Introduction à la modélisation mathématique

Introduction à la modélisation : Approche hypothético-déductive

• Un modèle mathématique représente un phénomène répétitif de manière globale, regroupant des caractéristiques plutôt que de se concentrer sur chaque individu.
• Un modèle mathématique inclut une description verbale traduite, des variables décrivant l'état du système, des paramètres (constantes physiques ou biologiques), et des hypothèses reliant ces éléments par des équations.
• Les modèles permettent de faire des prédictions quantitatives ou qualitatives et ces prédictions doivent être vérifiées avec des observations indépendantes ou des expériences.
• Si la prédiction diffère des observations, il faut reconsidérer les hypothèses, variables et paramètres du modèle.
• Il est impossible de prouver qu'un modèle est correct, seulement de prouver qu'il est faux.
• Les modèles évoluent et permettent de comprendre les phénomènes qu'ils décrivent.
• La traduction d'hypothèses verbales en langage mathématique permet de quantifier les phénomènes, de faire de longues chaînes de prédictions et de détecter des incohérences.
• L'approche logique des modèles mathématiques assure la cohérence et réduit le risque de prédictions incorrectes.

Modèles de Population

• Un modèle de population étudie un groupe d'individus de la même espèce.
• Deux modèles classiques existent pour étudier cette dynamique : Malthus (exponentiel) et Verhulst (logistique).

Description verbale à modèle mathématique

• L'étude de la croissance de la population aux USA est un exemple de phénomène d'intérêt.
• Les modèles comprennent des variables ayant des dimensions et des unités.
• Le temps (t), mesuré en années, est une variable indépendante
• La taille de la population (N) est une variable dépendante du temps, mesurée en nombre d'individus.
• Les facteurs biotiques (épidémies virales) ou abiotiques (climat) influencent la dynamique de la population.
• Il faut définir un modèle basé sur les facteurs intrinsèques qui influent sur la population et la façon dont la taille de la population change avec le temps, incluant les naissances (B(t)), les décès (D(t)), les immigrations (I(t)) et les émigrations (E(t)).

Prédiction de la taille de la population dans un futur proche (t+1)

• Une équation comprend la taille de la population (N) à différents moments (N(t+1) et N(t)) pour trouver une expression pour le changement de la taille de la population.
• Les quatre facteurs (naissances, décès, immigrations, émigrations) sont simplifiés en un seul paramètre : le taux de croissance de la population (R(t)).

Interprétation du taux de croissance

• Si R(t) est négatif, la taille de la population diminue.
• Si R(t) est positif, la taille de la population augmente.
• Si R(t) est égal à 0, la population reste constante.
• Le changement de taille de population pendant un intervalle de temps (Δt) dépend de R(t).
• Puisque R(t) est un taux, il doit être multiplié par Δt pour obtenir le changement de taille de la population pendant cet intervalle.
• Si Δt = 0.5 (6 mois), le résultat est une approximation exacte uniquement si la population augmente linéairement pendant un an.

Théorie du calcul infinitésimal

• Une étude du changement des fonctions continues par différenciations et intégrations.
• La théorie permet d’obtenir une expression exacte et d'étudier le système localement pour anticiper son comportement global par intégration.
• Pour un intervalle de temps infinitésimal (Δt → 0), le changement de la taille de la population équivaut au taux de croissance multiplié par l'intervalle de temps, plus une fonction de correction o(Δt).

L'équation différentielle ordinaire (ODE)

• La vitesse de changement de la population est égale au taux de croissance de la population.
• L'ODE montre la dérivée temporelle de la variable N(t) comme fonction de R(t).
• Pour trouver N(t), il est essentiel de définir la fonction R(t) et de formuler des hypothèses.

Hypothèses pour la croissance de la population

• Si R(t) est considéré comme constant, indépendant du temps et de la taille de la population, alors la croissance de la population est linéaire.
• Cette hypothèse est fausse.
• La pente est donnée par le taux de croissance (ρ).
• Si on compare avec les observations et qu'il y a des erreurs entre les données et le modèle
• Le modèle prédit une taille de population négative avant 1820 et la qualité du modèle est mauvaise, car la croissance de la population n'est pas linéaire.
• Il faut revoir les hypothèses/paramètres et améliorer le modèle.

Étapes pour formuler

• Définir les variables d’intérêt et les facteurs qui influencent.
• Faciliter l'étude des variations de la variable d’intérêt plutôt que directement la variable.
• Étudier la variation sur une étape de temps infinitésimal.
• Définir une hypothèse sur la relation entre le changement dans la variable d’intérêt et les facteurs.
• Résoudre l'équation différentielle.
• Étudier la solution et comparer avec les figures.
• Les individus de la population sont égaux, sans structure géographique, et l'environnement est constant dans le temps.
• Tous les paramètres sont indépendants du temps.

Modèle de Malthus: modèle exponentiel

• R(t) dépend de la taille de la population (proportionnel à N(t)), ce qui implique qu'une population plus élevée a un taux de croissance plus élevé.
• La fonction est linéaire, avec r représentant le taux de croissance intrinsèque.
• Pour une population fermée (sans immigration/émigration), r = taux de naissance – taux de décès.
• Si r est positif, la population augmente; si r est négatif, la population diminue.
• La dérivée de la fonction est proportionnelle à la fonction elle-même, ce qui engendre une fonction exponentielle.
• En conclusion, le modèle de Malthus est une fonction exponentielle qui émerge du modèle géométrique et la fonction est toujours positive, ce qui ne permet pas de prédire une taille de population négative.

Conclusion sur l'ajustement du modèle

• Il peut être amélioré mais comporte des erreurs systématiques dans la prédiction.
• Le taux r est constant, ce qui ne permet pas aux facteurs comme les épidémies, les guerres ou les progrès de changer.
• Pour une petite taille de population, la courbe est sous les observations.
• Le taux de croissance est plus lent pour une petite population qu'il ne l'est actuellement.
• Pour une grande population, la courbe est au-dessus de ce qui devrait être.
• Le taux de croissance est plus rapide pour une grande population.