İrrasyonel Sayı Özellikleri

Properties of Irrational Numbers

Density

• Irrational numbers are dense in the real numbers, meaning that every non-empty open interval of real numbers contains an irrational number.
• This means that no matter how small the interval, there will always be an irrational number within it.

Non-terminating and Non-repeating

• Irrational numbers have decimal expansions that are non-terminating and non-repeating.
• This means that the decimal representation of an irrational number goes on indefinitely without repeating in a predictable pattern.

Uncountability

• Irrational numbers are uncountable, meaning that there are uncountably many irrational numbers.
• This is in contrast to rational numbers, which are countable.

Transcendence

• Irrational numbers can be either algebraic or transcendental.
• Transcendental numbers are irrational numbers that are not the root of any polynomial equation with rational coefficients.

Relationship with Rational Numbers

• The sum of a rational number and an irrational number is always irrational.
• The product of a non-zero rational number and an irrational number is always irrational.
• The sum of two irrational numbers can be either rational or irrational.
• The product of two irrational numbers can be either rational or irrational.

Rasyonel Olmayan Sayıların Özellikleri

Yoğunluk

• Rasyonel olmayan sayılar, gerçek sayılar arasında yoğun olup, her boş açık aralıkta en az bir rasyonel olmayan sayı içerir.* Bunu, ne kadar küçük olursa olsun, her zaman bir rasyonel olmayan sayı bulmak mümkün demek.

###Sonlanmayan ve Tekrarlanmayan

• Rasyonel olmayan sayıların ondalık genişletmeleri sonsuzdur ve tekrar edilmez.* Bu, bir rasyonel olmayan sayının ondalık temsili sonsuz devam eder ve öngörülebilir bir modelle tekrar etmez.

###Sayılamazlık

• Rasyonel olmayan sayılar sayılabilir değil, yani sayılamaz.* Bu, rasyonel sayıların tersine, sayılabilir olduklarını gösterir.

Aşkın ve Cebirsel Sayılar

• Rasyonel olmayan sayılar, cebirsel veya aşkın olabilir.* Aşkın sayılar, rasyonel katsayılar ile herhangi bir polinom denkleminin kökü olmayan rasyonel olmayan sayılarıdır.

Rasyonel Sayılarla İlişkisi

• Bir rasyonel sayı ile rasyonel olmayan bir sayının toplamı her zaman rasyonel olur.* Sıfır olmayan bir rasyonel sayı ile rasyonel olmayan bir sayının çarpımı her zaman rasyonel olur.* İki rasyonel olmayan sayının toplamı, rasyonel veya rasyonel olmayan olabilir.* İki rasyonel olmayan sayının çarpımı, rasyonel veya rasyonel olmayan olabilir.