Introduzione alla Ricerca Operativa e Programmazione Lineare
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Introduzione alla Ricerca Operativa e Programmazione Lineare

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Questions and Answers

Cos'è un punto di minimo vincolato in un problema di programmazione matematica?

  • Un punto in cui la funzione obiettivo è massima.
  • Un punto scelto casualmente senza riguardo per i vincoli.
  • Un punto che non soddisfa i vincoli del problema.
  • Un punto che appartiene all'insieme S e minimizza la funzione obiettivo. (correct)

    • Quali delle seguenti opzioni descrive meglio un problema di programmazione lineare?

  • Una funzione obiettivo non lineare con vincoli non lineari.
  • Un problema di decisone senza vincoli.
  • Una funzione obiettivo lineare soggetta a vincoli lineari. (correct)
  • Un problema senza una funzione obiettivo definita.

    • In un problema di programmazione lineare, cosa rappresentano le costanti scalari $c_j$ e $a_{ij}$?

  • Variabili aleatorie del problema.
  • Le soluzioni ottimali del problema.
  • Limiti superiori delle variabili.
  • Coefficienti della funzione obiettivo e dei vincoli. (correct)

    • Qual è la forma generale di un problema di programmazione lineare?

    <p>minimizzare o massimizzare una funzione obiettivo lineare con vincoli lineari.</p> Signup and view all the answers

    Qual è un esempio pratico di applicazione della programmazione lineare?

    <p>Pianificazione della produzione in un'industria con più stabilimenti.</p> Signup and view all the answers

    Quali tipi di vincoli possono essere presenti in un problema di programmazione lineare?

    <p>Un mix di vincoli di disuguaglianza e uguaglianza.</p> Signup and view all the answers

    Cosa indica l'espressione $z(x) = c_1 x_1 + c_2 x_2 + ext{...} + c_n x_n$ in un problema di programmazione lineare?

    <p>Una funzione obiettivo lineare.</p> Signup and view all the answers

    Quando si dice che un insieme S è convesso?

    <p>Quando ogni punto in S è collegato da un segmento di retta ad un altro punto in S.</p> Signup and view all the answers

    Qual è la definizione di un problema di programmazione lineare?

    <p>Minimizzazione o massimizzazione di una funzione obiettivo lineare con vincoli lineari.</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo agli insiemi convessi?

    <p>La combinazione convessa di vettori in un insieme convesso appartiene all'insieme convesso.</p> Signup and view all the answers

    Cosa rappresenta il vettore λi xi in un insieme convesso?

    <p>Una combinazione convessa dei vettori x1, x2,..., xk.</p> Signup and view all the answers

    Qual è una proprietà della convessità riguardo all'intersezione di insiemi?

    <p>L'intersezione di insiemi convessi è sempre un insieme convesso.</p> Signup and view all the answers

    Che cosa si intende per inviluppo convesso di vettori x1, x2,..., xk?

    <p>L'insieme di tutti i vettori combinazione convessa di x1, x2,..., xk.</p> Signup and view all the answers

    Quali possono essere considerati esempi di insiemi non convexi?

    <p>Una forma a ferro di cavallo.</p> Signup and view all the answers

    Qual è la condizione necessaria affinché un insieme S sia considerato convesso?

    <p>Ogni segmento tra due punti in S deve rimanere in S.</p> Signup and view all the answers

    Cosa indica il rango di una matrice A rispetto al suo numero di righe?

    <p>A ha rango pari al suo numero di righe.</p> Signup and view all the answers

    La definizione di insieme convesso può essere estesa a quale altro concetto?

    <p>Una media pesata di più vettori.</p> Signup and view all the answers

    Cosa rappresenta l'equazione ax1 + bx2 = d nel piano cartesiano?

    <p>Individua un fascio di rette al variare di d.</p> Signup and view all the answers

    Qual è la caratteristica principale dei problemi di Programmazione Lineare (PL) con due variabili decisionali?

    <p>Possono essere risolti immediatamente per via grafica.</p> Signup and view all the answers

    In che modo le disuguaglianze influenzano il piano cartesiano in relazione agli insiemi ammissibili?

    <p>Individua i semipiani rispetto alle rette.</p> Signup and view all the answers

    Qual è il significato dell'espressione 'xj ≥ 0 per j = 1, 2' nel contesto della programmazione lineare?

    <p>Le variabili devono essere maggiori o uguali a zero.</p> Signup and view all the answers

    Cosa succede alla retta x1 + 2x2 = d mentre d cresce in un problema di PL?

    <p>La retta si sposta in direzione opposta al vettore (1, 2)'.</p> Signup and view all the answers

    Qual è l'obiettivo della funzione obiettivo nel problema di programmazione lineare fornito?

    <p>Minimizzare z(x) = -x1 - x2.</p> Signup and view all the answers

    Qual è l'insieme ammissibile S nel problema di PL descritto?

    <p>È la regione mostrata in grigio nella figura.</p> Signup and view all the answers

    Cosa rappresenta $ heta^*$ nel contesto del metodo del simplesso?

    <p>Il massimo valore di $ heta$ per cui il vincolo è rispettato</p> Signup and view all the answers

    Quale condizione deve essere soddisfatta affinché $ heta^*$ sia pari a infinito?

    <p>Tutte le componenti del vettore $d$ devono essere positive</p> Signup and view all the answers

    Quando il vettore $x + heta d$ può diventare non ammissibile?

    <p>Quando di &lt; 0 per qualche i</p> Signup and view all the answers

    Qual è l’equazione per calcolare il massimo valore di $ heta$ quando esiste di < 0?

    <p>$ heta^* = ext{min} rac{-x_i}{d_i}$</p> Signup and view all the answers

    Cosa avviene dopo aver calcolato $ heta^* < ext{infinito}$?

    <p>Si forma una nuova matrice di base sostituendo la colonna $A_B(l)$</p> Signup and view all the answers

    Qual è il valore di $x̄_j$ dopo il calcolo di $ heta^*$?

    <p>$ heta^*$</p> Signup and view all the answers

    Perché il vincolo $A(x + heta d) = b$ è sempre rispettato?

    <p>Perché $Ad = 0$ per ogni $ heta$</p> Signup and view all the answers

    Qual è l’effetto del cambiamento della variabile in base $x_j = 0$?

    <p>Permette di calcolare $ heta^*$ in relazione alle componenti positive</p> Signup and view all the answers

    Qual è lo scopo principale della Ricerca Operativa?

    <p>Studiare metodologie e algoritmi per l'ottimizzazione delle risorse.</p> Signup and view all the answers

    Quale dei seguenti algoritmi è utilizzato per risolvere il problem del massimo flusso?

    <p>Algoritmo di Ford-Fulkerson</p> Signup and view all the answers

    Qual è una delle condizioni di optimalità per un Minimum Spanning Tree (MST)?

    <p>Non deve contenere cicli</p> Signup and view all the answers

    Quale algoritmo viene utilizzato per la pianificazione di progetti mediante il metodo del percorso critico?

    <p>Critical Path Method (CPM)</p> Signup and view all the answers

    Quale di queste affermazioni è vera riguardo ai problemi di flusso?

    <p>I flussi devono conservare la quantità totale all'interno della rete.</p> Signup and view all the answers

    Quale dei seguenti algoritmi è specifico per la risoluzione del problema del cammino minimo?

    <p>Algoritmo di Dijkstra</p> Signup and view all the answers

    Cosa definisce il problema del Vertex Cover Minimo?

    <p>Il numero minimo di vertici che coprono tutti i bordi in un grafo.</p> Signup and view all the answers

    Nella programmazione dinamica, quale dei seguenti approcci non è appropriato?

    <p>Utilizzare una sola soluzione per ogni sottoproblema</p> Signup and view all the answers

    Qual è l'algoritmo di cui si usa il termine 'visita in ampiezza'?

    <p>Breadth-First Search (BFS)</p> Signup and view all the answers

    Quale dei seguenti è un esempio di problema di Programmazione Lineare?

    <p>Massimizzare i profitti soggetti a vincoli di risorse</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Introduzione alla Ricerca Operativa

    • La Ricerca Operativa si occupa di sviluppare metodi e algoritmi per risolvere problemi di ottimizzazione, ovvero situazioni in cui è necessario prendere decisioni per utilizzare risorse limitate in modo da massimizzare il beneficio o minimizzare il costo.

    Programmazione Matematica

    • Un problema di Programmazione Matematica è la ricerca di soluzioni che ottimizzano una funzione obiettivo (massimizzazione o minimizzazione) in presenza di vincoli.

    Programmazione Lineare

    • La Programmazione Lineare è un tipo specifico di Programmazione Matematica dove sia la funzione obiettivo che i vincoli sono espressi da funzioni lineari.

    Esempi di Problemi di Programmazione Lineare

    • Problema di trasporto: Determinare i migliori percorsi di trasporto di un bene tra diversi punti di produzione e di distribuzione per minimizzare i costi.
    • Problema di miscelazione: Creare una miscela con un determinato rapporto di ingredienti per minimizzare il costo totale.

    Interpretazione e Soluzione Grafica dei Problemi di Programmazione Lineare

    • La soluzione grafica è possibile quando il problema ha solo due variabili decisionali.
    • L'insieme ammissibile (S) è la regione del piano delimitata dai vincoli, che sono rappresentati da linee rette.
    • Il punto di massimo o minimo vincolato è il punto all'interno di S che massimizza o minimizza la funzione obiettivo.

    Il Metodo del Simplesso

    • Metodo iterativo per risolvere problemi di Programmazione Lineare.
    • Si parte da una soluzione di base ammissibile (un punto all'interno di S).
    • Il metodo cerca di migliorare la funzione obiettivo muovendosi lungo un vettore di direzione (d) che punta verso il punto di ottimo.
    • La scelta di d deriva dai coefficienti della funzione obiettivo e dai vincoli attivi.
    • Ad ogni iterazione, una variabile entra in base (xj > 0 ) e una esce (xj = 0)
    • Il metodo termina quando non è possibile trovare una direzione che migliora la funzione obiettivo.

    Insiemi Convessi

    • Un insieme S è convesso se il segmento che unisce ogni coppia di punti di S è interamente contenuto dentro S.
    • L'intersezione di insiemi convessi è convessa.

    Teoria dei Grafi

    • I grafi sono strutture matematiche utilizzate per rappresentare relazioni tra elementi.
    • Un grafo è composto da nodi (vertici) e archi (spigoli) che li collegano.

    Tipologie di Grafi

    • Grafi non orientati: gli archi non hanno direzione (ad esempio: grafi di amicizia su un social network).
    • Grafi orientati: gli archi hanno una direzione (ad esempio: grafi che rappresentano il flusso di informazioni in una rete).

    Rappresentazione dei Grafi

    • Matrice di adiacenza: una matrice che indica se due nodi sono collegati da un arco.
    • Lista di adiacenza: per ogni nodo, una lista di nodi a lui adiacenti.

    Cammini in un Grafo

    • Un cammino è una sequenza di nodi collegati da archi.
    • La lunghezza di un cammino è il numero di archi che lo compongono.
    • Un cammino può essere semplice (non passa mai per lo stesso nodo due volte) o non semplice.

    Il Problema del Vertex Cover Minimo

    • Un problema di ottimizzazione su grafi che cerca un sottoinsieme minimo di nodi che copra tutti gli archi del grafo.
    • Esistono algoritmi di approssimazione per questo problema.

    Minimum Spanning Tree (MST)

    • Un albero che collega tutti i nodi di un grafo con il costo totale minimo.
    • Algoritmi per trovare l'MST:
      • Kruskal: greedy algorithm che seleziona l'arco di minor peso a ogni passo.
      • Prim: algoritmo che parte da un nodo e seleziona il nodo adiacente più vicino.

    Problemi di Cammino Minimo

    • Trovare il cammino di lunghezza minima tra due nodi in un grafo.
    • Algoritmi:
      • Dijkstra: trova il cammino minimo da un nodo sorgente a tutti gli altri nodi.
      • Floyd-Warshall: trova il cammino minimo tra ogni coppia di nodi.

    Pianificazione di un Progetto

    • Utilizza grafi per rappresentare le attività di un progetto e le loro dipendenze.
    • Critical Path Method (CPM): definisce il percorso critico, ovvero la sequenza di attività che determina la durata minima del progetto.

    Problemi di Flusso

    • Rappresentano il movimento di un bene o di un’informazione attraverso una rete.
    • Problema del Massimo Flusso: massimizzare il flusso che passa da una sorgente a un pozzo.
    • Flusso a Costo Minimo: minimizzare il costo totale del trasporto.
    • Algoritmo di Ford-Fulkerson: trova il massimo flusso in una rete.

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    Questo quiz esplora i fondamenti della Ricerca Operativa, con un focus particolare sulla Programmazione Matematica e Lineare. Attraverso esempi pratici, come il problema di trasporto e di miscelazione, i partecipanti impareranno come ottimizzare decisioni e risorse. Testa le tue conoscenze sulla formulazione e risoluzione di problemi di ottimizzazione.

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