Matma

Z populacji wylosowano próbę pięcioelementową: {1, 2, 5, 10, 12}. Mediana dla próby wynosi:

Załóżmy, że X1,X2,…,Xk to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie normalnym standardowym N(0,1) oraz Z=X21+X22+...+X2k. Zmienna losowa Z ma rozkład:

Która z poniższych miar jest miarą rozproszenia?

Z populacji wylosowano próbę pięcioelementową: {1, 2, 5, 10, 12}. Średnia z próby wynosi:

Estymator wartości oczekiwanej x =(x1+x2+⋯+xn)/n jest:

Jeżeli Cov(X,Y)=0, to zmienne losowe X i Y są:

Jeżeli (EX)^2 <∞ i (EY)^2 <∞, to | E(XY)| ≤ √(EX)^2 (EY)^2 Powyższa nierówność znana jest jako nierówność:

Jeżeli ρ(X,Y)=−1, to zmienne losowe X i Y są:

Współczynnik korelacji ρ(x,y) jest zdefiniowany wzorem:

Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, X ma rozkład normalny N(1,3), Y ma rozkład normalny N(3,4) oraz S=X+Y, to zmienna losowa S ma rozkład:

Niech X oznacza ilość orłów uzyskanych w pięciu rzutach monetą, a Y oznacza ilość reszek uzyskanych w tym samym eksperymencie. Współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y wynosi: Wskazówka: warto zauważyć, że X+Y=5

Firmy przeprowadzające badania sondażowe do wyznaczania wielkości próby N korzystają z:

Jeżeli X1,X2,X3,X4 to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie normalnym N(1,2) oraz S=X1+X2+X3+X4, to zmienna losowa S ma rozkład:

Jeżeli X1,X2,X3,X4 to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie normalnym N(1,2) oraz T=(X1+X2+X3+X4)/4, to zmienna losowa T ma rozkład:

Niech X1,X2,X3,… będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z wartością oczekiwaną E(Xk)=μ oraz odchyleniem standardowym σ(Xk)=σ, k=1,2,3,…. Wtedy: lim n→∞ P(a<(Sn−nμ)/(σ√n)<b)=Φ(b)−Φ(a), gdzie Sn=X1+X2+⋯+Xn oraz Φ oznacza dystrybuantę rozkładu normalnego standardowego N(0,1) Powyższe twierdzenie to:

Jeżeli F(x) jest dystrybuantą zmiennej losowej X, to:

Jeżeli P(X=0)=P(X=1)=0,5, to:

Jeżeli P(X=0)=P(X=−1)=0,5, to:

Jeżeli P(X=0)=P(X=−1)=0,5, to:

Niech x>0 oraz Φ(x) to wartość dystrybuanty rozkładu normalnego standardowego. Wówczas:

Rozkład ciągłej zmiennej losowej X jest wyznaczony jednoznacznie przez:

Załóżmy, że X jest zmienną losową o skończonej wariancji. Wskaż prawdziwą nierówność:

Funkcja gęstości rozkładu normalnego standardowego N(0,1) zadana jest wzorem:

Dystrybuanta rozkładu wykładniczego Exp(λ) zadana jest wzorem:

Rozkład dwumianowy B(n,p) to rozkład zmiennej losowej opisującej:

W klasycznym modelu prawdopodobieństwa zakładamy, że

Jeżeli zdarzenia losowe A i B spełniają warunek A⊂B, to

Pięciu studentów wpisuje się na listę obecności. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że utworzona lista jest w porządku alfabetycznym?

(nk) to ilość wszystkich:

Jeżeli P(A)=0,3, P(B)=0,5 oraz zdarzenia A i B wykluczają się, to

Liczba wszystkich różnych k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa

Liczba wszystkich różnych k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest równa

Zdarzenie losowe oznaczane symbolem ∅ to :

Jeżeli P(A)=p, a zdarzenie B jest zdarzeniem przeciwnym do A, to:

Wskaż poprawny wzór:

Jeżeli P(A)=0,3 , P(B)=0,5 oraz zdarzenia A i B są niezależne, to:

Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne oraz P(B)>0, to

Jeżeli p oznacza prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie Bernoulliego, a n oznacza ilość wykonanych prób, oraz (n+1)p jest liczbą naturalną, to najbardziej prawdopodobna liczba N uzyskanych sukcesów wynosi:

Załóżmy, że B1,B2,…,Bn to rozkład przestrzeni Ω (inaczej: układ zupełny) oraz A jest zdarzeniem losowym. Wówczas P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+⋯+P(A|Bn)P(Bn).

Próba Bernoulliego to:

Prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w n próbach Bernoulliego wyraża się wzorem

Zdarzenia A, B, C są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy:

Zdarzenia A i B są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy:

Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B definiujemy wzorem:

Rzucamy kostką do gry dziesięć razy. Prawdopodobieństwo wyrzucenia dziesięciu szóstek wynosi:

Załóżmy, że B1,B2,…,Bn to rozkład przestrzeni Ω (inaczej: układ zupełny) oraz A jest zdarzeniem losowym i P(A)>0. Wówczas dla dowolnego k∈{1,2,…,n} zachodzi wzór P(Bk|A)=P(A|Bk)P(Bk)/P(A)