving polynomial equations that do not have real roots.
-
Euler's Formula:
- Relates complex exponentials to trigonometric functions:
- e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)
- Relates complex exponentials to trigonometric functions:
-
Roots of Complex Numbers:
- The n-th roots of a complex number can be found using:
- r^(1/n) [cos(θ/n + 2kπ/n) + i sin(θ/n + 2kπ/n)], for k = 0, 1, ..., n-1
- The n-th roots of a complex number can be found using:
-
Key Properties:
- Complex numbers can be added, subtracted, multiplied, and divided.
- They form a two-dimensional number system, extending the real numbers.
জটিল সংখ্যা
-
সংজ্ঞা: জটিল সংখ্যা হল এমন একটি সংখ্যা যা a + bi আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে:
- a হল বাস্তব অংশ
- b হল কাল্পনিক অংশ
- i হল কাল্পনিক একক, যা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে হিসেবে (i^2 = -1)
-
উপাদান:
- বাস্তব অংশ: জটিল সংখ্যায় a এর মান।
- কাল্পনিক অংশ: জটিল সংখ্যায় b এর মান, যা i দ্বারা গুণিত।
-
প্রতিনিধিত্ব:
- কার্টেসিয়ান আকার: a + bi
-
পোলার আকার: r(cos θ + i sin θ) বা re^(iθ), যেখানে:
- r = জটিল সংখ্যার মাত্রা (মডিউলাস)
- θ = জটিল সংখ্যার তর্ক (কোণ) রেডিয়ানে
-
অপারেশনস:
- যোগ: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- বিয়োগ: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
- গুণন: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
- বিভাগ: (a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c^2 + d^2)] + [(bc - ad) / (c^2 + d^2)]i
-
মাত্রা:
- একটি জটিল সংখ্যা z = a + bi এর মাত্রা (বা মডিউলাস) হল:
- |z| = √(a² + b²)
- একটি জটিল সংখ্যা z = a + bi এর মাত্রা (বা মডিউলাস) হল:
-
মানসিক:
- একটি জটিল সংখ্যা z = a + bi এর মানসিক হল:
- z̅ = a - bi
- গুণাবলী:
- z + z̅ = 2a
- z * z̅ = a² + b² = |z|²
- একটি জটিল সংখ্যা z = a + bi এর মানসিক হল:
-
অ্যাপ্লিকেশনস:
- প্রকৌশল, পদার্থবিজ্ঞান, এবং প্রয়োগিত গাণিতিক ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।
- বাস্তব মূল না থাকা পলিনোমিয়াল সমীকরণ সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ।
-
ইউলারের সূত্র:
- জটিল সূচকের সাথে ত্রিকোণের ফাংশনগুলোর সম্পর্ক:
- e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)
- জটিল সূচকের সাথে ত্রিকোণের ফাংশনগুলোর সম্পর্ক:
-
জটিল সংখ্যার মূল:
- একটি জটিল সংখ্যার n-থ মূল পাওয়া যায়:
- r^(1/n) [cos(θ/n + 2kπ/n) + i sin(θ/n + 2kπ/n)], k = 0, 1,..., n-1 এর জন্য
- একটি জটিল সংখ্যার n-থ মূল পাওয়া যায়:
-
কী গুণাবলী:
- জটিল সংখ্যাগুলি যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ করা যায়।
- এগুলি একটি দুই-মাত্রিক সংখ্যা ব্যবস্থা গঠন করে, বাস্তব সংখ্যা প্রসারিত করে।
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Description
এই কুইজে জটিল সংখ্যার সংজ্ঞা, উপাদান এবং প্রতিনিধিত্ব নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। জটিল সংখ্যা যেমন রিয়েল এবং কল্পনাপ্রবণ অংশ নিয়ে গঠিত হয়, সেগুলি বুঝতে সহায়ক একটি দিক। এছাড়াও, এর বিভিন্ন গাণিতিক ক্রিয়া যেমন যোগফল এবং গুণফল নিয়ে প্রশ্ন রয়েছে।
