Introduction à l'algèbre linéaire

Algèbre linéaire

Définitions

• Un espace vectoriel $E$ est un ensemble avec une addition $+ : E \times E \rightarrow E$ et une multiplication par un scalaire $\cdot : \mathbb{K} \times E \rightarrow E$.
• Les axiomes d'espace vectoriel incluent l'associativité, la commutativité, l'existence d'un élément neutre et inverse, ainsi que la distributivité.
• Les éléments d'un espace vectoriel $E$ sont appelés vecteurs.
• $\mathbb{K}$ est souvent le corps des réels ($\mathbb{R}$) ou des complexes ($\mathbb{C}$).
• Une combinaison linéaire de vecteurs $v_1,..., v_n \in E$ est un vecteur de la forme $\lambda_1 v_1 +... + \lambda_n v_n$, où $\lambda_1,..., \lambda_n \in \mathbb{K}$.
• Un sous-ensemble $F \subset E$ est un sous-espace vectoriel si $0_E \in F$, $\forall u, v \in F, u + v \in F$ et $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall v \in F, \lambda v \in F$.
• Le sous-espace vectoriel engendré par $v_1,..., v_n \in E$ est l'ensemble de toutes leurs combinaisons linéaires, noté $Vect(v_1,..., v_n)$.
• Une famille de vecteurs $v_1,..., v_n \in E$ est libre si $\lambda_1 v_1 +... + \lambda_n v_n = 0_E$ implique $\lambda_1 =... = \lambda_n = 0$.
• Une famille de vecteurs $v_1,..., v_n \in E$ est génératrice si $Vect(v_1,..., v_n) = E$.
• Une base de $E$ est une famille de vecteurs à la fois libre et génératrice.
• Toutes les bases d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie ont le même nombre d'éléments.
• La dimension de $E$, notée $dim(E)$, est le nombre d'éléments dans une base de $E$.
• La somme de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ est $F + G = {v \in E \mid \exists u \in F, \exists w \in G, v = u + w}$.
• La somme est dite directe, notée $F \oplus G$, si $F \cap G = {0_E}$.
• Deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont supplémentaires si $E = F \oplus G$.

Applications linéaires

• Une application $f : E \rightarrow F$ entre deux espaces vectoriels est linéaire si $\forall u, v \in E, f(u + v) = f(u) + f(v)$ et $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall v \in E, f(\lambda v) = \lambda f(v)$.
• Le noyau de $f$ est défini par $Ker(f) = {v \in E \mid f(v) = 0_F}$.
• L'image de $f$ est définie par $Im(f) = {f(v) \mid v \in E}$.
• Le rang de $f$ est la dimension de son image, $rg(f) = dim(Im(f))$.
• Le théorème du rang: $dim(E) = dim(Ker(f)) + rg(f)$.
• Un isomorphisme est une application linéaire bijective.
• Un automorphisme est un isomorphisme où $E = F$.
• $\mathcal{L}(E, F)$ dénote l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$.
• $\mathcal{L}(E) = \mathcal{L}(E, E)$ est l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $E$.
• $\mathcal{L}(E)$ muni de la composition des applications est l'algèbre des endomorphismes de $E$.

Matrices

• Une matrice $A$ de taille $m \times n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ est un tableau de nombres $A = \begin{pmatrix} a_{11} &... & a_{1n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} &... & a_{mn} \end{pmatrix}$, où $a_{ij} \in \mathbb{K}$.
• L'ensemble des matrices de taille $m \times n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ est noté $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$.
• Si $m = n$, on note $\mathcal{M}n(\mathbb{K}) = \mathcal{M}{n,n}(\mathbb{K})$.
• Deux matrices de même taille peuvent être additionnées, et une matrice peut être multipliée par un scalaire.
• Deux matrices $A \in \mathcal{M}{m,n}(\mathbb{K})$ et $B \in \mathcal{M}{n,p}(\mathbb{K})$ peuvent être multipliées, et le résultat est une matrice $AB \in \mathcal{M}_{m,p}(\mathbb{K})$.
• La transposée d'une matrice $A \in \mathcal{M}{m,n}(\mathbb{K})$ est la matrice $A^T \in \mathcal{M}{n,m}(\mathbb{K})$ dont les coefficients sont définis par $(A^T){ij} = a{ji}$.
• Une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est inversible s'il existe une matrice $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telle que $AB = BA = I_n$, où $I_n$ est la matrice identité de taille $n$.
• La matrice $B$ est l'inverse de $A$, notée $A^{-1}$.
• Le déterminant d'une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est un scalaire noté $det(A)$.
• Une matrice $A$ est inversible si et seulement si $det(A) \neq 0$.

Valeurs propres et vecteurs propres

• Un vecteur propre d'une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est un vecteur non nul $v \in \mathbb{K}^n$ tel que $Av = \lambda v$ pour un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$.
• Le scalaire $\lambda$ est la valeur propre associée au vecteur propre $v$.
• Le polynôme caractéristique de $A$ est défini par $P_A(\lambda) = det(A - \lambda I_n)$.
• Les valeurs propres de $A$ sont les racines de son polynôme caractéristique.
• Le sous-espace propre associé à une valeur propre $\lambda$ est l'ensemble des vecteurs propres associés à $\lambda$, c'est-à-dire $E_\lambda = {v \in \mathbb{K}^n \mid Av = \lambda v} = Ker(A - \lambda I_n)$.
• Une matrice $A$ est diagonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$.
• Les éléments diagonaux de $D$ sont les valeurs propres de $A$, et les colonnes de $P$ sont les vecteurs propres de $A$.
• Une matrice $A \in \mathcal{M}n(\mathbb{K})$ est diagonalisable si et seulement si $\sum{\lambda \in Sp(A)} dim(E_\lambda) = n$, où $Sp(A)$ est l'ensemble des valeurs propres de $A$.

Orthogonalité

Définition

• Deux vecteurs $\mathbf{v}$ et $\mathbf{w}$ de $\mathbb{R}^n$ sont orthogonaux si $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$.
• Un vecteur $\mathbf{v}$ est orthogonal à un sous-espace $W$ de $\mathbb{R}^n$ si $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$ pour tout $\mathbf{w}$ dans $W$.

Complément orthogonal

• Le complément orthogonal de $W$ est l'ensemble de tous les vecteurs orthogonaux à $W$, noté $W^{\perp}$.

Théorème

• Le complément orthogonal $W^{\perp}$ d'un sous-espace $W$ de $\mathbb{R}^n$ est un sous-espace de $\mathbb{R}^n$.

Exemple: Calcul de $W^{\perp}$

• Soit $W = \text{Span}\left{ \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \ 0 \ -1 \end{bmatrix} \right}$.
• Cherchons $W^{\perp}$.
• Soit $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix}$ un vecteur de $W^{\perp}$.
• $\mathbf{v}$ doit être orthogonal aux vecteurs $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 2 \end{bmatrix}$ et $\begin{bmatrix} 2 \ 0 \ -1 \end{bmatrix}$.
• Cela donne les équations $x + y + 2z = 0$ et $2x - z = 0$.
• De la deuxième équation, $z = 2x$.
• En substituant dans la première équation, $x + y + 4x = 0$, donc $y = -5x$.
• Ainsi, $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \ -5x \ 2x \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \ -5 \ 2 \end{bmatrix}$.
• Donc, $W^{\perp} = \text{Span}\left{ \begin{bmatrix} 1 \ -5 \ 2 \end{bmatrix} \right}$.

Théorèmes supplémentaires

• $(W^{\perp})^{\perp} = W$
• $W \cap W^{\perp} = {\mathbf{0}}$

Liens entre les espaces ligne, colonne et noyau

• Soit $A$ une matrice $m \times n$.
• Alors $(\text{Row } A)^{\perp} = \text{Nul } A$ et $(\text{Col } A)^{\perp} = \text{Nul } A^T$.

Preuve de $(\text{Row } A)^{\perp} = \text{Nul } A$

• $A \mathbf{x} = \mathbf{0} \iff \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{x} = 0$ pour chaque ligne $\mathbf{a}_i$ de $A$.
• Cela veut dire que $\mathbf{x}$ est orthogonal à chaque ligne de $A$.
• Alors, $\mathbf{x} \in (\text{Row } A)^{\perp}$.
• D'où, $(\text{Row } A)^{\perp} = \text{Nul } A$.

Preuve de $(\text{Col } A)^{\perp} = \text{Nul } A^T$

• En remplaçant $A$ par $A^T$, on a $(\text{Row } A^T)^{\perp} = \text{Nul } A^T$.
• Comme $\text{Row } A^T = \text{Col } A$, on a $(\text{Col } A)^{\perp} = \text{Nul } A^T$.

Exemple : Calcul de $(\text{Col } A)^{\perp}$

• Soit $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
• On cherche $(\text{Col } A)^{\perp}$.
• $A^T = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 2 \end{bmatrix}$.
• $(\text{Col } A)^{\perp} = \text{Nul } A^T$.
• Donc, on doit trouver $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$, c'est-à-dire $x + y + 2z = 0$.
• $y = -x - 2z$, donc $\begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \ -x-2z \ z \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \ -1 \ 0 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 0 \ -2 \ 1 \end{bmatrix}$.
• $(\text{Col } A)^{\perp} = \text{Span}\left{ \begin{bmatrix} 1 \ -1 \ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \ -2 \ 1 \end{bmatrix} \right}$.

Matrices

Propriétés des opérations matricielles

• Les règles suivantes s'appliquent, en supposant que les matrices et les scalaires sont de tailles appropriées.
• $A + B = B + A$ (loi commutative de l'addition)
• $(A + B) + C = A + (B + C)$ (loi associative de l'addition)
• $A(BC) = (AB)C$ (loi associative de la multiplication)
• $A(B + C) = AB + AC$ (loi distributive)
• $(B + C)A = BA + CA$ (loi distributive)
• $a(B + C) = aB + aC$
• $(a + b)C = aC + bC$
• $A + 0 = A$
• $A - A = 0$
• $A0 = 0$
• $0A = 0$
• $AI = A$
• $IA = A$
• $a(BC) = (aB)C = B(aC) \equiv B aC$
• En général, $AB \neq BA$.

Matrices Spéciales

• Une matrice carrée $A$ qui satisfait $A^T = A$ est une matrice symétrique.
• Une matrice carrée $A$ qui satisfait $A^T = -A$ est une matrice antisymétrique.
• Une matrice diagonale $D = [d_{ij}]$ avec $d_{ij} = 0$ pour $i \neq j$.
• Une matrice diagonale $I_n$ avec tous les éléments diagonaux égaux à 1 est appelée la matrice identité $n \times n$.
• Une matrice triangulaire supérieure $U = [u_{ij}]$ avec $u_{ij} = 0$ pour $i > j$.
• Une matrice triangulaire inférieure $L = [l_{ij}]$ avec $l_{ij} = 0$ pour $i < j$.

Déterminant d'une matrice

• Le déterminant d'une matrice carrée $A$, noté det $A$ ou $|A|$, est une valeur scalaire qui peut être calculée à partir des éléments d'une matrice carrée.

Matrice $2 \times 2$

• Si $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$, alors $\det A = |A| = ad - bc$.

Matrice $3 \times 3$

• Si $A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix}$, alors $\det A = |A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$.

Propriétés des déterminants

• Si $A$ a une ligne ou une colonne de zéros, alors $\det A = 0$.
• Si $A$ a deux lignes ou colonnes identiques, alors $\det A = 0$.
• Si $B$ est obtenue en interchangeant deux lignes ou colonnes de $A$, alors $\det B = -\det A$.
• Si $B$ est obtenue en multipliant une ligne ou une colonne de $A$ par un scalaire $k$, alors $\det B = k \det A$.
• Si $B$ est obtenue en ajoutant un multiple d'une rangée à une autre ou un multiple d'une colonne à une autre, alors $\det B = \det A$.
• $\det(A^T) = \det A$.
• $\det(AB) = (\det A)(\det B)$.
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$.
• Si $A$ est triangulaire, alors $\det A$ est le produit des entrées sur la diagonale principale.

Inverse d'une matrice

• L'inverse d'une matrice carrée $A$, notée par $A^{-1}$, est une matrice telle que $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, où $I$ est la matrice identité.
• Si $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$, alors $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}$.
• $(A^{-1})^{-1} = A$.
• $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$.
• $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.

Trace d'une matrice

• La trace d'une matrice carrée $A$, notée tr($A$), est la somme des éléments de la diagonale principale de $A$.
• $\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$.
• $\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)$.
• $\text{tr}(kA) = k \text{tr}(A)$.
• $\text{tr}(A^T) = \text{tr}(A)$.
• $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$.
• $\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i$, où $\lambda_i$ sont les valeurs propres de $A$.

Cinétique chimique

• La cinétique est l'étude des vitesses de réaction.

Vitesse de réaction

• La vitesse de réaction est le changement de concentration d'un réactif ou d'un produit avec le temps.
• $A \rightarrow B$
• $Vitesse = -\frac{\Delta[A]}{\Delta t} = \frac{\Delta[B]}{\Delta t}$
  • La vitesse est toujours positive.
  • La vitesse diminue avec le temps.
• Pour la réaction : $aA + bB \rightarrow cC + dD$
• $Vitesse = -\frac{1}{a}\frac{\Delta [A]}{\Delta t} = -\frac{1}{b}\frac{\Delta [B]}{\Delta t} = \frac{1}{c}\frac{\Delta [C]}{\Delta t} = \frac{1}{d}\frac{\Delta [D]}{\Delta t}$

Exemple

• $N_2(g) + 3H_2(g) \rightarrow 2NH_3(g)$
• $-\frac{\Delta [N_2]}{\Delta t} = -\frac{1}{3}\frac{\Delta [H_2]}{\Delta t} = \frac{1}{2}\frac{\Delta [NH_3]}{\Delta t}$
• Si l'ammoniac est produit à une vitesse de $2.0 \times 10^{-4} M/s$, la vitesse de consommation d'azote est de $1.0 \times 10^{-4} M/s$.

Loi de vitesse

• La loi de vitesse exprime la relation entre la vitesse d'une réaction, la constante de vitesse, et les concentrations des réactifs portées à certaines puissances.
• $aA + bB \rightarrow cC + dD$
• $Vitesse = k[A]^x[B]^y$
  • $k$ est la constante de vitesse.
  • $x$ est l'ordre de la réaction par rapport à $A$.
  • $y$ est l'ordre de la réaction par rapport à $B$.
  • $x + y$ est l'ordre global de la réaction.
• Les valeurs des exposants $x$ et $y$ doivent être déterminées expérimentalement.

Exemple

• $2NO(g) + O_2(g) \rightarrow 2NO_2(g)$
• Expérimentalement, $Vitesse = k[NO]^2[O_2]$.
  • L'ordre par rapport à $NO$ est 2.
  • L'ordre par rapport à $O_2$ est 1.
  • L'ordre global de la réaction est 3.

Détermination de la loi de vitesse

• $S_2O_8^{-2}(aq) + 3I^-(aq) \rightarrow 2SO_4^{-2}(aq) + I_3^-(aq)$

• $Vitesse = k[S_2O_8^{-2}]^x[I^-]^y$

Étape 1 : Déterminer l'ordre par rapport à $I^-$

• $\frac{Vitesse_1}{Vitesse_2} = \frac{k[S_2O_8^{-2}]^x[I^-]^y}{k[S_2O_8^{-2}]^x[I^-]^y}$
• $\frac{2.2 \times 10^{-4}}{1.1 \times 10^{-4}} = \frac{k(0.080)^x(0.034)^y}{k(0.080)^x(0.017)^y}$
• $2 = (2)^y$
• $y = 1$

Étape 2 : Déterminer l'ordre par rapport à $S_2O_8^{-2}$

• $\frac{Vitesse_3}{Vitesse_1} = \frac{k[S_2O_8^{-2}]^x[I^-]^y}{k[S_2O_8^{-2}]^x[I^-]^y}$
• $\frac{4.4 \times 10^{-4}}{2.2 \times 10^{-4}} = \frac{k(0.160)^x(0.034)^y}{k(0.080)^x(0.034)^y}$
• $2 = (2)^x$
• $x = 1$
• $Vitesse = k[S_2O_8^{-2}][I^-]$

Étape 3 : Déterminer la constante de vitesse $k$

• $2.2 \times 10^{-4} M/s = k(0.080 M)(0.034 M)$
• $k = \frac{2.2 \times 10^{-4} M/s}{(0.080 M)(0.034 M)} = 0.081 M^{-1}s^{-1}$