Integracija s Substitucijo

Integracija s Substitucijo

• Izrek 4 opisuje točno rešitev integracije s substitucijo.
• Če je g'(x) zvezna na [a, b], f(x) pa zvezna v območju g, potem velja formula integracije s substitucijo.

Dokaz Izreka 4

• Če je F'(x) = f(x), potem je integral od g(a) do g(b) funkcije f(u) enak F(g(b)) - F(g(a)).
• Po verižnem pravilu je odvod F(g(x)) enak f(g(x))g'(x).
• Integral f(g(x))g'(x) od a do b je enak F(g(b)) - F(g(a)).

Metoda Integracije s Substitucijo

• Izbira substitucije: u = g(x).
• Izračun: du = g'(x)dx.
• Sprememba mej integracije.

Primer 1: Izračun Integrala

• Cilj: Izračunati integral x√(1+x²) od 0 do 1.
• Substitucija: u = 1 + x², du = 2xdx, xdx = (1/2)du.
• Sprememba meja: x = 0 → u = 1, x = 1 → u = 2.
• Rezultat: Integral je enak (1/3)(2√2 - 1).

Primer 2: Izračun Integrala z Naravnim Logaritmom

• Cilj: Izračunati integral dx / (x√(ln x)) od 1 do e.
• Substitucija: u = ln x, du = (1/x)dx.
• Sprememba meja: x = 1 → u = 0, x = e → u = 1.
• Rezultat: Integral je enak 2.

Primer 3: Izračun Integrala s Trigonometrično Funkcijo

• Cilj: Izračunati integral sin⁵(x)cos(x) od 0 do π/2.
• Substitucija: u = sin x, du = cos(x)dx.
• Sprememba meja: x = 0 → u = 0, x = π/2 → u = 1.
• Rezultat: Integral je enak 1/6.

Primer 4: Izračun Integrala Tangensa

• Cilj: Izračunati integral tan x dx.
• Preoblikovanje: tan x = sin x / cos x.
• Substitucija: u = cos x, du = -sin(x)dx.
• Rezultat: Integral je enak ln|sec(x)| + C.

Primer 5: Izračun Integrala z Inverzno Tangens Funkcijo

• Cilj: Izračunati integral dx / (x² + a²).
• Substitucija: x = a tan θ, dx = a sec²θ dθ.
• Rezultat: Integral je enak (1/a)tan⁻¹(x/a) + C.

Primer 6: Izračun Kompleksnega Integrala

• Cilj: Izračunati integral (x³ / (4 + x²)^(3/2)) od 0 do (3√3)/2.
• Substitucija: x = 2 tan θ, dx = 2 sec²θ dθ.
• Sprememba meja: x = 0 → θ = 0, x = 3√3/2 → tan θ = 3√3/4.
• Preoblikovanje integrala in nadaljnja substitucija u = cos θ, du = -sin θ dθ.
• Rezultat: Integral je enak 21/10.

Laplaceova Transformacija

Definicija

• Laplaceova transformacija funkcije f(t), definirane za t ≥ 0, je dana z integralom od 0 do ∞, ki ga pomnožimo z e^(-st).
• Dobljena transformacija je funkcija s, označena kot F(s).
• Integral mora konvergirati za nekatere vrednosti spremenljivke s.

Primeri Laplaceovih Transformacij

Primer 1: f(t) = 1

• Rezultat Laplaceove transformacije za f(t) = 1 je 1/s, če je s > 0.

Primer 2: f(t) = e^(at)

• Laplaceova transformacija funkcije e^(at) je 1/(s-a), če je s > a.

Primer 3: f(t) = t

• Uporaba integracije po delih vodi do Laplaceove transformacije t, ki je 1/s², kadar je s > 0.

Primer 4: f(t) = sin(at)

• Uporaba dvakratne integracije po delih razkrije Laplaceovo transformacijo sin(at), ki je a/(s² + a²), kadar je s > 0.

Lastnosti Laplaceove Transformacije

####Linearnost

• Laplaceova transformacija linearne kombinacije funkcij je linearna kombinacija posameznih transformacij.

####Odvod

• Laplaceova transformacija prvega odvoda funkcije je povezana z Laplaceovo transformacijo funkcije in njeno začetno vrednostjo.

####Drugi Odvod

• Laplaceova transformacija drugega odvoda funkcije je povezana z Laplaceovo transformacijo funkcije, njeno začetno vrednostjo in začetno vrednostjo prvega odvoda.

####Pomik V Frekvenci

• Laplaceova transformacija e^(at) * f(t) je F(s-a), kar pomeni pomik Laplaceove transformacije f(t) v frekvenčni domeni.

####Množenje s t^n

• Laplaceova transformacija t^n * f(t) je (-1)^n * (d^n/ds^n) * F(s), kjer F(s) označuje Laplaceovo transformacijo f(t).

####Integral

• Laplaceova transformacija integrala f(τ) od 0 do t je 1/s * F(s).

Hitri Vodnik za Sestavljanje Projektov v Pythonu s Pomojo Poetry

Nastavitev razvojnega okolja

• Preverite, ali imate nameščen Python 3.6 ali novejši.
• Namestite orodje Poetry z ukazom pip install poetry.

Začetna nastavitev projekta

• Ustvarite nov projekt Poetry z ukazom poetry new my-awesome-project.
• Premaknite se v mapo projekta cd my-awesome-project.

Upravljanje odvisnosti

• Dodajte odvisnost s poetry add numpy.
• Za razvojne odvisnosti uporabite poetry add pytest --group dev.

Namestitev odvisnosti

• Namestite vse odvisnosti projekta z uporabo ukaza poetry install.

Dostop do virtualnega okolja

• Aktivirajte virtualno okolje z uporabo ukaza poetry shell.

Struktura projekta

• Projekti Poetry imajo določeno strukturo map za datoteke, konfiguracijo in teste.

Izvajanje testov

• Zaženite teste z uporabo pytest.

Gradnja in distribucija paketa

• Zgradite paket z poetry build.
• Objavite paket za distribuiranje z poetry publish.

Ključni ukazi Poetry

• poetry install: Namesti odvisnosti, potrebne za projekt.
• poetry add: Doda nov paket v projekt.
• poetry update: Posodobi odvisnosti na najnovejše združljive različice.
• poetry show: Prikazuje seznam nameščenih paketov.
• poetry run: Izvaja ukaze v virtualnem okolju projekta.

Primer kode

• Tipična struktura projekta ima imenik z izvorno kodo in skripto main.py za izvajanje funkcij.
• Za izračun povprečja se uporablja python koda import numpy as np.

Dodatni viri

• Za podrobne informacije glejte uradno dokumentacijo Poetry.
• Angleška skupnost Python ponuja dodatno podporo in vire.

Funkcija: Definicija

Definicija

Funkcija je relacija med množico vhodnih vrednosti, znanih kot domena, in množico izhodnih vrednosti, znanih kot slika. Funkcija vsako vhodno vrednost iz domene poveže z eno samo izhodno vrednostjo v sliki.

• Funkcijo označimo z malo črko, npr. f, g, h…
• Če je x element domene f, f(x) pa slika x z f, y je torej slika x z f, in x je predhodnik y z f.
• Število y ima lahko več predhodnikov z f.

Grafični Prikaz

Grafični prikaz funkcije f je množica točk koordinat (x; f(x)).

Grafično Branje

Slika x z f je ordinata točke krivulje z absciso x. Predhodniki y z f so abscise točk krivulje z ordinato y.

Primer

Naj bo funkcija f definirana kot f(x) = x2 - 4.

• Slika 2 z f je f(2) = 2^2 - 4 = 0.
• Predhodniki 0 z f so rešitve enačbe f(x) = 0 torej x^2 - 4 = 0. Dobimo x = -2 in x = 2. Grafični prikaz f je parabola.

Opazke

• Da bi ugotovili, ali je krivulja grafični prikaz funkcije, je dovolj preveriti, ali vsaka navpična črta prečka krivuljo v največ eni točki.
• Funkcija je lahko definirana s formulo, tabelo vrednosti, grafičnim prikazom ali algoritmom.

Kardiovaskularni sistem

Krvne žile

• Kri prenašajo stran od srca.

Struktura je povezana s funkcijo

• Debele stene lahko prenesejo visok tlak.
• Elastična vlakna se raztegljajo in povrnejo v prvotno stanje.
• Gladke mišice se krčijo in sproščajo.

Vene

• Prenašajo kri v srce.

Struktura je povezana s funkcijo

• Tanke stene, manjši pritisk.
• Ventili preprečujejo povratni tok.

Kapilar

• Omogočajo izmenjavo materialov v tkivih.

Struktura je povezana s funkcijo

• Zelo tanke stene, kratka pot difuzije.

Koronarna arterija

• Zamašitev koronarnih arterij vodi do srčne kapi.
• Maščobne usedline se nabirajo znotraj koronarnih arterij.

Dejavniki tveganja:

• Kajenje
• Visok holesterol
• Visok krvni tlak
• Sladkorna bolezen
• Debelost
• Pomanjkanje gibanja

Srčni cikel

Diastola

• Srce se sprosti, kri teče v atrije, nato v ventrikle.

Atrialna sistola

• Atriji se krčijo, ventrikli so polni.

Ventrikularna sistola

• Ventrikli se krčijo, kri je potisnjena v arterije.

Poglavje 2 Vektorji

2.1 Definicije

Skalar

• Skalar je količina, ki je definirana s številom, ki je del realnih števil.

Vektor

• Vektor definira: smer (črta), smer (ena od možnih smeri na tej črti) in norma (dolžina vektorja oz. realno pozitivno število).

Prikaz

• AB→: Vektor, ki se začne v točki A in konča v točki B.

####Opombe

• Vektor je matematični objekt, ki je neodvisen od točke, kjer je narisan.
• Dva vektorja stavka sta enaka, če imata enako smer, enak vektor in enako normo.
• En vektorski vektor je enoten vektor.
• Ničelni vektor 0→ je vektor ničelnega pravila. Nima niti vektorja niti vektorja.

2.2 Operacije z Vektorji

Množenje Skalarja

• Naj bo u→ vektor in k skalar. Vektor k u→ je definiran takole: če je k > 0, ima k u→ enako smer in enako smer kot u→, njegova norma pa se pomnoži s k. Če je k < 0, ima k u enako smer, nasprotno smer kot u→, njegova norma pa se pomnoži z |κ|.
• Če je k = 0, je k u→ = 0→.

Vsota Dveh Vektorjev

• Naj bosta u→ in proti→ ovi dva vektorja. Pove →emo definirati vektor u→ + proti. izberemo poljubno točko A.
• Zgradimo točko B tako, da je AB→ = u→. Konstruiramo tako, da se točka C nanaš → na BC→ =protok→.
• Vektor u→ + proti→ je potem vektor AC→.

Chaslesov Odnos

• AB→ + BC→ = AC→

Lastnosti operacij na vektorjih

• Naj bodo u→, proti→ in w→ trije vektorji in k in ι dva skalarja. Lastnosti so: u→ + proti→ = proti→ + u→ (komutativnost), (u→ + proti→) + u→ = protij> + (proti→ + w→) (asociativnost), u→ + 0→ = u→ (nevtralni element), k (u→ + proti→) =ku→ + proti proti→ (distributivnost), (k + ι) u→ = ku→ + lu→ (distributivnost), (kl) u→ = k (lu→) = ι (ku→) (združljivost), la združljvost.)

2.3 Komponente za Sestavljanje Vektorja

Definicija

V vektorski liniji (O, i, j) je mogoče zapisati vse vektorje u→ z nabori:

• u→ = ux i→ + uy⋅ j→ Scalar ux in uy se uporabljata za risanje vektorja u→ iz črte (O, i →, j→). Izpisali bomo slednje:

• ux = [u→ uyi

• Vektor u:

Operacije na komponentah

• Naj bosta u→ = [ux u y) proti→ = [vx proti y] dva vektorja in k je skalar. Lastnosti pa so slednje: komponente so navedene tako: u → + proti→ = [ux + vx uy + proti y] ke u→ = [kux kuyj].

Navodila za vektorske linije (Komponente)

• Vektor u→ = [ux uy], ki ji pripada vrednost norme, dobiš takole: |u⃗ || = √ux 2 + uy2

Enakovreden vektor

• Enakovreden vektor je u→ = [ux uy], ki ji pripada norma: u0→ = [u⃗ u⃗ ] ||u> || = [ux√u2+uy 2 uy√ux 2+uy2].

Kemične Lastnosti

Agregatno Stanje

Plini

• Se homogena mešajo
• Se razširijo, da zapolnijo vsako prostornino
• Stisljivi
• Nizka gostota

Tekočine

• Določena prostornina
• Prevzamejo obliko posode
• Težko stisljive
• Gosteje kot plini

Trdne snovi

• Določena prostornina in oblika
• Toge
• Težko stisljive
• Lahko so kristalne (urejena razporeditev) ali amorfne (neurejena razporeditev)

Kemijska Sprememba

• Sprememba kemične sestave
• Vključuje prekinitev in/ali tvorbo vezi
• Predstavljena s kemijskimi enačbami
• Reaktanti → Produkti
• Primeri
• Izgorevanje
• Prebava
• Sinteza

Fizikalna Sprememba

• Ne spremeni kemične sestave snovi
• Vključuje spremembe v stanju ali izgledu
• Primeri
• Taljenje
• Vrenje
• Raztapljanje

Ločevanje zmesi

Filtriranje

• Loči trdne snovi od tekočin

Destilacija

• Loči tekočine glede na vrelišče

Kromatografija

• Loči snovi glede na razlike v intermolekularnih silah s stacionarno fazo

Energija

Kinetična energija (KE)

• Energija gibanja
• KE = ½mv²
• m = masa, v = hitrost

Potencialna energija (PE)

• Energija položaja ali sestave

Zakon o ohranitvi energije

• Energija se niti ne ustvarja niti ne uničuje
• Energija se pretvarja iz ene oblike v drugo

Sistem proti okolici

• Sistem: del vesolja, ki se proučuje
• Okolica: vse ostalo

Egzotermno proti endotermno

• Egzotermno: oddaja toploto v okolico. ΔH je negativen
• Endotermno: absorbira toploto iz okolice. ΔH je pozitiven

Enote za energijo

• Joule (J): SI enota za energijo
• Kalorija (cal): 1 cal = 4.184 J
• Kilokalorija (kcal) ali Kalorija (Cal): 1 Cal = 1000 cal = 4184 J

Temperatura

Temperatura

• Merilo povprečne kinetične energije

Toplota

• Prenos energije zaradi temperaturne razlike

Termično ravnovesje

• Ni neto prenosa toplote

Temperaturne lestvice

• Celzija ($^{\circ}C$)
• Voda zmrzuje pri $0^{\circ}C$
• Voda vre pri $100^{\circ}C$
• Kelvin (K)
• Absolutna lestvica
• K = $^{\circ}C + 273.15$
• Fahrenheit ($^{\circ}F$)
• Voda zmrzuje pri $32^{\circ}F$
• Voda vre pri $212^{\circ}F$
• $^{\circ}F = \frac{9}{5}^{\circ}C + 32$

Toplotna zmogljivost in specifična toplota

Toplotna zmogljivost (C)

• Energija, potrebna za povišanje temperature predmeta za $1^{\circ}C$

Specifična toplota (c)

• Energija, potrebna za povišanje temperature 1 g snovi za $1^{\circ}C$
• q = mcΔT
• q = toplota
• m = masa
• c = specifična toplota
• ΔT = sprememba temperature

Primerjava Števil

Definicije

• Naravna števila ($\mathbb{N}$): {$0, 1, 2, 3,...$}
• Cela števila ($\mathbb{Z}$): {$..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...$}
• Racionalna števila ($\mathbb{Q}$): {$\frac{a}{b}$ | a in b $\in \mathbb{Z}$, b $\neq$ 0}
• Realna števila ($\mathbb{R}$): Števila, ki so lahko predstavljena na številski premici.

Primerjava

• Večje od: >
• Manjše od: <
• Večje ali enako: $\geq$
• Manjše ali enako: $\leq$

Pravila

1. Vsako pozitivno število je večje od nič.
2. Vsako negativno število je manjše od nič.
3. Vsako pozitivno število je večje od vsakega negativnega števila.
4. Za pozitivna števila velja, da je število večje, večja je njegova vrednost.
5. Za negativna števila velja, da je število večje, manjša je njegova vrednost.

Primeri

• $5 > 2$
• $-3 < 1$
• $0 < 4$
• $-5 > -8$
• $2 \leq 2$
• $-1 \geq -1$

Opombe

• Številska premica je lahko koristna za primerjavo števil.
• Ne pozabite, da smer simbola "večje od" ali "manjše od" označuje odnos med števili.

Vaje

Primerjajte naslednja števila z uporabo simbolov >, 3246>. 1. 2.

Matrike

Definicija

Matrika $A$ je pravokotni seznam števil s $m$ vrsticami in $n$ stolpci.

Elementi matrike

• $a_{ij}$ je element v $i$-ti vrstici in $j$-tem stolpcu.
• $m \times n$ je format matrike (izgovori se "$m$ krat $n$").
• $\mathbb{R}^{m \times n}$ je množica vseh $m \times n$ matrik s elementi iz $\mathbb{R}$.

Posebne matrike

• Kvadratna matrika: $m = n$
• Ničelna matrika: $A = 0$, kar pomeni $a_{ij} = 0$ za vse $i, j$.
• Identitetna matrika: $I_n$ (samo za kvadratne matrike).
• Diagonalna matrika: $a_{ij} = 0$ za $i \neq j$.
• Triangulaste matrike: zgornja in spodnja.
• Simetrična matrika: $A = A^T$ (samo za kvadratne matrike).

Računske operacije

Seštevanje

• Seštevanje matrik $A + B$ je možno le, če imata obe matrike enak format.

Množenje s skalarjem

• Skalar $\lambda A$ se izračuna tako, da se vsak element matrike $A$ pomnoži s $\lambda$.

Množenje matrik

• Rezultat množenja $A \cdot B$ je matrika $C$, kjer je $c_{ik}$ vsota produktov elementov vrstice $i$ matrike $A$ in stolpca $k$ matrike $B$.

Transponirana matrika

• Transponirana matrika $A^T$ se dobi z zamenjavo vrstic in stolpcev matrike $A$.

Inverzna matrika

• Inverzna matrika $A^{-1}$ matrike $A$ je takšna, da velja $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n$.
• Ne obstaja inverzna matrika za vsako matriko.

Sistemi linearnih enačb

• Sistem linearnih enačb se lahko predstavi v matrični obliki kot $Ax = b$.

Rešitev sistema linearnih enačb

• Sistem ima lahko eno rešitev, neskončno rešitev ali pa sploh nima rešitve.

Metode za reševanje sistema linearnih enačb

• Gaussova eliminacija
• Cramerjevo pravilo

Determinanta

• Determinanta je funkcija, ki kvadratni matriki priredi število ($\det(A) \in \mathbb{R}$).

Lastnosti determinante

• $\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A$ je obrnljiva
• $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$
• $\det(A^T) = \det(A)$

Izračun determinante

• Za $2 \times 2$ matrike: $\det \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$.
• Za $3 \times 3$ matrike: Sarrusovo pravilo.
• Splošno: Laplaceov razvoj.

Lastne vrednosti in lastne vektorje

Definicija

• Vektor $v \neq 0$ je lastni vektor matrike $A$ če velja: $Av = \lambda v$
• $\lambda$ je lastna vrednost matrike $A$.

Izračun

• Izračunaj karakteristični polinom: $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$
• Poiščite ničle karakterističnega polinoma. To so lastne vrednosti.
• Za vsako lastno vrednost λ rešite enačbo da najdete lastne vektorje.

Diagonalizacija

• Matrika $A$ je diagonalizabilna, če obstaja obrnljiva matrika T, tako da velja.
• $T^{-1} A T = D$, torej diagonalna matrika D; D je lastna vrednost A. Stolpci T so pripadajoči lastni vektorji.

Področja Uporabe

• Power stabilizacija
• Transformacija

Algoritmično trgovanje

Definicija

• Algoritmično trgovanje (znano tudi kot "Algo Trading" ali "Black-Box Trading") uporablja računalniške programe, ki sledijo določenim navodilom (algoritmu) za oddajo naročila.
• Algoritem temelji na času, ceni, količini, matematičnem modelu ali drugih metodah.
• Zahteva hiter internet in platformo za trgovanje z neposrednim dostopom do trga (DMA).

Prednosti Algoritmičnega Trgovanja

• Zmanjšuje vpliv človeških čustev na odločitve pri trgovanju.
• Omogoča testiranje algoritma na podlagi zgodovinskih podatkov (backtesting).
• Skrajša čas za oddajo naročil.
• Zmanjšuje človeške napake pri oddaji naročil.
• Omogoča sočasno preverjanje več pogojev na trgu.
• Znižuje transakcijske stroške.

Vrste Strategij Algoritmičnega Trgovanja

Strategije Sledenja Trendom

• Enostavne strategije, ki jih je lahko implementirati.
• Algoritmi temeljijo na drsečih povprečjih, prebojih kanalov, cenovnih nivojih in tehničnih indikatorjih.
• Najbolj učinkovite na močnih trendnih trgih.
• Primer: Crossing Moving Averages.

Arbitražne Priložnosti

• Izkoriščajo neučinkovitosti v cenah istega sredstva na različnih borzah ali v različnih oblikah.
• Cilj je ustvariti dobiček brez tveganja, če je izvedeno pravilno.
• Primer: Triangulacija.

Rebalansiranje Indeksnih Skladov

• Indeksni skladi morajo občasno rebalansirati svoje portfelje, da ustrezajo osnovnemu indeksu.
• Algoritmično trgovanje lahko izkoristi rebalansiranje za ustvarjanje priložnosti.
• Algoritmi lahko predvidijo te rebalansiranja in izkoristijo začasna gibanja cen.

Strategije na Podlagi Matematičnih Modelov

• Uporabljajo matematične modele za prepoznavanje priložnosti za trgovanje.
• Priljubljeni modeli vključujejo povprečne preobrate in strategije, ki so nevtralne pred delto.
• Primer: Uparjanje.

Strategija VWAP

• VWAP "Volume-Weighted Average Price" razdeli veliko naročilo na manjše dele, ki se sprostijo na trg ob določenih časih.
• Cilj je izvesti naročilo blizu povprečne tehtane cene glede na obseg (VWAP).
• Zmanjšuje vpliv na trg.

Strategija TWAP

• TWAP "Time-Weighted Average Price" je podobna strategiji VWAP, vendar se osredotoča na enakomerno izvajanje naročil v določenem obdobju.
• Primerna za naročila, ki jih je treba diskretno izvajati skozi čas.

Vhodi v Strategije Algoritmičnega Trgovanja

Podatki iz preteklosti

• Uporabljajo se za preizkušanje in optimizacijo algoritmov.
• Vključujejo ceno, obseg in druge tržne podatke.
• Potrebno je zagotoviti, da so podatki čisti in točni.

Tržni podatki v realnem času

• Zagotavljajo trenutne informacije o trgu.
• Vključujejo ponudbe, podatke o knjigi naročil in novice.
• Izrednega pomena je sprejeti pravočasne odločitve.

Gospodarski kazalniki

• Sledi, kdaj lahko izdaje podatkov povzročijo pomembna gibanja na trgu.
• Podatke o zaposlenosti in inflaciji lahko integriramo.

Viri Novic

• Zagotavljajte informacije o posameznih podjetjih, sektor pa je specifičen za novice.
• Algoritmi lahko hitro reagirajo na novice.
• Analiza lahko opredeli, ali se trgi odzivajo na dogodke povezane z novicami.