Integer Properties and Prime Numbers

Properties of Integers

• Integers are whole numbers, either positive, negative, or zero (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …)
• Properties:
  • Closure: The sum or product of two integers is also an integer
  • Commutative Property: The order of integers does not change the result of addition or multiplication
  • Associative Property: The order in which integers are added or multiplied does not change the result
  • Distributive Property: Multiplication distributes over addition

Prime Numbers

• A prime number is a positive integer that is divisible only by itself and 1
• Examples: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
• Properties:
  • Prime numbers are greater than 1
  • Prime numbers have exactly two distinct factors: 1 and themselves
  • Prime numbers are used as building blocks for all other integers (fundamental theorem of arithmetic)

Divisibility Rules

• A number is divisible by another if the remainder is 0 when divided
• Rules:
  • Divisible by 2: last digit is even (0, 2, 4, 6, or 8)
  • Divisible by 3: sum of digits is divisible by 3
  • Divisible by 4: last two digits form a number divisible by 4
  • Divisible by 5: last digit is 0 or 5
  • Divisible by 6: divisible by both 2 and 3
  • Divisible by 8: last three digits form a number divisible by 8
  • Divisible by 9: sum of digits is divisible by 9
  • Divisible by 10: last digit is 0

Greatest Common Divisor (GCD)

• The largest number that divides both numbers without a remainder
• Methods to find GCD:
  • Listing multiples and finding the largest common multiple
  • Using the Euclidean algorithm
• Properties:
  • GCD(a, b) = GCD(b, a)
  • GCD(a, b) = GCD(a, -b) = GCD(-a, b) = GCD(-a, -b)

Least Common Multiple (LCM)

• The smallest number that is a multiple of both numbers
• Methods to find LCM:
  • Listing multiples and finding the smallest common multiple
  • Using the formula: LCM(a, b) = |a*b| / GCD(a, b)
• Properties:
  • LCM(a, b) = LCM(b, a)
  • LCM(a, b) = LCM(a, -b) = LCM(-a, b) = LCM(-a, -b)

خواص اعداد صحیح

• اعداد صحیح شامل اعداد مثبت، منفی و صفر می‌شوند (...) -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
• خواص:
  • بسته‌گی: جمع یا حاصل‌ضرب دو عدد صحیح باز هم یک عدد صحیح است
  • خاصیت جابجایی: ترتیب اعداد صحیح در جمع یا حاصل‌ضرب تاثیری در نتیجه ندارد
  • خاصیت انباشتی: ترتیب اعداد صحیح در جمع یا حاصل‌ضرب تاثیری در نتیجه ندارد
  • خاصیت توزیع: حاصل‌ضرب روی جمع توزیع می‌شود

اعداد اول

• عدد اول یک عدد صحیح مثبت است که فقط توسط خود و یک قابل تقسیم است
• نمونه‌ها: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
• خواص:
  • اعداد اول از یک بزرگتر هستند
  • اعداد اول دارای دو عامل متمایز هستند: یک و خود عدد
  • اعداد اول به عنوان بلوک‌های ساختمانی برای همه اعداد صحیح دیگر استفاده می‌شوند (قانون اساسی حساب)

قواعد تقسیم‌پذیری

• یک عدد قابل تقسیم توسط دیگر عدد است اگر باقیمانده در هنگام تقسیم صفر باشد
• قواعد:
  • قابل تقسیم توسط 2: رقم آخر زوج است (0, 2, 4, 6, یا 8)
  • قابل تقسیم توسط 3: جمع ارقام قابل تقسیم توسط 3 است
  • قابل تقسیم توسط 4: دو رقم آخر تشکیل یک عدد قابل تقسیم توسط 4 می‌دهند
  • قابل تقسیم توسط 5: رقم آخر 0 یا 5 است
  • قابل تقسیم توسط 6: قابل تقسیم توسط هر دو 2 و 3 است
  • قابل تقسیم توسط 8: سه رقم آخر تشکیل یک عدد قابل تقسیم توسط 8 می‌دهند
  • قابل تقسیم توسط 9: جمع ارقام قابل تقسیم توسط 9 است
  • قابل تقسیم توسط 10: رقم آخر 0 است

بزرگترین مقدار مشترک (GCD)

• بزرگترین عددی که هر دو عدد را بدون باقیمانده تقسیم می‌کند
• روش‌های یافت GCD:
  • فهرست کردن مضرب‌ها و یافتن بزرگترین مضرب مشترک
  • استفاده از الگوریتم اقلیدسی
• خواص:
  • GCD(a, b) = GCD(b, a)
  • GCD(a, b) = GCD(a, -b) = GCD(-a, b) = GCD(-a, -b)

کوچکترین مقدار مشترک (LCM)

• کوچکترین عددی که مضرب هر دو عدد است
• روش‌های یافت LCM:
  • فهرست کردن مضرب‌ها و یافتن کوچکترین مضرب مشترک
  • استفاده از فرمول: LCM(a, b) = |a*b| / GCD(a, b)
• خواص:
  • LCM(a, b) = LCM(b, a)
  • LCM(a, b) = LCM(a, -b) = LCM(-a, b) = LCM(-a, -b)