Identidades Trigonométricas de Matemáticas

Identidades Trigonométricas

1. Identidades Fundamentales

• Seno y Coseno: ( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 )
• Tangente: ( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} )
• Cotangente: ( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} )
• Secante: ( \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} )
• Cosecante: ( \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} )

2. Identidades Recíprocas

• ( \sin(x) = \frac{1}{\csc(x)} )
• ( \cos(x) = \frac{1}{\sec(x)} )
• ( \tan(x) = \frac{1}{\cot(x)} )

3. Identidades de Ángulo Suma y Diferencia

• Suma:

  • ( \sin(a + b) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b) )
  • ( \cos(a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b) )
  • ( \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} )

• Diferencia:

  • ( \sin(a - b) = \sin(a) \cos(b) - \cos(a) \sin(b) )
  • ( \cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b) )
  • ( \tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)} )

4. Identidades de Ángulo Doble

• Seno:
  • ( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) )
• Coseno:
  • ( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) )
  • Alternativamente: ( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 )
  • Alternativamente: ( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) )
• Tangente:
  • ( \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)} )

5. Identidades de Ángulo Mitad

• Seno:
  • ( \sin\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}} )
• Coseno:
  • ( \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}} )
• Tangente:
  • ( \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} )
  • Alternativamente: ( \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)} )
  • Alternativamente: ( \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{\tan(x/2)} )

Identidades Trigonométricas

• Las identidades trigonométricas son ecuaciones que son verdaderas para todos los valores de las variables para las que están definidas las funciones.
• Son esenciales para simplificar expresiones trigonométricas, resolver ecuaciones y probar otras identidades.

Identidades Fundamentales

• Relación entre seno y coseno: ( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 )
  • Esta identidad relaciona el seno y el coseno de un ángulo y se deriva del teorema de Pitágoras.
• Definición de la tangente: ( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} )
  • La tangente de un ángulo es la razón entre el seno y el coseno del ángulo.
• Definición de la cotangente: ( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} )
  • La cotangente es la inversa de la tangente y es la razón entre el coseno y el seno del ángulo.
• Definición de la secante: ( \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} )
  • La secante es la inversa del coseno.
• Definición de la cosecante: ( \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} )
  • La cosecante es la inversa del seno.

Identidades Recíprocas

• Las identidades recíprocas establecen la relación inversa entre las funciones trigonométricas:
  • ( \sin(x) = \frac{1}{\csc(x)} )
  • ( \cos(x) = \frac{1}{\sec(x)} )
  • ( \tan(x) = \frac{1}{\cot(x)} )

Identidades de Ángulo Suma y Diferencia

• Estas identidades permiten calcular el seno, coseno o tangente de la suma o diferencia de dos ángulos en términos de las funciones trigonométricas de los ángulos individuales.
  • Suma:
    • ( \sin(a + b) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b) )
    • ( \cos(a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b) )
    • ( \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} )
  • Diferencia:
    • ( \sin(a - b) = \sin(a) \cos(b) - \cos(a) \sin(b) )
    • ( \cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b) )
    • ( \tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)} )

Identidades de Ángulo Doble

• Estas identidades permiten expresar el seno, coseno o tangente de un ángulo doble en términos de las funciones trigonométricas del ángulo original.
  • Seno:
    • ( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) )
  • Coseno:
    • ( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) )
    • ( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 )
    • ( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) )
  • Tangente:
    • ( \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)} )

Identidades de Ángulo Mitad

• Estas identidades permiten expresar el seno, coseno o tangente de la mitad de un ángulo en términos de las funciones trigonométricas del ángulo original.
  • Seno:
    • ( \sin\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}} )
  • Coseno:
    • ( \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}} )
  • Tangente:
    • ( \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} )
    • ( \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)} )
    • ( \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{\tan(x/2)} )