Integrales Improprias

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Questions and Answers

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre las integrales impropias?

Son siempre iguales a la suma de sus integrales definidas

Nunca son convergentes

Siempre convergen

Pueden ser divergentes si la función tiene asíntotas verticales en el intervalo de integración (correct)

¿Qué se puede concluir sobre la integral impropia de la función y = f(x) = 1/(4 - x²) en el intervalo [0, 2)?

La integral es convergente

La función integrable tiene que ser continua en el intervalo [a, b] a excepción de los puntos donde hay una __________.

asíntota vertical

Relaciona cada integral con su tipo de convergencia:

∫(1/(4 - x²))dx desde 0 hasta 2 = Convergente ∫(1/x)dx desde 0 hasta 1 = Divergente ∫(1/(x+1))dx desde 1 hasta ∞ = Convergente ∫(1/(x²))dx desde 1 hasta ∞ = Convergente Signup and view all the answers

¿Cuál es el propósito del Teorema Fundamental del Cálculo?

Establecer una conexión entre derivadas e integrales Signup and view all the answers

Las integrales impropias de segunda especie son aquellas que tienen un límite de integración infinito.

True Signup and view all the answers

¿Qué se entiende por función integral en el contexto del cálculo integral?

Es una función que se define como la integral definida de una función continua donde uno de los límites de integración es una función. Signup and view all the answers

El teorema del valor medio para integrales establece que en [a, b] existe al menos un valor c tal que F'(c) = ______.

f(b) - f(a) Signup and view all the answers

Relaciona los siguientes tipos de integrales con sus características:

Integral definida para funciones positivas = Calculo del área bajo la curva entre dos límites Integral impropia de segunda especie = Límite de integración infinito Teorema del valor medio = Existencia de un punto c donde la pendiente de la función es igual al promedio del intervalo Integral impropia de primera especie = Límite de integración definido en un valor finito y la función tiene discontinuidades Signup and view all the answers

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre las integrales impropias de primera especie es correcta?

Son integrales con límites de integración infinitos. Signup and view all the answers

El valor de una integral impropia diverge si el límite no existe de manera finita.

True Signup and view all the answers

¿Cómo se define una integral impropia de primera especie cuando la función es continua en un intervalo infinito?

Como el límite cuando b tiende a +∞ de la integral definida de f(x) desde a hasta b. Signup and view all the answers

Si f(x) es continua en (–∞, b], ¿cómo se define la integral impropia?

Como el límite de la integral de f(x) desde a hasta b cuando a tiende a –∞. Signup and view all the answers

La integral impropia de f(x) desde -∞ a b es evaluada como el límite de la integral de f(x) de a a b cuando a tiende a _____ .

-∞ Signup and view all the answers

Study Notes

Integrales impropias

Las integrales impropias son integrales que no cumplen con las condiciones de ser finitas y acotadas.
Se clasifican en integrales de primera y segunda especie.
La integral ∫abf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx∫abf(x)dx es una integral impropia de primera especie si:
- a o b son infinitos.
- f(x) no es continua en algún punto de [a,b].
La integral ∫abf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx∫abf(x)dx es una integral impropia de segunda especie si:
- f(x) no es continua en algún punto de [a,b] y a y b son finitos.

Integrales de primera especie

Si f(x) es continua en [a, +∞), entonces:
- ∫a+∞f(x)dx=limb→+∞∫abf(x)dx\int_{a}^{+\infty} f(x) dx = lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx∫a+∞f(x)dx=limb→+∞∫abf(x)dx.
Si f(x) es continua en (-∞, b], entonces:
- ∫−∞bf(x)dx=lima→−∞∫abf(x)dx\int_{-\infty}^{b} f(x) dx = lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx∫−∞bf(x)dx=lima→−∞∫abf(x)dx.
Si ∫−∞af(x)dx\int_{-\infty}^{a} f(x) dx∫−∞af(x)dx y ∫a+∞f(x)dx\int_{a}^{+\infty} f(x) dx∫a+∞f(x)dx son convergentes, entonces:
- ∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{a} f(x) dx + \int_{a}^{+\infty} f(x) dx∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx.

Integrales de segunda especie

Si f(x) es continua en (a, c) ⋃ (c, b], y x = c es una asíntota vertical de f, entonces:
- ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx.

Ejemplos

∫0214−x2dx\int_{0}^{2} \frac{1}{4-x^{2}} dx∫024−x21dx es una integral impropia de segunda especie porque f(x) no es continua en x = 2.
∫0∞xe−xdx\int_{0}^{\infty} xe^{-x} dx∫0∞xe−xdx es una integral impropia de primera especie porque el límite superior de integración es infinito.
∫−∞∞11+x2dx\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}} dx∫−∞∞1+x21dx es una integral impropia de primera especie porque ambos límites de integración son infinitos.

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Description

Este cuestionario se centra en el tema de las integrales impropias, que son integrales que no son finitas y acotadas. Se clasifican en integrales de primera y segunda especie, explorando las propiedades y condiciones que las definen.