33 Questions
¿Cuál es el objetivo de la Inferencia Estadística?
Obtener información sobre la distribución de probabilidad desconocida a partir de observaciones empíricas.
¿Qué es una muestra de tamaño n en estadística?
Una colección de n variables aleatorias independientes definidas en un espacio de probabilidad.
¿Qué característica deben tener las variables aleatorias en una muestra iid?
Independencia e igual distribución.
¿Qué es un espacio muestral?
El conjunto de todos los posibles valores que podemos observar.
La muestra de tamaño n consiste en v.a. independientes e idénticamente distribuidas.
True
¿Qué es la tarea inicial de la Inferencia Estadística?
tomar una decisión acerca de la distribución de la variable aleatoria a partir de las observaciones
¿Qué es un estadístico en el contexto descrito?
Un estadístico es una función que se aplica a los datos para extraer información relevante.
La esperanza de un estadístico real se denota como EP(T), y se calcula como la sumatoria en el caso discreto y la integral en el caso continuo de la __________ de T respecto a la distribución P.
producto
¿Qué se necesita para que un estadístico sea considerado sumable?
Que su esperanza exista y sea finita para cada distribución P en el espacio muestral
La misión de los estadísticos es extraer datos significativos de los datos iniciales para resolver problemas específicos.
True
¿Qué es una estructura estadística en Inferencia Estadística?
Una familia de distribuciones sobre un espacio muestral.
La Inferencia paramétrica tiene en cuenta un subconjunto de Rp como espacio de parámetros.
True
¿Qué representan los lanzamientos independientes de una moneda en el contexto de Inferencia Estadística?
experimento aleatorio
En el Modelo Binomial, bn (p) es la distribución binomial de parámetros ___ y ___.
n, p
Relaciona los modelos con su descripción:
Modelo Normal = Hipótesis de normalidad en torno a un valor medio Modelos no paramétricos = Distribuciones absolutamente continuas en R Comparación de tratamientos = Estudio del efecto de distintos tipos de abono en la cantidad de trigo obtenido
¿Qué es un estadístico en estadística?
Una v.a.real o m-dimensional T definida en un espacio (Ω, A) que se utilizar para hacer inferencias sobre una población.
¿Qué es una función de distribución empírica?
Es una función que asigna la probabilidad a cada valor observado en una muestra sin hacer suposiciones sobre la población.
¿Qué significa que un suceso sea P-nulo en una e.e.?
Significa que la probabilidad del suceso es igual a cero para cada probabilidad P en el espacio muestral.
¿Qué describe el Teorema de Glivenko-Cantelli en estadística matemática?
Describe la convergencia uniforme de la función de distribución empírica a la verdadera función de distribución en el límite.
¿Cuál es el objetivo de los problemas de verificación de hipótesis en estadística?
El objetivo es contrastar las hipótesis formuladas en un modelo estadístico con los resultados experimentales para evaluar su validez.
¿Cómo se define la esperanza condicional de Y respecto de X en el caso discreto?
E(Y|X)(x) = ∑ y yP(Y = y|X = x)
¿Cómo se define la probabilidad condicionada de A respecto de X?
P(A|X) = E(IA |X)
¿Qué significa que dos estadísticos sean P-equivalentes?
Coinciden salvo en los puntos de un conjunto P-nulo
Un suceso A se dice libre si Pθ(A) depende de θ.
False
El estadístico T = ∑ (Xi - X)^2 se llama ________ y tiene distribución χ^2 (n - 1) respecto a N_n(µ, 1).
Varianza Muestral
¿Qué se entiende por un estadístico suficiente en el contexto presentado?
Es un estadístico Xi que cuenta el número de caras obtenidas en los n lanzamientos.
¿Qué se requiere para que una estructura estadística sea considerada completa?
Que cada estadístico real centrado sea P-equivalente a 0
Un estadístico T sobre una estructura estadística es completo si cada estadístico centrado que sea función medible de T es equivalente a 0.
True
¿Cuándo un estadístico T se considera libre?
Cuando PTθ no depende de θ
¿En qué consiste la noción de suficiencia?
La noción de suficiencia consiste en extraer datos significativos de los datos iniciales sin perder la información sobre el parámetro.
Un estadístico que es suficiente para una familia P, también lo será para otra familia P'.
False
Según el Teorema de Neyman-Halmos-Savage, un estadístico T es suficiente si pθ (ω) = gθ (T(ω))_____ .
h(ω)
Relaciona los siguientes conceptos con su definición: Suficiencia, Completitud y Libertad
Suficiencia = Extraer datos significativos sin perder información sobre el parámetro Completitud = Asegura que la distribución de un estadístico contiene toda la información del parámetro Libertad = Cuando la probabilidad condicional no depende del parámetro
Study Notes
Introducción a la Inferencia Estadística
- La Inferencia Estadística se enfoca en obtener información sobre una característica de una población a partir de una muestra representativa de la misma.
- La característica bajo estudio se considera una variable aleatoria (v.a.) real definida en un espacio de probabilidad (Ω′, A′, P).
- El objetivo principal de la Inferencia Estadística es obtener información sobre la distribución de probabilidad PX en (Ω, A), que es desconocida desde el punto de vista estadístico.
Fenómeno Aleatorio
- Un fenómeno aleatorio es un experimento en el que, a priori, es imposible predecir el resultado.
- Sus observaciones se pueden considerar como valores tomados por una cierta v.a.X definida en un espacio de probabilidad (Ω′, A′, P) y a valores en un cierto espacio medible (Ω, A).
Muestra
- Una muestra de tamaño n es una colección de n v.a.independientes e idénticamente distribuidas (iid) definidas en un mismo espacio de probabilidad.
- Una muestra (infinita) será una sucesión de v.a.iid.
Espacio Muestral
- El espacio muestral se denota como Ω y es el conjunto de todos los posibles valores que podemos observar.
- Generalmente, Ω es un subconjunto de R cuando tenemos una única observación de la v.a.X o bien un subconjunto de Rn, cuando observamos una muestra (X1, ..., Xn) de dicha v.a.
- Se supone provisto dicho espacio de su σ-álgebra de Borel (que denotaremos A).
Hipótesis Inicial
- Las condiciones de experimentación, junto con nuestra intuición y ciertos resultados probabilísticos nos llevan a admitir la hipótesis fundamental de que la distribución (desconocida) de la variable aleatoria que observamos es una de las de cierta familia de distribuciones que denotaremos P.### Introducción a la Inferencia Estadística
- La hipótesis fundamental es que la distribución desconocida de la variable aleatoriaobservada es una de cierta familia de distribuciones que se denotan como P.
- La familia de distribuciones P se puede describir mediante un índice o parámetro θ, es decir, P = {Pθ : θ ∈ Θ}.
- La estructura estadística se define como la terna (Ω, A, P) o bien (Ω, A, {Pθ : θ ∈ Θ}).
Inferencia Paramétrica y No Paramétrica
- La inferencia paramétrica se aplica cuando el espacio de parámetros Θ es un subconjunto de Rp, para algún p ∈ N.
- La inferencia no paramétrica se aplica en caso contrario, por ejemplo, cuando P es la familia de todas las distribuciones que poseen densidad en R.
Ejemplos de Estructuras Estadísticas
- Ejemplo 1 (Lanzamientos Independientes de una Moneda): la estructura estadística es ({0, 1}, P({0, 1}), {Pp : p ∈ [0, 1]}).
- Ejemplo 2 (Modelo Binomial): la estructura estadística es ({0, 1,..., n}, P({0, 1,..., n}), {bn (p) : p ∈ [0, 1]}).
- Ejemplo 3 (Modelo Normal): la estructura estadística es (R, R, {N(µ, σ²) : µ ∈ R, σ² > 0}).
- Ejemplo 4 (Modelos no Paramétricos): la estructura estadística es (R, R, P), donde P es la familia de todas las distribuciones absolutamente continuas en R.
Ejemplos de Aplicaciones
- Ejemplo 5 (Comparación de Tratamientos): la estructura estadística es (Rm+n, Rm+n, {N m (µ, σ²) × N n (ν, σ²) : µ, ν ∈ R, σ² > 0}).
- Ejemplo 6 (Verificación de Hipótesis): existen métodos para contrastar las hipótesis de independencia, normalidad, etc.
Función de Distribución Empírica
- La función de distribución empírica Fn se define como la aplicación Fn(x, ω) = (1/n) ∑[I]−∞,x](Xi(ω)).
Observaciones
-
Para cada ω ∈ Ω, Fn(·, ω) es la función de distribución de una v.a. discreta Zω que toma los valores X1(ω),..., Xn(ω) con probabilidades 1/n,..., 1/n.
-
Para cada x ∈ R, Fn(x, ·) es la v.a. (1/n) ∑I.
-
La ley fuerte de los grandes números asegura que, para cada x ∈ R, Fn(x, ·) converge P-c.s. a F(x).### Estructuras Estadísticas y Estadísticos
-
Un estadístico es una variable aleatoria (v.a.) real o m-dimensional definida en un espacio de probabilidad (Ω, A, P).
-
El conjunto de llegada de un estadístico es un subconjunto de Rm, para algún m ≥ 1.
-
La misión de los estadísticos es extraer de los datos iniciales (a menudo numerosos) ciertos datos significativos para el problema en cuestión.
Observaciones
- La noción de estadístico no depende de la familia P; no existe diferencia formal entre las nociones de estadístico y v.a.
- La misión de los estadísticos consiste en extraer de los datos iniciales (a menudo numerosos) ciertos datos significativos para el problema en cuestión.
- El estadístico T nos sugiere pasar a la e.e. imagen por T.
Teorema fundamental de la estadística matemática (Glivenko-Cantelli)
- Sea (Xn)n una sucesión de v.a. iid definidas en un espacio de probabilidad (Ω, A, P) con función de distribución común F.
- Entonces, para casi todo ω, sup |Fn(x, ω) - F(x)| -> 0, x∈R.
Definiciones
- Un suceso A ∈ A se dice P-nulo si P(A) = 0, para cada P ∈ P.
- Una propiedad de puntos de Ω se dice que ocurre P-c.s. si el conjunto de puntos de Ω que no verifican esa propiedad es subconjunto de un suceso P-nulo.
- Un estadístico sobre (Ω, A, {Pθ : θ ∈ Θ}) es una v.a. real o m-dimensional definida en (Ω, A).
Estructura Estadística Imagen por un Estadístico
- Llamaremos estructura estadística imagen por T a la e.e. (Ω', A', {PTθ : θ ∈ Θ}), donde PTθ denota la distribución (en (Ω', A')) de T respecto a Pθ.
Esperanza de un Estadístico Real
- Consideremos un estadístico real T sobre (Ω, A, P) (Ω ⊂ Rn).
- Para cada probabilidad P ∈ P, denotaremos EP(T) o bien Ω TdP a la esperanza de T respecto a la distribución P.
- EP(T) = X mk PT(mk) = mk P(T = mk), en el caso de que T sea un estadístico discreto.
- EP(T) = ∫ xfPT(x)dx, en el caso de que T sea continua.
Esperanza de un Estadístico m-dimensional
- Si T es un estadístico m-dimensional (i.e., toma valores en Rm), T = (T1, ..., Tm).
- EP(T) = (EP(T1), ..., EP(Tm)).
Estadístico Sumable
- Un estadístico real T sobre (Ω, A, P) se dice sumable si EP(T) existe y es finito, para cada distribución P ∈ P.
- Un estadístico T = (T1, ..., Tm), m-dimensional, se dice sumable si lo son cada una de sus coordenadas.
Esperanza y Probabilidad Condicionales
- La esperanza condicional de Y respecto de X se define como una v.a. E(Y|X) : (Ω', A') -> R.
- E(Y|X)(x) = ∑ yP(Y = y|X = x), en el caso de que (X, Y) sea de tipo discreto.
- E(Y|X)(x) = ∫ yfY|X=x(y)dy, en el caso de que (X, Y) sea de tipo continuo.
Este cuestionario evalúa los conocimientos sobre la introducción a la inferencia estadística, parte del currículum del Grado en Estadística. ¡Comprueba tus habilidades!
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