Hàm số và Đạo hàm - Cuộc thi Toán lớp 12

Tính giá trị của $a + b + c$ trong bài toán với hàm số $f(x)$ nếu biết rằng $\int_0^1 f(x)dx = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là dạng tối giản.

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(a, b)$ sao cho $a + b \le 2023$ và diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol và đồ thị $(C)$ là 16?

Giá trị của chu vi đường tròn $M$ với $M$ là tập hợp các điểm $X$ sao cho $\overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB}$ đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Điều kiện nào dưới đây là không đúng về hàm số $f(x)$ khi thỏa mãn $f'(x) = f(x) + x^2 + 1$?

Mặt cầu $(S)$ cho bởi phương trình nào dưới đây?

Câu 47

Hàm số ( f(x) ) liên tục và có đạo hàm liên tục trên ( \mathbb{R} ).
Thỏa mãn điều kiện ( f(0) = 1 ).
Đạo hàm của ( f ): ( f'(x) = f(x) + x^2 + 1 ).
( \int_0^1 f(x)dx = \frac{a}{b} ) với ( a, b, c ) là số nguyên dương và ( \frac{a}{b} ) tối giản.
Tính tổng ( a + b + c ).

Câu 48

Hàm số ( y = f(x) ) có đồ thị ( (C) ) với 2 điểm cực trị tại ( -1 ) và ( 1 ).
Parabol ( y = ax^2 + bx + c ) đi qua 2 điểm cực trị của ( (C) ).
Cần tìm số cặp số nguyên dương ( (a, b) ) thỏa mãn ( a + b \le 2023 ) và diện tích hình phẳng giữa parabol và đồ thị ( (C) ) bằng ( 16 ) (đơn vị diện tích).

Câu 49

Trong không gian tọa độ ( Oxyz ), có mặt cầu ( (S) ) với phương trình: [ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z + 14 = 0 ]
Hai điểm ( A(1; 2; 3) ) và ( B(-1; 0; 1) ).
Tập hợp các điểm ( X ) sao cho ( \overrightarrow{XA} \cdot \overrightarrow{XB} ) đạt giá trị nhỏ nhất tạo thành một đường tròn.
Cần tính chu vi của đường tròn ( M ).

Khám phá các bài toán đạo hàm và tích phân trong môn Toán lớp 12. Các câu hỏi liên quan đến hàm số liên tục và cực trị là thách thức thú vị cho các học sinh. Hãy thử sức với những vấn đề này và kiểm tra khả năng toán học của bạn!