Introduction à l'algèbre linéaire

Algèbre linéaire

• L'algèbre linéaire traite des espaces vectoriels et des transformations linéaires.

Définition d'un espace vectoriel

• Un espace vectoriel $E$ est muni d'une addition ($E \times E \rightarrow E$) et d'une multiplication scalaire ($\mathbb{K} \times E \rightarrow E$).
• L'addition doit être associative, commutative, posséder un élément neutre ($0_E$), et chaque élément doit avoir un opposé.
• La multiplication scalaire doit être distributive par rapport à l'addition vectorielle et scalaire, compatible avec la multiplication dans $\mathbb{K}$, et posséder un élément neutre ($1_{\mathbb{K}}$).

Définition d'un sous-espace vectoriel

• Un sous-ensemble $F$ d'un espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel si $F$ est non vide, stable par addition et stable par multiplication scalaire.
• Une condition équivalente est que $0_E \in F$ et $\forall x, y \in F, \forall \lambda \in \mathbb{K}, \lambda \cdot x + y \in F$.

Définition d'une combinaison linéaire

• Une combinaison linéaire de vecteurs $x_1, x_2,..., x_n \in E$ est un vecteur de la forme $\lambda_1 \cdot x_1 + \lambda_2 \cdot x_2 +... + \lambda_n \cdot x_n$, avec $\lambda_i \in \mathbb{K}$.

Définition d'une famille génératrice

• Une famille de vecteurs $(x_i){i \in I}$ est une famille génératrice de $E$ si tout vecteur de $E$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire finie de vecteurs de la famille $(x_i){i \in I}$.

Définition d'une famille libre

• Une famille de vecteurs $(x_1, x_2,..., x_n)$ est libre si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls.
• Si $\lambda_1 \cdot x_1 + \lambda_2 \cdot x_2 +... + \lambda_n \cdot x_n = 0_E$, alors $\lambda_1 = \lambda_2 =... = \lambda_n = 0$.

Définition d'une base

• Une base de $E$ est une famille de vecteurs de $E$ qui est à la fois libre et génératrice.
• Si $E$ est de dimension finie, toutes les bases de $E$ ont le même nombre d'éléments, appelé dimension de $E$, notée $\dim(E)$.

Cinétique chimique

• La cinétique chimique étudie les vitesses des réactions chimiques et comment les conditions expérimentales les influencent.

Facteurs affectant les vitesses de réaction

• Concentration des réactifs : Une concentration plus élevée augmente les collisions et la vitesse.
• Température : Une température plus élevée fournit l'énergie nécessaire pour surmonter l'énergie d'activation, augmentant généralement la vitesse de réaction.
• État physique et surface : Les réactions sont plus rapides lorsque les réactifs sont dans la même phase. Une surface accrue favorise le contact entre les réactifs.
• Catalyseur : Accélère une réaction sans être consommé, en abaissant l'énergie d'activation.
• Lumière : Certaines réactions sont amorcées ou accélérées par la lumière (réactions photochimiques).

Vitesse de réaction

• Pour une réaction $aA + bB \rightarrow cC + dD$, la vitesse peut être exprimée comme $Rate = -\dfrac{1}{a}\dfrac{\Delta[A]}{\Delta t} = -\dfrac{1}{b}\dfrac{\Delta[B]}{\Delta t} = \dfrac{1}{c}\dfrac{\Delta[C]}{\Delta t} = \dfrac{1}{d}\dfrac{\Delta[D]}{\Delta t}$.
• $\Delta[A]$, $\Delta[B]$, $\Delta[C]$, et $\Delta[D]$ sont les variations des concentrations.
• $\Delta t$ est la variation du temps et $a$, $b$, $c$, et $d$ sont les coefficients stœchiométriques.

Loi de vitesse

• La loi de vitesse relie la vitesse de réaction aux concentrations des réactifs et des catalyseurs.
• Forme générale : $Rate = k[A]^m[B]^n$, où $k$ est la constante de vitesse, $[A]$ et $[B]$ sont les concentrations, et $m$ et $n$ sont les ordres de réaction (déterminés expérimentalement).
• L'ordre de réaction global est la somme des ordres individuels ($m + n$).
• Réaction d'ordre 1 : $Rate = k[A]$
• Réaction d'ordre 2 : $Rate = k[A]^2$ ou $Rate = k[A][B]$
• Réaction d'ordre 0 : $Rate = k$

Détermination de l'ordre de réaction

• Méthodes expérimentales : mesure de la vitesse initiale avec différentes concentrations, utilisation des lois de vitesse intégrées pour ajuster les données concentration/temps.

Lois de vitesse intégrées

• Relient la concentration des réactifs au temps.
• Réactions d'ordre 1 : $ln[A]_t - ln[A]0 = -kt$, demi-vie : $t{1/2} = \dfrac{0.693}{k}$
• Réactions d'ordre 2 : $\dfrac{1}{[A]_t} - \dfrac{1}{[A]0} = kt$, demi-vie : $t{1/2} = \dfrac{1}{k[A]_0}$
• Réactions d'ordre 0 : $[A]_t - [A]0 = -kt$, demi-vie : $t{1/2} = \dfrac{[A]_0}{2k}$

Mécanismes réactionnels

• Une séquence étape par étape des réactions élémentaires par lesquelles un changement chimique global se produit.

Étapes élémentaires

• Chaque étape décrit les événements moléculaires réels intervenant pendant la réaction.

Étape déterminant la vitesse

• L'étape la plus lente détermine la vitesse globale de la réaction.

Intermédiaires

• Espèces produites dans une étape élémentaire et consommées dans une étape ultérieure (n'apparaissent pas dans l'équation globale).

Théorie des collisions

• Les molécules de réactif doivent entrer en collision avec suffisamment d'énergie et une orientation appropriée pour qu'une réaction ait lieu.
• L'énergie d'activation ($E_a$) est l'énergie minimale requise pour qu'une réaction ait lieu.

Équation d'Arrhenius

• Relie la constante de vitesse à l'énergie d'activation et à la température : $k = Ae^{-\frac{E_a}{RT}}$, où :
• $k$ est la constante de vitesse.
• $A$ est le facteur pré-exponentiel (facteur de fréquence).
• $E_a$ est l'énergie d'activation.
• $R$ est la constante des gaz parfaits ($8.314 J/(mol \cdot K)$).
• $T$ est la température absolue en Kelvin.
• La représentation graphique de $ln(k)$ en fonction de $\dfrac{1}{T}$ donne une ligne droite dont la pente est de $-\dfrac{E_a}{R}$.

Catalyse

• Catalyse homogène : Le catalyseur est dans la même phase que les réactifs.
• Catalyse hétérogène : Le catalyseur est dans une phase différente de celle des réactifs.
• Les enzymes sont des catalyseurs biologiques qui catalysent les réactions biochimiques.
• Les catalyseurs fournissent une voie réactionnelle alternative avec une énergie d'activation inférieure et sont régénérés à la fin de la réaction.

Équations aux dérivées partielles (EDP)

• Une équation contenant une fonction inconnue de 2 variables ou plus et certaines de ses dérivées partielles.
• Forme générale : $F(x, y, u, u_x, u_y, u_{xx}, u_{xy}, u_{yy},...) = 0$, où $u = u(x, y)$.
• Essentielles dans la modélisation de phénomènes physiques, la géométrie, l'optimisation, etc.

Exemples d'équations

• Équation de transport : $u_t + cu_x = 0$
• Équation de la chaleur : $u_t = ku_{xx}$
• Équation des ondes : $u_{tt} = c^2u_{xx}$
• Équation de Laplace : $u_{xx} + u_{yy} = 0$
• Équation de Poisson : $u_{xx} + u_{yy} = f(x, y)$
• Équation de Schrödinger : $iu_t = -u_{xx} + V(x)u$
• Équation de Black-Scholes : $u_t + \frac{1}{2}\sigma^2x^2u_{xx} + rxu_x - ru = 0$

Linéaire vs non linéaire

• Une EDP est linéaire si $F$ est une fonction linéaire de $u$ et de ses dérivées ; sinon elle est non linéaire.
• Linéaire : transport, chaleur, onde, Laplace, Poisson, équations de Schrödinger et de Black-Scholes.
• Non linéaire : $u_t + uu_x = 0$ (équation de Burgers non visqueuse)

Ordre

• L'ordre d'une EDP est l'ordre le plus élevé de la dérivée qui apparaît dans l'équation.
• Premier ordre : équation de transport.
• Deuxième ordre : équations de la chaleur, des ondes, de Laplace, de Poisson, de Black-Scholes.

Solution d'une EDP

• Une fonction $u$ qui satisfait l'EDP pour toutes les valeurs des variables indépendantes.
• Nécessité d'imposer des conditions supplémentaires (conditions initiales et conditions limites) pour identifier une solution particulière.
• Exemple : $u_x = 0$ a une solution générale de $u(x, y) = f(y)$. Avec la condition limite $u(0, y) = y^2$, la solution devient $u(x, y) = y^2$.

Matrices

Matrice

• Tableau rectangulaire de nombres ou de symboles disposés en lignes et en colonnes.
• Chaque élément d'une matrice est appelé un élément.

Taille

• Une matrice avec $m$ lignes et $n$ colonnes est appelée une matrice $m \times n$.
• La taille est écrite sous la forme de lignes × colonnes.

Matrices spéciales

• Matrice carrée : nombre de lignes égal au nombre de colonnes.
• Matrice ligne : une seule ligne.
• Matrice colonne : une seule colonne.
• Matrice identité : matrice carrée avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 ailleurs, notée $I$.
• Matrice nulle : tous les éléments sont nuls.

Opérations matricielles

• Addition et soustraction : uniquement si elles ont les mêmes dimensions.
• Multiplication scalaire : multiplication d'une matrice par un scalaire.
• Multiplication matricielle : Le nombre de colonnes de la première doit être identique au nombre de lignes de la deuxième.

Transposée

• Obtenue en interchangeant les lignes et les colonnes d’une matrice, notée $A^T$.

Déterminant

• Un nombre spécial qui peut être calculé à partir d’une matrice carrée, noté $det(A)$ ou $|A|$.
• Pour une matrice $2 \times 2$, le déterminant est calculé par $ad - bc$.

Inverse

• L’inverse d’une matrice A est une matrice B telle que $AB = BA = I$.
• Notée $A^{-1}$.
• Seules les matrices carrées ont des inverses.
• Une matrice est inversible si son déterminant n’est pas nul.
• Pour une matrice $2 \times 2$, $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}$.

Dérivation du champ de vitesses

Cas général

• Soit $\overrightarrow{r}$ le vecteur de position d'une particule à l'instant $t$.
• À l'instant $t + dt$, la même particule est à $\overrightarrow{r} + d\overrightarrow{r} = \overrightarrow{r} + \overrightarrow{v}(\overrightarrow{r}, t)dt$, où $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r}, t)$ est la vitesse.
• Soit $f(\overrightarrow{r}, t)$ une quantité physique (densité de masse, température, etc.).
• La variation de « f » pendant dt est donnée par $df = f(\overrightarrow{r} + d\overrightarrow{r}, t + dt) - f(\overrightarrow{r}, t)$.
• En utilisant le développement de Taylor, $\frac{df}{dt} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\nabla}f + \frac{\partial f}{\partial t}$.
• L'opérateur $\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\nabla}$ est appelé la dérivée matérielle.

Cas d'un milieu continu à densité constante (milieu incompressible)

• Soit $\rho$ la densité du milieu continu, impliquant la conservation de la masse : $\frac{d\rho}{dt} = 0$.
• $\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{v} = 0$

Équations de Maxwell, ondes EM

Équations de Maxwell

• Forme différentielle :
• Loi de Gauss :
• Électricité : $\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$
• Magnétisme : $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$
• Loi de Faraday : $\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
• Loi d’Ampère-Maxwell : $\nabla \times \mathbf{B}=\mu_{0} \mathbf{J}+\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$
• Forme intégrale :
• Loi de Gauss :
• Électricité : $\oint \mathbf{E} \cdot d \mathbf{a}=\frac{Q_{\text {encl }}}{\varepsilon_{0}}$
• Magnétisme : $\oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=0$
• Loi de Faraday : $\oint \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l}=-\frac{d \Phi_{B}}{d t}$
• Loi d’Ampère-Maxwell : $\oint \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=\mu_{0} I_{\text {encl }}+\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{d \Phi_{E}}{d t}$

Ondes EM dans le vide

• Dans le vide sans charge ni courant ($\rho=0, \mathbf{J}=0$), les équations de Maxwell deviennent :
• $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$
• $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$
• $\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
• $\nabla \times \mathbf{B}=\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$
• Équation des ondes pour $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ : $\nabla^{2} \mathbf{E}=\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}$; $\nabla^{2} \mathbf{B}=\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial^{2} \mathbf{B}}{\partial t^{2}}$
• La vitesse des ondes EM est $c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}=3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$.

Ondes EM planes

• Solution particulière des ondes EM :
• $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{0} \cos (k x-\omega t)$
• $\mathbf{B}=\mathbf{B}_{0} \cos (k x-\omega t)$
• $\mathbf{E}$ et $\mathbf{B}$ sont perpendiculaires l’un à l’autre, et perpendiculaires à la direction de propagation.
• $E=c B$
• L'énergie et l'impulsion des ondes EM sont données par :
• Densité d’énergie : $u=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}+\frac{1}{2 \mu_{0}} B^{2}=\varepsilon_{0} E^{2}=\frac{B^{2}}{\mu_{0}}$
• Vecteur de Poynting : $\mathbf{S}=\frac{1}{\mu_{0}} \mathbf{E} \times \mathbf{B}$
• Intensité : $I=\langle S\rangle=\frac{E_{0} B_{0}}{2 \mu_{0}}=\frac{E_{0}^{2}}{2 \mu_{0} c}=\frac{c B_{0}^{2}}{2 \mu_{0}}$
• Pression de radiation : $P=\frac{I}{c}$ (absorption totale) ; $P=\frac{2 I}{c}$ (réflexion totale)