Introduction aux Courbes Paramétriques

Courbes Paramétriques : Introduction

• Ce document est une introduction à la géométrie paramétrique, explorant les courbes paramétriques, leurs propriétés et leurs applications en architecture.

Processus Génératifs des Courbes Paramétriques

• Les courbes paramétriques sont formées par le mouvement, capturant une trajectoire enregistrée.
• Une courbe se définit comme un ensemble unidimensionnel de points dans l'espace.
• Une courbe plane est entièrement contenue dans un seul plan.
• Une courbe gauche n'est pas contenue dans un seul plan.
• L'étude du mouvement en fonction du temps est connue sous le nom de cinématique.
• La position d'un point sur une courbe peut être exprimée en fonction du temps ou d'autres paramètres.
• La construction du jardinier pour une ellipse utilise deux piquets et une ficelle, exploitant la propriété des foyers F et F' où MF + MF' est constant et égal à L.

Équations des Courbes

• Un paramètre est suffisant pour définir la position d'un point M sur une courbe.
  • Par exemple, t = AI/L varie entre 0 et 1, mais les points M n'existent que pour t compris entre NF/L et 1 - NF/L.
• Une équation cartésienne exprime une relation entre x et y :
  • Forme explicite : y = f(x)
  • Forme implicite : f(x,y) = 0
  • Exemple : Cercle de rayon R centré en O : x² + y² - R² = 0
• Les équations paramétriques utilisent deux équations pour exprimer les coordonnées cartésiennes en fonction d'un paramètre.
  • Pour un cercle de rayon R centré en O : x = R cos(α), y = R sin(α), où α est l'angle.
• Le paramètre t peut représenter le temps en cinématique, la courbe étant l'ensemble des points M d'une trajectoire en fonction du temps.
  • Coordonnées cartésiennes : x = a cos(t), y = b sin(t), pour une ellipse où a et b sont des constantes.
• Pour une courbe dans l'espace, trois équations paramétriques sont nécessaires : x = f(t), y = g(t), z = h(t).

Propriétés Métriques des Courbes

• La caractérisation locale des courbes planes inclut la continuité, l'abscisse curviligne, la tangente, la normale et la courbure.
• La caractérisation locale des courbes gauches inclut la continuité, l'abscisse curviligne, le trièdre de Frenet, la courbure et la torsion.
• La continuité en un point M0 est une continuité d'ordre 0, sans trou, où M est entouré par d'autres points de la courbe.
• L'abscisse curviligne est la longueur s de la courbe mesurée à partir d'une origine O.
• La tangente en un point M0 est déterminée par la discrétisation et le calcul infinitésimal.
• La dérivée de la fonction y = f(x) est obtenue par la limite du taux d'accroissement.
• La tangente en M0 est la position limite de la droite passant par M0 = (x0, y0) = (x0, f(x0)), avec un coefficient directeur f'(x0).
• L'équation de la tangente en M0 est: y - f(x0) / x - x0 = f'(x0)
• La continuité tangentielle en M0 se produit lorsqu'une courbe reste localement du même côté de la tangente (point ordinaire) ou traverse sa tangente (point d'inflexion).
• Un point d'inflexion est une condition ou une courbe change de concavité
• La continuité d'ordre 1 assure la continuité des dérivées si tous les points sont ordinaires ou d'inflexion.
• Un point de rebroussement a la même direction de tangente, mais la courbe effectue un demi-tour brusque.
• Pour une courbe non dérivable comme le flocon de Von Koch, la courbe est continue mais non dérivable en chaque point, a une longueur infinie et est fractale.
• La normale en un point M0 est la droite perpendiculaire à la tangente.
• La courbure en un point M0 mesure la limite du rapport de la variation de direction de la tangente à la variation de l'abscisse curviligne (κ = dw/ds).
  • dw représente l'angle entre deux tangentes infiniment proches.
  • ds représente la variation de l'abscisse curviligne entre deux points infiniment voisins.
• Le rayon de courbure R est l'inverse de la courbure κ (R = 1/κ).
• Le centre de courbure est la position limite du point d'intersection des normales à la courbe de deux points infiniment proches.
• Un cercle osculateur en un point M0 épouse au mieux la courbe localement.
• Les calculs de courbure utilisent les dérivées secondes.
• Les points caractéristiques d'une courbe plane incluent les points de rebroussement, d'inflexion et anguleux, ainsi que les cercles osculateurs et les centres de courbure.
• Les courbes planes peuvent être définies par leur courbure.
  • Droite (courbure nulle, κ = 0)
  • Cercle (courbure constante non nulle, κ = a, a = cste ≠ 0)
  • Clothoïde (courbure proportionnelle à l'abscisse curviligne, κ = as, a = cste ≠ 0).

Caractérisation Locale des Courbes Gauches

• L'abscisse curviligne s est obtenue en fixant une origine O et un sens de parcours sur une courbe gauche.
• La tangente T est la position limite d'une sécante MM' lorsque M' tend vers M le long de la courbe.
• Le plan normal est perpendiculaire à la tangente T en M, contenant une infinité de normales à la courbe.
• Le plan osculateur est la position limite du plan formé par la tangente en M et le point M', contenant "au mieux" la courbe au voisinage de M.
• Le cercle osculateur dans le plan osculateur a un rayon égal au rayon de courbure R.
• La courbure κ d'une courbe gauche est égale à la courbure de sa projection sur le plan osculateur (κ = 1/R).
• La torsion τ d'une courbe gauche mesure la limite du rapport de la variation de direction du plan osculateur à la variation de longueur curviligne (τ = 1/T = dθ/ds).
• La normale principale N est l'intersection du plan normal et du plan osculateur.
• La binormale B est perpendiculaire à la tangente et à la normale principale, située dans le plan normal et perpendiculaire au plan osculateur.
• Le plan rectifiant contient la tangente et la binormale, perpendiculaire aux plans osculateur et normal.
• Le trièdre de Frenet (ou Serret-Frenet) est un trièdre trirectangle formé des plans osculateur, normal et rectifiant.

Repère de Frenet

• Le repère de Frenet (M, t, n, b) est un trièdre trirectangle direct, où t, n et b sont des vecteurs unitaires calculés en fonction de l'abscisse curviligne s.

Projection de la Courbe

• La projection sur le plan osculateur donne localement une parabole.
• La projection sur le plan rectifiant présente un point d'inflexion de tangente T et traverse son plan osculateur.
• La projection sur le plan normal montre un point de rebroussement et traverse son plan osculateur.

Exemple d'Hélice Droite

• Une hélice droite a un rayon R, une courbure constante non nulle (κ ≠ 1/R), et une torsion constante non nulle (τ ≠ 0).

Courbes de Bézier et NURBS

Courbes de Bézier

• Développées indépendamment par Paul de Casteljau (Citroën, 1959) et Pierre Bézier (Renault, 1962, système UNISURF).
• Simultanément, les splines ont été développées par Ferguson (Boeing), de Boor et Gordon (General Motors).
• Construites géométriquement à partir d'un polygone de contrôle (ou descripteur) reliant n points appelés ponts de contrôles ou pôles.
• L'algorithme de Casteljau divise chaque segment du polygone dans un rapport constant t (0 ≤ t ≤ 1).
• L'opération est répétée jusqu'à obtenir un point courant unique P(t), la courbe de Bézier étant l'ensemble des P(t) pour t entre 0 et 1.
• Une courbe de Bézier définie par trois points est une portion de parabole.
• Expressions paramétriques d'une courbe de Bézier à n+1 pôles. $$P(t) = \sum_{i=0}^{n}B_{i}^{n}(t)P_{i}$$

NURBS (Non-Uniformal Rational B-Splines)

• Les NURBS sont des B-splines rationnelles non uniformes.
• Elles permettent une gestion de continuité de degrés élevée et sont largement utilisées dans l'industrie et le design.
• Présent dans le logiciel Rhinoceros.
• La projection centrale (perspective) d'une NURBS est la courbe définie par la projection du descripteur.
• Les NURBS peuvent définir précisément n'importe quelle section conique.

Interpolation et Approximation

• L'interpolation cherche une courbe passant exactement par les points connus d'une courbe donnée.
• L'approximation(Ou lissage) détermine une courbe passant au mieux par un ensemble de points : la courbe exacte est alors inconnue.

Interpolation par une Courbe

• Elle consiste a chercher une courbe passant exactement par les points, connus d'une courbe donnée.
• On peut définir une NURBS passant par une liste ordonnée de points. La courbe obtenue est une interpolation, par une fonction particulière de type NURBS.
• si l’on obtient une série de points par un calcul de fonction f, la fonction obtenue par la NURBS ne sera pas rigoureusement identique à la fonction f.
• Plus le nombre de points est grand, plus l'interpolation est précise et plus la NURBS est proche de f.