Integrales Impropias: Capítulo 4

• Capítulo 4 trata sobre integrales impropias.

Introducción

• Las integrales impropias son integrales definidas que involucran límites ya sea en el integrando o en los límites de integración.
• Hay dos tipos principales de integrales impropias:
  • Integrales impropias de primera especie: El intervalo de integración es infinito.
  • Integrales impropias de segunda especie: La función tiene una discontinuidad infinita en el intervalo de integración.

Integrales impropias de primera especie

• Para una función continua $f(x)$ en $[a, \infty)$, la integral impropia se define como: $\qquad \int_{a}^{\infty} f(x) d x=\lim {b \rightarrow \infty} \int{a}^{b} f(x) d x$
• Si el límite existe, la integral impropia converge; de lo contrario, diverge.
• De manera similar, para una función continua $f(x)$ en $(-\infty, b]$, la integral impropia se define como: $\qquad \int_{-\infty}^{b} f(x) d x=\lim {a \rightarrow-\infty} \int{a}^{b} f(x) d x$
• Para una función continua $f(x)$ en $(-\infty, \infty)$, la integral impropia se define como la suma de dos integrales impropias: $\qquad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{\infty} f(x) d x$
  • Donde $c$ es cualquier número real.
• La integral impropia $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x$ converge solo si ambas integrales impropias $\int_{-\infty}^{c} f(x) d x$ y $\int_{c}^{\infty} f(x) d x$ convergen.

Ejemplos de convergencia y divergencia

• Ejemplo de integral impropia divergente: $\qquad \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x=\lim {b \rightarrow \infty} \int{1}^{b} \frac{1}{x} d x=\lim {b \rightarrow \infty}[\ln (x)]{1}^{b}=\lim _{b \rightarrow \infty} \ln (b)=\infty$
• Ejemplo de integral impropia convergente: $\qquad \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x=\lim {b \rightarrow \infty} \int{1}^{b} \frac{1}{x^{2}} d x=\lim {b \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{x}\right]{1}^{b}=\lim _{b \rightarrow \infty}\left(-\frac{1}{b}+1\right)=1$