ryjhtdgsfd

Histogramme

• 'n Histogram is 'n grafiese voorstelling van die frekwensieverspreiding van 'n stel data.
• Dit bestaan uit stawe wat klasintervalle voorstel.
• Die hoogte van elke staaf stem ooreen met die frekwensie van data binne daardie interval.

Sleutel eienskappe:

• Elke staaf verteenwoordig 'n klasinterval.
• Die hoogte dui die frekwensie van data in daardie klasinterval aan.
• Anders as staafgrafieke, is daar geen gapings tussen die stawe nie, tensy 'n klasinterval 'n frekwensie van nul het.

Stappe om 'n histogram te teken:

• Verdeel die data in intervalle van gelyke lengte.
• Tel hoeveel datapunte in elke interval val.
• Teken die horisontale as (klasintervalle) en die vertikale as (frekwensies).
• Teken stawe vir elke klasinterval met hoogtes wat ooreenstem met hul frekwensies.

Frekwensie Poligone

• 'n Frekwensie poligon is 'n grafiese voorstelling van die frekwensies van verskillende klasintervalle.
• Dit is soortgelyk aan 'n histogram, maar gebruik punte wat deur reguit lyne verbind word in plaas van stawe.

Sleutel eienskappe:

• Elke punt verteenwoordig die frekwensie van 'n klasinterval.
• Punte word verbind deur reguit lyne.
• Elke punt word op die middelpunt van die klasinterval op die horisontale as gestip.

Stappe om 'n frekwensie poligon te teken:

• Begin deur 'n histogram vir die data te teken.
• Vind die middelpunt van elke klasinterval.
• Stip 'n punt op die hoogte wat ooreenstem met die frekwensie by elke middelpunt.
• Verbind die punte met reguit lyne.

Opsomming van Sleutel Konsepte

• Relatiewe Frekwensie:
  • Die verhouding van die frekwensie van 'n gebeurtenis tot die totale aantal waarnemings.
  • $\text{Relatiewe Frekwensie} = \frac{\text{Frekwensie}}{\text{Totale aantal waarnemings}}$
• Klasinterval: 'n Reeks waardes in 'n datastel verdeel in intervalle van gelyke lengte.
• Klasmerk: Die middelpunt van 'n klasinterval.
• Modale Klas: Die klasinterval met die hoogste frekwensie.
• Mediaan Klas: Die klasinterval waar die mediaan val.

Stappe om die Histogram te Teken

• Definieer intervalle van gelyke lengte vir die data.
• Tel die aantal datapunte in elke interval.
• Teken die horisontale as vir intervalle en die vertikale as vir frekwensies.
• Teken stawe met hoogtes wat ooreenstem met die frekwensies.

Stappe om die frekwensie poligon te teken

• Stip punte by die middelpunnte van elke klasinterval op hoogtes wat ooreenstem met die frekwensies.
• Verbind die punte met reguit lyne om die frekwensie poligon te vorm.

Ogiewe

• Kumulatiewe frekwensie $CF_i = \sum_{j=1}^{i} f_j$
  • $CF_i$ is die kumulatiewe frekwensie tot by die $i$-de interval.
  • $f_j$ is die frekwensie van die $j$-de interval.
• Ogief stippel punte:
  • $(x_0, 0), (x_1, CF_1), (x_2, CF_2), \ldots, (x_i, CF_i)$
  • $x_i$ is die boonste grens van die $i$-de interval.
• Kumulatiewe Frekwensie = Som van alle vorige frekwensies + Huidige frekwensie

Ogief Konstruksie:

• Skep 'n kumulatiewe frekwensie tabel van die frekwensie tabel.
• Stip punte deur die boonste perke van intervalle en hul ooreenstemmende kumulatiewe frekwensies te gebruik.
• Verbind die punte met reguit lyne.

Hoe om Ogiewe te Gebruik

Vind van Mediaan:

• Soek die 50ste persentiel op die kumulatiewe frekwensie as.
• Identifiseer die ooreenstemmende datawaarde op die x-as.

Vind van Kwartiele:

• Eerste Kwartiel (Q1): Soek die 25ste persentiel.
• Tweede Kwartiel (Q2): Mediaan of die 50ste persentiel.
• Derde Kwartiel (Q3): Soek die 75ste persentiel.

Interpreteer Persentiele:

• $P_k = \left( \frac{k}{100} \times N \right)$
  • $P_k$ is die $k$-de persentiel.
  • $k$ is die verlangde persentiel (bv. 25 vir Q1).
  • $N$ is die totale aantal datapunte.

Variansie en Standaardafwyking

• Variansie:
  • $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$
    • $\sigma^2$ is die variansie.
    • $n$ is die aantal datapunte.
    • $x_i$ is elke individuele datapunt. -$\bar{x}$ is die gemiddelde van die datapunte.
• Standaardafwyking:
  • $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$

Eienskappe van Variansie:

• Variansie is altyd nie-negatief aangesien elke term in die variansiesom gekwadreer word.
• Dit het gekwadreerde eenhede, wat dit nie direk vergelykbaar maak met die gemiddelde of die data self nie.

Eienskappe van Standaardafwyking:

• Standaardafwyking meet die verspreiding van data rondom die gemiddelde.
• Dit is altyd 'n positiewe getal.
• Dit het dieselfde eenhede as die oorspronklike data.
• 'n Klein standaardafwyking dui aan dat die datapunte naby die gemiddelde is.
• 'n Groot standaardafwyking dui aan dat die datapunte oor 'n wye reeks waardes versprei is.

Stappe vir die Berekening van Variansie en Standaardafwyking

• Bereken die Gemiddelde:
  • $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
• Bereken Elke Afwyking van die Gemiddelde:
  • $x_i - \bar{x}$
• Kwadreer Elke Afwyking:
  • $(x_i - \bar{x})^2$
• Som die Kwadreerde Afwykings op:
  • $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$
• Deel deur die Aantal Datapunte om die Variansie te Vind:
  • $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$
• Neem die Vierkantswortel van die Variansie om die Standaardafwyking te Vind:
  • $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$

Interpretasie

• Klein Standaardafwyking: Datawaardes is naby die gemiddelde, wat lae veranderlikheid aandui.
• Groot Standaardafwyking: Datawaardes is oor 'n groter reeks gesprei, wat hoë veranderlikheid aandui.
• Standaardafwyking in Konteks: Dit kan 'n maatstaf van onsekerheid of presisie wees, veral nuttig om teoretiese voorspellings met eksperimentele resultate te vergelyk.

Simmetriese en Skeep Verdelings

Simmetriese Verdelings:

• 'n Verdeling waar die linker- en regterkante ongeveer spieëlbeelde van mekaar is.
• Gemiddelde is ongeveer gelyk aan die mediaan.
• Die linker- en regtersterte is gebalanseerd.
• Boks-en-whisker plot: die mediaan is halfpad tussen die eerste en derde kwartiele.

Regs Skeef (Positief Skeef) Verdelings:

• Die regterstert (positiewe kant) is langer as die linkerstert.
• Gemiddelde is groter as die mediaan.
• Boks-en-whisker plot: die mediaan is nader aan die eerste kwartiel as aan die derde kwartiel.

Links Skeef (Negatief Skeef) Verdelings:

• Die linkerstert (negatiewe kant) is langer as die regterstert.
• Gemiddelde is minder as die mediaan.
• Boks-en-whisker plot: die mediaan is nader aan die derde kwartiel as aan die eerste kwartiel.

Visuele Opsommings

Simmetriese Verdeling:

• Gemiddelde $\approx$ Mediaan
• Sterte is gebalanseerd
• Boks plot: Mediaan is in die middel tussen Q1 en Q3

Regs Skeef Verdeling:

• Gemiddelde $>$ Mediaan
• Langer regterstert
• Boks plot: Mediaan is nader aan Q1

Links Skeef Verdeling:

• Gemiddelde $Median
• Langer linkerstert
• Boks plot: Mediaan is nader aan Q3