Introduction à l'hydrostatique

• L'hydrostatique est l'étude des fluides au repos.

Contexte de la mécanique des fluides : définition d'un fluide

• Les états de la matière à l'échelle macroscopique comprennent les gaz, les liquides, les solides et le plasma.
• Plasma : gaz hautement ionisé, sans volume ni forme propre.
• Gaz : Pas de volume propre, tend à occuper tout le volume disponible, et pas de forme propre (particules quasi-indépendantes).
• Liquide : Volume propre difficilement compressible (déplacements spontanés mais interactions entre les particules), et pas de forme propre (prend la forme du récipient).
• Solide : Volume propre difficilement compressible (volume réduit autour des atomes à des positions fixes) et forme propre (mais déformations possibles sous contraintes).
• Les fluides englobent les liquides, les gaz et le plasma, qui ont une forme indéterminée et la capacité de s'écouler.
• Les fluides peuvent être caractérisés par leur compressibilité et leur diffusion moléculaire.
  • Le liquide a une compressibilité d'environ ≈- et une diffusion moléculaire de +.
  • Le gaz a une compressibilité de ++ et une diffusion moléculaire de ++.
  • Le plasma a une compressibilité de +++ et une diffusion moléculaire de +++.
• La masse volumique (ρ) et la densité (d) sont utilisées pour caractériser les fluides.
  • Pour un corps homogène de masse m et de volume V, la masse volumique est définie par ρ = m/V.
  • La masse volumique est mesurée en kg/m³ dans le Système International d'Unités (SI).
  • La densité est définie par d = ρ/ρref, où ρref est la masse volumique de référence.
  • La densité est sans dimension et sans unité.
• Pour le calcul de la densité, la référence est l'eau pour les liquides (ρ = 1000 kg/m³) et l'air pour les gaz (ρ = 1,3 kg/m³).
• Masse volumique typique de quelques substances:
  • Huile: 900 kg/m³ et une densité de 0,900
  • Eau: 1000 kg/m³ et une densité de 1,000
  • Eau de mer: 1025 kg/m³ et une densité de 1,025
  • Sang: 1060 kg/m³ et une densité de 1,060
  • NaCl: 2163 kg/m³ et une densité de 2,163
  • Mercure: 13590 kg/m³ et une densité de 13,59

Notion de pression, variation de la pression avec la hauteur

• La pression correspond à la norme de la force par unité de surface, définie par p = F⊥/S.
• La pression est définie en tout point du système, même en l'absence de paroi, en considérant une surface virtuelle S.
  • F1 est la force sur S du liquide à gauche de S.
  • F2 est la force sur S du liquide à droite de S.
• La pression à l'échelle microscopique est due aux mouvements des molécules.
  • Les chocs des molécules sur les parois entraînent des échanges d'énergie.
  • Pendant un temps Δt, l'énergie gagnée par la surface dépend des molécules contenues dans un volume défini par la surface S et leur déplacement L = v × Δt.
• La pression est un scalaire et non un vecteur.
• Unités de pression :
  • SI : N/m² ou Pascal (Pa), homogène à J/m³
  • Autres :
    • Atmosphère : 1 atm = 1,013 × 10⁵ Pa (pression atmosphérique moyenne au niveau de la mer)
    • Bar : 1 bar = 10⁵ Pa
    • Torr : 1 Torr = 133,32 Pa
    • mm de mercure : 760 mmHg = 1,013 × 10⁵ Pa
• La sensation douloureuse sur les tympans en plongée est due à une augmentation de la pression.
• La pression diminue avec l'altitude en montagne.
• Dans un fluide homogène au repos et soumis à la pesanteur, on isole une "boîte" de volume V à l'équilibre.
  • Bilan sur l’axe (Ox) : 𝑓₁ = 𝑓₂
  • Bilan sur l’axe (Oz) : 𝑓₃ = 𝑓₄
  • Bilan sur l’axe (Oy) : 𝑝₆ -𝑝₅ = ρhg
• Dans un fluide homogène (masse volumique constante) soumis à la pesanteur : pA = pB + ρgΔh
  • Formule valable si ρ est constante.
• Si on a des couches de fluides non miscibles, empilées:
  • pA = patm
  • pB = pA + ρ1gΔh1
  • pC = pB + ρ2gΔh2 = pA + ρ1gΔh1 + ρ2gΔh2
• Chaque 10 mètres, la pression augmente d'environ 10^5 Pa, ce qui équivaut à la pression atmosphérique.
  • Δp=ρgh = 10^5 Pa
• Origine des pressions exprimées en mm de mercure (ρ = 13600 kg/m³) :
  • dans un tube où on a fait le vide, on retourne celui-ci sur du mercure. Le mercure monte sur une hauteur h.
  • Formule : 𝑝_B = 𝑝_atm
  • Formule : 𝑝_atm = ρgh
  • Équivalence entre hauteur de mercure et pression atmosphérique : 760 mm Hg ↔ 1,013 × 10⁵ Pa
  • 10,33 m pour l'eau ↔ 1,013 × 10⁵ Pa
• Le théorème de Pascal explique que, dans un fluide incompressible, une augmentation de pression en un point se transmet intégralement dans tout le fluide.

Poussée d'Archimède

• La poussée d'Archimède explique pourquoi un iceberg flotte.
• Cette poussée est due à la différence de pressions à différentes altitudes dans l'eau.
• La pression est plus importante au niveau de la face horizontale inférieure.
• Expression : Fface superieure < Fface inferieure
• La poussée d'Archimède est la résultante des forces de pression, elle est verticale et orientée vers le haut.
• Elle s'exerce au centre de poussée, qui est le centre de gravité du volume de liquide déplacé.
• La norme de la poussée d'Archimède est le poids du volume de fluide déplacé par l'objet.
  • Elle est définie par PA = ρVi g.
    • ρ = masse volumique du fluide.
    • Vi = volume immergé de l'objet.
    • g = accélération de la pesanteur.
  • Lorsque l'objet de volume V est totalement immergé : V = Vi
  • Lorsque l'objet de volume V flotte partiellement immergé : V i < V
    • Si l'objet est à l'équilibre et soumis à son poids et à la poussée d'Archimède, et avec ρ₀ comme masse volumique : ρ₀Vg = ρVi g
• L'iceberg flotte à l'équilibre avec près de 88% du volume immergé car pglace/peau de mer = 0,88 = 88%.
  • ρglace = 900 kg.m-3
  • ρeau de mer = 1025 kg.m-3
  • ρglace × Viceberg × g = peau de mer × Vimmergé × g
• La poussée d'Archimède peut être appliquée à l'isostasie, où la croûte "flotte" sur le manteau terrestre.
  • Le manteau est plus dense que la croûte et se comporte comme un fluide sur de longues périodes.
• Diapir = formation géologique résultant de la remontée de roches légères dans des roches plus denses.
  • Différents types de diapirs selon leur composition : sel gemme, gypse (salifère), magma en fusion (granitique), liquide.
• Une application simplifiée du diapir est la lampe a lave:
  • Elle contient un liquide transparent et des boules de cire colorée.
  • La densité de la cire est légèrement supérieure à celle du liquide.
  • La cire remonte sous l'effet de la poussée d'Archimède lorsque la température augmente à la base de la lampe et la densité de la cire diminue.
  • La densité augmente à nouveau lorsqu'elle atteint le haut du tube, ce qui fait redescendre les boules de cire.