Introduzione ai Grafi
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Questions and Answers

Qual è il set V nell'esempio dei Ponti di Königsburg?

  • {percorsi possibili tra i ponti}
  • {coppie di persone che si sono strette la mano}
  • {persone che vivono in Italia} (correct)
  • {archi tra i punti}

    • Euler ha dimostrato che è possibile attraversare tutti i ponti esattamente una volta.

    False

    Qual è la condizione fondamentale per poter attraversare ogni arco di un grafo esattamente una volta?

    Le estremità del grafo devono avere un numero pari di archi.

    Nel contesto dei ponti di Königsburg, E rappresenta __________.

    <p>{coppie di persone che si sono strette la mano} o {(x, y) tale che x ha inviato una mail a y}</p> Signup and view all the answers

    Abbina i termini ai loro significati in relazione al grafo di Königsburg:

    <p>Vertici = Punti nel grafo dove gli archi si incontrano Archivi = Collegamenti tra i vertici Grafo = Rappresentazione delle relazioni Multigrafo = Grafo con più archi tra le stesse coppie di vertici</p> Signup and view all the answers

    In quale anno è stato formulato il problema dei Ponti di Königsburg?

    <p>1736</p> Signup and view all the answers

    Un grafo può avere più archi tra lo stesso paio di vertici.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Cosa dimostrò Euler riguardo alla passeggiata di Königsburg?

    <p>Che non è possibile partire da un vertice e ritornare attraversando ogni ponte esattamente una volta.</p> Signup and view all the answers

    Qual è la funzione peso in un grafo pesato G = (V, E)?

    <p>W : E → R</p> Signup and view all the answers

    Un sottografo H di G deve necessariamente avere E* ⊆ V* × V*.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Qual è la differenza principale tra un grafo orientato e un grafo non orientato?

    <p>In un grafo non orientato, gli archi non hanno una direzione.</p> Signup and view all the answers

    Che cosa rappresenta il simbolo ∞ nel contesto del grafo pesato?

    <p>Un peso infinito</p> Signup and view all the answers

    Nella relazione non simmetrica, le coppie ordinate rappresentano un grafo non orientato.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Il grafo pesato (G, W) è composto da un grafo G e una funzione ______.

    <p>peso</p> Signup and view all the answers

    Quali sono i due archi diversi menzionati nella terminologia?

    <p>(A, D) e (D, A)</p> Signup and view all the answers

    Abbina i seguenti archi con i loro pesi:

    <p>(A, B) = 3 (D, E) = -2.3 (C, F) = ∞ (A, D) = 1.2</p> Signup and view all the answers

    In un grafo non orientato, le coppie sono dette ________.

    <p>non ordinate</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo ai sottografi?

    <p>Un sottografo H deve avere V* ⊆ V.</p> Signup and view all the answers

    Abbina i termini alla loro definizione corretta:

    <p>Grafo orientato = Coppie ordinate Grafo non orientato = Coppie non ordinate Arco = Connessione tra due vertici Vertice = Punto in un grafo</p> Signup and view all the answers

    Nel grafo pesato, i pesi degli archi possono essere sia positivi che negativi.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Qual è la definizione corretta di un vertice adiacente?

    <p>Un vertice x è adiacente a y se (y, x) ∈ E</p> Signup and view all the answers

    Quali vertici sono presenti nel sottografo H = (V*, E*)?

    <p>{A, C, D, E}</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni è corretta riguardo agli archi in un grafo?

    <p>Ogni arco in un grafo è unico e può apparire solo una volta.</p> Signup and view all the answers

    L'arco (A, D) è incidente da D a A.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Nella notazione per i graffi orientati, (A, D) e (D, A) denotano lo stesso arco.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Quali sono i vertici del grafo di esempio fornito?

    <p>{A, B, C, D, E, F}</p> Signup and view all the answers

    Quali vertici sono adiacenti a B?

    <p>A e C</p> Signup and view all the answers

    Il vertice F non è adiacente a _____ vertice.

    <p>alcun</p> Signup and view all the answers

    Associa le coppie di archi ai relativi casi di adiacenza:

    <p>(A, B) = A è adiacente a B (B, D) = B è adiacente a D (C, E) = C è adiacente a E (D, A) = D è adiacente a A</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo alle adiacenze nel grafo?

    <p>C è adiacente a B, D e E</p> Signup and view all the answers

    Il vertice A è adiacente solo a D.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Indica se C è o meno adiacente a D.

    <p>Sì, C è adiacente a D.</p> Signup and view all the answers

    Qual è una caratteristica di una foresta in un grafo non orientato?

    <p>È aciclico</p> Signup and view all the answers

    Un albero è una foresta.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Cosa indica la matrice di adiacenza in un grafo?

    <p>Indica quali nodi sono connessi tra loro.</p> Signup and view all the answers

    M(x, y) = 1 se (x, y) ∈ E, altrimenti M(x, y) = ______.

    <p>0</p> Signup and view all the answers

    Abbina i seguenti definiti a ciascuna descrizione:

    <p>Foresta = Grafo aciclico non necessariamente connesso Albero = Foresta connessa Matrice di adiacenza = Rappresentazione dei collegamenti tra nodi Graficato non orientato = Grafo senza direzione sugli archi</p> Signup and view all the answers

    Quanti alberi ci sono in una foresta con due alberi?

    <p>Due</p> Signup and view all the answers

    Una matrice di adiacenza può avere valori negativi per rappresentare gli archi.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Qual è la differenza principale tra un albero e una foresta?

    <p>Un albero è connesso, mentre una foresta può non esserlo.</p> Signup and view all the answers

    Il grafo presentato nella matrice di adiacenza è un esempi di una ______ che contiene due alberi.

    <p>foresta</p> Signup and view all the answers

    Quale opzione descrive correttamente un grafo non orientato?

    <p>Gli archi non hanno direzione</p> Signup and view all the answers

    Che cos'è una lista di adiacenza?

    <p>Una lista di nodi e dei loro archi</p> Signup and view all the answers

    La matrice di adiacenza di un grafo pesato mostra solo la presenza o l'assenza di archi.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Qual è la formula per la matrice di adiacenza M(x, y)?

    <p>M(x, y) = W(x, y)</p> Signup and view all the answers

    Nella lista di adiacenza, L(x) è la lista di adiacenza del vertice _____

    <p>x</p> Signup and view all the answers

    Abbina il tipo di grafo con la sua caratteristica:

    <p>Grafo orientato = Gli archi hanno un verso definito Grafo pesato = Gli archi hanno un peso associato Lista di adiacenza = Rappresentazione efficace per grafo sparso Matrice di adiacenza = Rappresentazione efficace per grafo denso</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo alla matrice di adiacenza?

    <p>La matrice è quadrata e riflette le connessioni tra vertici</p> Signup and view all the answers

    Nei grafi orientati, la direzione degli archi non è rilevante.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    In un grafo pesato, cosa rappresenta il valore associato agli archi?

    <p>Il peso dell'arco</p> Signup and view all the answers

    Nel grafo, il vertice F ha una connessione di peso _____ con il vertice D.

    <p>1.2</p> Signup and view all the answers

    Quale rappresentazione è più adatta per un grafo denso?

    <p>Matrice di adiacenza</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Introduzione ai Grafi

    • I grafi sono strutture dati usate per rappresentare relazioni tra oggetti.
    • Un grafo è definito da un insieme di vertici (o nodi) e un insieme di archi che collegano questi vertici.
    • Gli archi possono essere orientati (con direzione) o non orientati (senza direzione).
    • Un grafo può rappresentare varie relazioni, come ad esempio contatti tra persone, strade tra città, o flussi di informazioni.

    Definizione di Grafo

    • Un grafo astratto G = (V, E) è composto da:
      • V: un insieme di vertici (nodi).
      • E: un insieme di archi (spigoli) che connettono coppie di vertici. Ogni arco connette due vertici.
    • I vertici rappresentano oggetti, mentre gli archi rappresentano relazioni tra questi oggetti.
    • I grafi possono essere orientati (gli archi hanno una direzione) o non orientati (gli archi non hanno una direzione).

    Esempi di Grafi

    • Esempio 1: Persone che vivono in Italia, con archi che collegano persone che si sono strette la mano.
      • Il grafo in questo caso è non orientato.
    • Esempio 2: Persone che vivono in Italia, con archi che collegano le coppie di persone che si sono scambiate mail.
      • Il grafo in questo caso è orientato.

    Terminologia dei Grafi

    • Relazione simmetrica: Grafo non orientato (coppie non ordinate). Ad esempio, se A è legato a B, allora anche B è legato ad A.
    • Relazione non simmetrica: Grafo orientato (coppie ordinate). Ad esempio, se A invia una mail a B, non significa che B abbia inviato una mail ad A.
    • Vertice adiacente: Due vertici sono adiacenti se sono connessi da un arco.
    • Grado di un vertice: Nel grafo non orientato è il numero di archi che incidono sul vertice. Nel grafo orientato, il grado entrante è il numero di archi che puntano al vertice, mentre il grado uscente è il numero di archi che partono dal vertice. Il grado totale è la somma dei due.

    Cammini e Raggiungibilità

    • Cammino: Una sequenza di vertici connessi da archi.
    • Cammino semplice: Un cammino in cui ogni vertice appare al massimo una volta.
    • Raggiungibilità: Un vertice y è raggiungibile da un vertice x se esiste un cammino da x a y.
    • Grafo connesso: Un grafo in cui ogni vertice è raggiungibile da ogni altro vertice.

    Grafi Speciali

    • Grafo completo: Un grafo in cui esiste un arco tra ogni coppia di vertici.
    • Grafo aciclico: Un grafo senza cicli.
    • Albero: Un grafo aciclico e connesso.
    • Albero radicato: Un albero con un vertice designato come radice.
    • Foresta: Un grafo aciclico. (Potrebbe essere composto da più di un albero)

    Rappresentazioni di Grafi

    • Matrice di adiacenza: Una matrice che indica se esiste un arco tra due vertici.
    • Lista di adiacenza: Una lista che per ogni vertice elenca i vertici adiacenti.

    (ulteriori dettagli): Pesi e Tempi

    • Grafo pesato: grafo in cui ad ogni arco corrisponde un peso (ad es., costo, distanza).
    • Cammino più breve: in un grafo pesato, un cammino che ha un peso minore.
    • Tempo di esecuzione: il tempo necessario per eseguire operazioni su un grafo (liste di adiacenza o matrici).

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