Impulso e Quantità di Moto

• Il termine "urto" si riferisce all'interazione tra due particelle o corpi estesi che si verifica attraverso forze impulsive in un lasso di tempo trascurabile rispetto ai normali periodi di osservazione del moto.
• L'idea comune di un urto che coinvolge il contatto tra due corpi è imprecisa, come dimostrato dall'analisi microscopica delle interazioni durante l'urto.
• Le particelle con la stessa carica non si toccano mai durante l'interazione, ma si respingono a causa della forte repulsione di Coulomb a breve distanza.

Impulso e quantità di moto

• In un sistema isolato di due particelle con masse m1 e m2, la forza F21 esercitata da m2 su m1 causa una variazione della quantità di moto ∆p1 in m1.
• La variazione della quantità di moto (∆p1) è determinata dall'integrale della forza F21 rispetto al tempo.

Dipendenze Temporali e Terza Legge di Newton

• Le dipendenze temporali delle forze F21 e F12 possono essere complesse.
• Con la terza legge di Newton (F21 = -F12), si deduce che ∆p1 = -∆p2.

Conservazione della Quantità di Moto

• La quantità di moto totale del sistema (p(t) = p1(t) + p2(t)) rimane costante durante l'urto.
• Questo avviene perché il sistema è isolato, senza forze esterne. Le forze interne di interazione non influenzano la quantità di moto del sistema.
• Il principio di conservazione della quantità di moto è valido, ma solo quando le forze esterne mancano di natura impulsiva e la durata dell'impatto è minima.

Impulso Totale Dovuto a Forze Esterne

• La variazione della quantità di moto totale (∆p) risultante solo da forze esterne è determinata dall'integrale della forza esterna media (F(ext)) sull'intervallo di tempo ∆t.
• Se la forza esterna media è piccola o se l'intervallo di tempo ∆t è breve, la variazione ∆p è trascurabile.

Conservazione dell'energia cinetica

• La quantità di moto totale si conserva in tutti gli urti in cui le forze esterne che agiscono sul sistema sono trascurabili; in generale, l'energia cinetica totale non si conserva.
• La conservazione dell'energia cinetica durante l'urto viene utilizzata per classificare i processi di urto.

Centro di Massa

• Lo studio degli urti può essere condotto sia rispetto a un sistema di riferimento inerziale sia rispetto al sistema del centro di massa, vCM è la velocità del centro di massa rispetto al sistema di riferimento inerziale.
• Le velocità v1 e v2 di due particelle rispetto a questo sistema sono relazionate alle velocità rispetto al centro di massa (v1' e v2').

Vantaggi del sistema del centro di massa

• La quantità di moto totale (p') della coppia di particelle è zero.
• Se ci si riferisce ai pedici i e f rispettivamente ai vettori che caratterizzano le particelle prima e dopo l'urto: p'i = m1v'1i + m2v'2i = 0 e p'f = m1v'1f + m2v'2f = 0.

Quantità di moto prima e dopo l'urto

• p'1i = -p'2i e p'1f = -p'2f
• Un osservatore nel sistema del centro di massa osserva le particelle muoversi verso il centro di massa con quantità di moto uguali e opposte prima dell'urto, e allontanarsi allo stesso modo dopo l'urto.
• In generale p'1i ≠ p'1f e p'2i ≠ p'2f.

Urto completamente anelastico

• La massima perdita di energia cinetica si verifica quando le due particelle di massa m1 e m2, dopo l'impatto, si muovono come un'unica particella con una massa pari alla somma di m1 + m2.
• Questo tipo di impatto è etichettato come completamente anelastico.

Velocità nell'urto anelastico

• Considerando v1 e v2 come le velocità prima dell'urto e v' come la velocità delle due particelle accoppiate dopo l'urto, il principio di conservazione della quantità di moto: m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v' ο v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2) ≡ vCM.
• Dopo l'impatto, la particella di massa m1 + m2 si muove con la velocità del centro di massa delle particelle immediatamente prima dell'impatto, il che significa che la velocità del centro di massa viene preservata durante l'urto.

Teorema di König ed Energia Cinetica

• L'energia cinetica prima dell'urto è: 1/2 m1v1^2 + 1/2 m2v2^2 = Ek'i + 1/2 (m1 + m2)vCM^2
• Dopo l'impatto, le particelle sono ferme nel sistema del centro di massa e Ek'f = 0: Ekf = 1/2 (m1 + m2)vCM^2

Energia assorbita

• L'energia che le particelle possiedono prima dell'impatto nel sistema del centro di massa viene assorbita durante l'urto.
• La variazione ∆Ek dell'energia cinetica prima e dopo l'impatto è pari a: ∆Ek = Ekf - Eki = -Ek'i
• Questa energia viene utilizzata per deformare permanentemente le due particelle dopo l'impatto.

Esempio di urto completamente anelastico

• Considerando un impatto tra due particelle isolate di masse m1 e m2, con la prima con velocità v1, se l'impatto è completamente anelastico: m1v1 = (m1 + m2)vCM.
• vCM = (m1)/(m1 + m2) v1
• Quindi, dopo l'urto, il moto avviene nella stessa direzione e verso del moto di m1 prima dell'urto.

Energia Cinetica prima e dopo

• Le energie cinetiche prima e dopo l'urto (completamente anelastico) sono, rispettivamente: Eki = 1/2 m1v1^2 and Ekf = 1/2 (m1 + m2) vCM^2 = 1/2 (m1 + m2) ( (m1^2 v1^2)/(m1 + m2)^2 ) = 1/2 ( (m1^2)/(m1 + m2) ) v1^2
• ∆Ek = Ekf - Eki = 1/2 ( (m1^2)/(m1 + m2) ) v1^2 - 1/2 m1v1^2 = - (m1m2)/(2(m1 + m2)) v1^2. In particolare Ekf = (m1/(m1 + m2))Eki.

Comportamento dell'energia cinetica durante l'urto

• Se m1 = m2: Ekf = Eki/2: metà dell'energia cinetica iniziale viene persa durante l'urto.
• Se m1 >> m2: Ekf ≈ Eki: la perdita di energia è trascurabile.
• Se m1 << m2: Ekf ≈ 0: tutta l'energia cinetica viene persa nell'urto.

Esempio: particelle che si muovono perpendicolarmente verso l'altro.

• Considerando due particelle isolate di masse m1 e m2 che si muovono l'una verso l'altra con velocità v1 e v2 lungo direzioni perpendicolari tra loro.
• Considerando il sistema di riferimento con origine O nel punto in cui si verifica l'urto e con gli assi orientati come le velocità v1 e v2, dalla conservazione della quantità di moto: m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)vCM

Angolo formato dal vettore VCM

• Indicando con ϑ l'angolo che forma il vettore vCM con l'asse x, proiettando la relazione precedente sugli assi, si ha: x: m1v1 = (m1 + m2)vCM cos ϑ e y: m2v2 = (m1 + m2)vCM sin ϑ
• tan ϑ = (m2v2)/(m1v1) e vCM = √((m1v1)^2 + (m2v2)^2) / (m1 + m2).

Esempio del pendolo balistico

• Considerando un blocco di legno sospeso verticalmente ad un filo.
• Una pallottola di massa m e velocità v diretta orizzontalmente urta il blocco e vi si conficca.

Conservazione della quantità di moto

• Se il tempo di collisione, solitamente dell'ordine dei millesimi di secondo, è piccolo rispetto al periodo di oscillazione del pendolo, il filo resta verticale durante l'urto.
• Siccome sul sistema non agiscono forze dirette orizzontalmente (la forza peso è verticale) la componente della quantità di moto lungo questa direzione si conserva
• mv= (m + mb)v' dove v' è la velocità del sistema pallottola+blocco, pari a v' = (m)/(m + mb) v.

Urto Elastico

• Si verifica quando le forze interne durante l'urto sono conservative. In questo caso, si conservano sia la quantità di moto sia l'energia cinetica.
• I corpi che collidono subiscono deformazioni elastiche e ritornano alla loro configurazione originale.

Condizioni e Relazioni

• Le condizioni per questo tipo di urto, detto elastico, sono: pi(freccia sopra) = pf(freccia sopra) ed Eki = Ekf
• L'utilizzo di queste relazioni corrisponde a un sistema di tre equazioni in quattro incognite in due dimensioni.
• La soluzione del problema richiede, oltre alla conoscenza delle velocità delle particelle prima dell'urto, anche alcune informazioni relative alle velocità delle particelle dopo l'urto.

Impatto unidimensionale

• Il problema può essere risolto completamente: m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
• In aggiunta, 1/2m1v1^2i + 1/2m2v2^2i = 1/2m1v1^2f + 1/2m2v2^2f
• Nel sistema del centro di massa, le quantità di moto totali sono sempre nulle: m1v'1i = -m2v'2i e m1v'1f = -m2v'2f.

Conservazione energia cinetica

• Vale inoltre la conservazione dell'energia cinetica: 1/2m1v'1^2i + 1/2m2v'2^2i = 1/2m1v'1^2f + 1/2m2v'2^2f.
• Sfruttando le equazioni precedenti si ricava quanto segue: v'1f = -v'1i e v'2f = -v'2i, cioè la quantità di moto di ogni particella resta costante in modulo ma cambia di verso.