Introducción a la Econometría

Introducción a la Econometría

• La econometría utiliza métodos estadísticos para analizar datos económicos empíricos.
• Facilita la prueba de teorías, la predicción de eventos futuros y la evaluación de políticas gubernamentales.

¿Qué es la Econometría?

• Es el análisis cuantitativo de fenómenos económicos basado en la teoría y la observación, utilizando métodos de inferencia.
• Los temas de un curso introductorio incluyen estadística descriptiva, inferencia estadística, análisis de regresión, series de tiempo y econometría aplicada.

Importancia de Estudiar Econometría

• Permite a los economistas probar teorías, predecir eventos y evaluar políticas gubernamentales, siendo una herramienta valiosa.
• Es una habilidad deseable en el mercado laboral, con demanda en gobiernos, empresas privadas e investigación.
• Es una materia desafiante que requiere conocimientos sólidos en estadística, matemáticas y economía.

Cubrimiento del Libro Electrónico

• El libro asume conocimientos previos en estadística, matemáticas y economía.
• Cubre el modelo de regresión lineal, inferencia, variables instrumentales, variables discretas y series de tiempo.
• Incluye ejemplos y ejercicios del mundo real, con un estilo de escritura claro y conciso.

Software de Econometría

• Stata, EViews, R y Python son ejemplos de paquetes de software para econometría.
• Stata es utilizado en todos los ejemplos del libro por su potencia, versatilidad y facilidad de uso.

Convenciones del Libro

• Las variables se denotan con letras mayúsculas (e.j., $Y$, $X$).
• Los parámetros con letras minúsculas griegas (e.j., $\beta$, $\sigma$).
• Los estimadores con un acento circunflejo (e.j., $\hat{\beta}$, $\hat{\sigma}$).

Condiciones de Límite en Ecuaciones Diferenciales Parciales

• Las condiciones de límite son restricciones especificadas en la frontera del dominio del problema.

Condición de Límite de Dirichlet

• El valor de la función desconocida se especifica en la frontera: $u(x,y) = g(x,y)$.

Condición de Límite de Neumann

• La derivada normal de la función desconocida se especifica en la frontera: $\frac{\partial u}{\partial n} = g(x,y)$.

Condición de Límite Mixta o de Robin

• Una combinación de condiciones de Dirichlet y Neumann: $\alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n} = g(x,y)$, donde $\alpha$ y $\beta$ son constantes.

Ejemplo de Condición de Frontera

• La ecuación $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ definida en $0 \leq x \leq L$ y $0 \leq y \leq H$ con condiciones de frontera de Dirichlet.
• Las siguientes son las condiciones de frontera.
• $u(0,y) = f_1(y)$
• $u(L,y) = f_2(y)$
• $u(x,0) = g_1(x)$
• $u(x,H) = g_2(x)$

Radianes

• La medida en radianes de un ángulo $\theta$ se define como la longitud del arco $s$ en un círculo con radio $r$ subtendido por el ángulo $\theta$: $\theta = \frac{s}{r}$.
• Una revolución completa corresponde a $s = 2\pi r$, lo cual implica $\theta = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi$ radianes.

Relación Entre Grados y Radianes

\

• $360^\circ = 2\pi \text{ radianes}$
• $180^\circ = \pi \text{ radianes}$
• $1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ radianes}$
• Para convertir grados a radianes, se multiplica por $\frac{\pi}{180}$.
• $1 \text{ radian} = \frac{180}{\pi} \text{ grados} \approx 57.3^\circ$.
• Para convertir radianes a grados, se multiplica por $\frac{180}{\pi}$.

Ángulos Comunes

• 30° es equivalente a $\frac{\pi}{6}$ radianes.
• 45° es equivalente a $\frac{\pi}{4}$ radianes.
• 60° es equivalente a $\frac{\pi}{3}$ radianes.
• 90° es equivalente a $\frac{\pi}{2}$ radianes.
• 180° es equivalente a $\pi$ radianes.
• 270° es equivalente a $\frac{3\pi}{2}$ radianes.
• 360° es equivalente a $2\pi$ radianes.

Longitud de Arco

• La longitud $s$ de un arco interceptado en un círculo de radio $r$ por un ángulo central de $\theta$ radianes está dada por $s = r\theta$.

Área de un Sector Circular

• El área $A$ de un sector de un círculo de radio $r$ con ángulo central $\theta$ es $A = \frac{1}{2}r^2\theta$, donde $\theta$ está en radianes.

Magnetismo en Física

• La fuerza magnética sobre una carga móvil se calcula con la fórmula $\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}$.
• La magnitud de la fuerza magnética está dada por $F = |q|vB\sin\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{v}$ y $\vec{B}$.

Regla de la Mano Derecha

• La dirección de la fuerza magnética es perpendicular tanto a la velocidad de la carga como al campo magnético.
• Apuntando los dedos en la dirección de $\vec{v}$ y luego curvándolos hacia $\vec{B}$, el pulgar apunta en la dirección de $\vec{F}$ para una carga positiva; para una carga negativa, la dirección es opuesta.

Fuerza Magnética Sobre un Alambre con Corriente

• La fuerza magnética en un alambre recto que lleva corriente en un campo magnético es $\vec{F} = I \vec{L} \times \vec{B}$.
• La magnitud de la fuerza magnética es $F = ILB\sin\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre $\vec{L}$ y $\vec{B}$. La dirección se determina por la regla de la mano derecha.

Momento Dipolar Magnético

• Es una medida de la fuerza y dirección de una fuente magnética, dado por $\mu = IA$ para un bucle de corriente.
• La dirección del momento dipolar magnético es perpendicular al plano del bucle.

Torque en un Dipolo Magnético

• El torque en un dipolo magnético en un campo magnético se da por $\tau = \mu B \sin\theta$.

Tabla de Variables Magnéticas

• F incluye fuerza magnética (N), q es carga (C), v es velocidad (m/s).
• B es campo magnético (T), I es corriente (A), L es longitud (m).
• $\mu$ es momento dipolar magnético (A $\cdot m^2$), A es área ($m^2$), $\tau$ es torque (N $\cdot$ m), $\theta$ es ángulo (grado).

Complejidad Algorítmica

• La complejidad algorítmica mide los recursos (tiempo o espacio) que requiere un algoritmo para resolver un problema de cierto tamaño.
• Proporciona una forma de comparar la eficiencia de diferentes algoritmos y predecir su rendimiento a medida que aumenta el tamaño de la entrada.

Complejidad Temporal

• La cantidad de tiempo que tarda un algoritmo en completar su ejecución en función del tamaño de la entrada.
• A menudo se expresa utilizando la notación Big O, que describe el límite superior de la tasa de crecimiento del tiempo de ejecución del algoritmo.
• Complejidades Temporales Comunes
  • O(1): Tiempo constante.
  • O(log n): Tiempo logarítmico.
  • O(n): Tiempo lineal.
  • O(n log n): Tiempo linealítmico.
  • O($n^2$): Tiempo cuadrático.
  • O($2^n$): Tiempo exponencial.
  • O(n!): Tiempo factorial.

Complejidad Espacial

• La cantidad de espacio de memoria que requiere un algoritmo para completar su ejecución en función del tamaño de la entrada.
• Incluye espacio para datos de entrada, estructuras de datos auxiliares y variables temporales.

Notación Big O

• Describe el límite superior de la tasa de crecimiento del tiempo de ejecución o el uso de espacio de un algoritmo.
• Proporciona una forma de clasificar los algoritmos en función de su rendimiento en el peor de los casos.
• Ignora los factores constantes y los términos de orden inferior, centrándose en el término dominante.

Importancia de la Complejidad Algorítmica

• Ayuda a elegir el algoritmo más eficiente.
• Optimizando el rendimiento.
• Predice cómo rendirá un algoritmo a medida que aumenta el tamaño de la entrada.
• Activación del uso eficiente de los recursos informáticos.

Búsqueda Binaria

• Iterar a través de cada elemento de la matriz hasta que se encuentre el elemento objetivo resulta en una complejidad de tiempo de búsqueda de O(n).
• Debido a que cada paso reduce a la mitad el espacio de búsqueda, la complejidad de tiempo de búsqueda binaria es O(log n).

Markdown

• Markdown es un lenguaje de marcado ligero con sintaxis de formato de texto plano.
• Markdown puede usarse para formatear archivos readme, para escribir mensajes en foros en línea y para crear texto enriquecido utilizando un editor de texto plano.
• Markdown es uno de los lenguajes de marcado más populares del mundo y todos los archivos en Markdowm tienen extensión.md.

Encabezados

• Los encabezados en Markdown se utilizan para estructurar el contenido, indicado por el signo # seguido de un espacio y el texto del encabezado.
• Se admiten seis niveles de encabezados, desde # Encabezado 1 hasta ###### Encabezado 6.

Estilos de Texto

• Para cursiva, se utilizan asteriscos * o guiones bajos _ alrededor del texto: *Este texto estará en cursiva* o _Este texto estará en cursiva_.
• Para negrita, se utilizan dos asteriscos ** o dos guiones bajos __ alrededor del texto: **Este texto estará en negrita** o __Este texto estará en negrita__.
• Para texto tachado, se rodean las palabras con dos virgulillas ~~: ~~Este texto estará tachado~~.

Listas

• Las listas ordenadas se crean numerando cada elemento:
  1. Primer elemento
  2. Segundo elemento
• Las listas desordenadas usan asteriscos, guiones o signos más al principio de cada línea:
• Primer elemento
• Segundo elemento

Enlaces

• Los enlaces se insertan con corchetes [] para el texto del enlace, seguidos de paréntesis () para la URL: [Texto del enlace](URL).
• Un título opcional puede añadirse entre comillas después de la URL: [Texto del enlace](URL "Título").

Imágenes

• Las imágenes se insertan de manera similar a los enlaces, pero con un signo de exclamación ! al principio: ![Texto alternativo](URL).
• Se puede agregar un título opcional de imagen entre comillas después de la URL.

Código

• Para código en línea, se utilizan comillas inversas ` alrededor del código: Utilice la función printf().
• Para bloques de código, se utilizan tres comillas inversas ````` al principio y al final del bloque, y opcionalmente se especifica el lenguaje:

  function myFunc() {
  return "Hola Mundo!";
  }
  

Citas

• Las citas en bloque se crean utilizando el signo mayor que > al principio de cada línea: > Esto es una cita.

Separadores Horizontales

• Se crea una línea horizontal utilizando tres guiones ---.

Tablas

• Las tablas se crean utilizando barras verticales | para delimitar las columnas y guiones --- para separar la cabecera de la tabla.
• Alineación: Se crea una línea horizontal utilizando tres guiones ---.

Negociación Algorítmica

• También conocido como comercio automatizado o comercio de caja negra.
• Utiliza un programa de computadora que sigue un conjunto definido de instrucciones para colocar una operación.
• El algoritmo ejecuta una operación cuando se cumplen las condiciones predeterminadas.

Ventajas

• Las operaciones se ejecutan con el mejor precio posible.
• La colocación del orden comercial es instantánea y precisa.
• Reducción de los costos de transacción.
• Comprobaciones automatizadas simultáneas de múltiples condiciones del mercado.
• Riesgo reducido de errores manuales.

Desventajas

• Requiere conocimientos especializados de programación.
• El algoritmo necesita una supervisión constante.
• Posibilidad de fallo mecánico o del sistema.
• Puede resultar en resultados inesperados debido a problemas técnicos.

Teoría Algorítmica de Juegos: El Costo de la Estabilidad

• Definidos como la relación del costo del mejor equilibrio de Nash al costo del óptimo social:
  $CoS = \frac{\text{costo del mejor equilibrio de Nash}}{\text{costo del óptimo social}}$
• El costo de estabilidad (PoS) mide la degradación del rendimiento del sistema debido al comportamiento egoísta.

Ejemplo: Paradoja de Braess

• Considere una red con cuatro ciudades: s, u, v, t.
• Hay una unidad de tráfico que va de s a t.
  • El borde $(s, u)$ tiene costo 1.
  • El borde $(u, t)$ tiene costo x.
  • El borde $(s, v)$ tiene costo x.
  • El borde $(v, t)$ tiene costo 1.
• Instancia 1: El equilibrio único de Nash es que la mitad del tráfico tome el camino $s \rightarrow u \rightarrow t$ y la otra mitad tome el camino $s \rightarrow v \rightarrow t$. El costo es $1/2 * 1 + 1/2 + 1/2 * 1 = 1$. El óptimo social es que todo el tráfico tome el camino $1$
  $CoS = 1/1 = 1$. Instancia 2: Agregar un borde de costo cero $(u, v)$. El equilibrio único de Nash es que todo el tráfico tome el camino $s \rightarrow u \rightarrow v \rightarrow t$. El costo es $1 + 0 + 1 = 2$ El óptimo \es social es El costo social es $1$.

$CoS = 2/1 = 2$.