Introduction aux Matrices

Introduction aux Matrices

• Une matrice $A$ de taille $m \times n$ est un tableau rectangulaire de scalaires disposés en $m$ lignes et $n$ colonnes.
• $a_{ij}$ est l'élément situé à la $i$-ème ligne et $j$-ème colonne de $A$.
• $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ représente l'ensemble des matrices de taille $m \times n$ à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$.

Types de Matrices

• Une matrice colonne est une matrice de taille $m \times 1$.
• Une matrice ligne est une matrice de taille $1 \times n$.
• Une matrice carrée est une matrice de taille $n \times n$.
• La diagonale principale d'une matrice carrée $A$ est constituée des éléments $a_{ii}$ pour $i = 1, \dots, n$.
• Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments en dehors de la diagonale principale sont nuls.
• La matrice identité $I_n$ est une matrice diagonale de taille $n \times n$ dont les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1.

Opérations sur les Matrices

• (Addition) Pour $A, B \in \mathcal{M}{m,n}(\mathbb{K})$, la somme $A + B$ est une matrice de taille $m \times n$ avec $(A + B){ij} = a_{ij} + b_{ij}$.
• (Multiplication par un scalaire) Pour $A \in \mathcal{M}{m,n}(\mathbb{K})$ et $\alpha \in \mathbb{K}$, le produit $\alpha A$ est une matrice de taille $m \times n$ avec $(\alpha A){ij} = \alpha a_{ij}$.
• (Multiplication matricielle) Pour $A \in \mathcal{M}{m,p}(\mathbb{K})$ et $B \in \mathcal{M}{p,n}(\mathbb{K})$, le produit $AB$ est une matrice de taille $m \times n$ avec $(AB){ij} = \sum{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}$.
• (Transposition) Pour $A \in \mathcal{M}{m,n}(\mathbb{K})$, la transposée de $A$, notée $A^T$, est une matrice de taille $n \times m$ avec $(A^T){ij} = a_{ji}$.
• Une matrice carrée $A$ est symétrique si $A^T = A$, et antisymétrique si $A^T = -A$.

Propriétés des Opérations Matricielle

• L'addition matricielle est commutative et associative.
• La multiplication matricielle est associative mais non commutative en général.
• La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l'addition matricielle.
• $(A + B)^T = A^T + B^T$.
• $(\alpha A)^T = \alpha A^T$.
• $(AB)^T = B^T A^T$.

Exemples d'Opérations Matricielle

• $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ et $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}$, alors $A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix}$.
• $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$, alors $3A = \begin{bmatrix} 3 & 6 \ 9 & 12 \end{bmatrix}$.
• $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ et $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}$, alors $AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{bmatrix}$ et $BA = \begin{bmatrix} 23 & 34 \ 31 & 46 \end{bmatrix}$.
• $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$, alors $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 4 \end{bmatrix}$.