Calculus: Derivatives and Integrals

Calculus

Definition

Branch of mathematics that studies continuous change.
Involves derivatives (rates of change) and integrals (accumulation of quantities).

Key Concepts

Limits
- Fundamental concept in calculus.
- Describes the behavior of functions as inputs approach a certain point.
Derivatives
- Measure of how a function changes as its input changes.
- Represents the slope of the tangent line to the function's graph at a point.
- Common notations: f'(x), df/dx.
- Rules of Differentiation:
  - Power Rule: d/dx [x^n] = n * x^(n-1)
  - Product Rule: d/dx [u*v] = u'v + uv'
  - Quotient Rule: d/dx [u/v] = (u'v - uv') / v^2
  - Chain Rule: d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)
Integrals
- Represents the accumulation of quantities and the area under curves.
- Two types: Definite and Indefinite integrals.
- Fundamental Theorem of Calculus:
  - Connects differentiation and integration.
  - If F is an antiderivative of f, then:
    - ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
- Techniques of Integration:
  - Substitution
  - Integration by parts
  - Partial fractions
  - Numerical integration (e.g., Trapezoidal rule, Simpson's rule)
Applications of Calculus
- Physics: Motion, forces, and energy calculations.
- Engineering: Analysis of systems and optimization problems.
- Economics: Marginal analysis, cost functions.
- Biology: Population dynamics, growth models.
Multivariable Calculus
- Extends calculus to functions of multiple variables.
- Partial derivatives and multiple integrals.
- Applications in fields like physics and engineering.
Differential Equations
- Equations involving derivatives that describe various phenomena.
- Can be ordinary (ODEs) or partial (PDEs).

Important Theorems

Mean Value Theorem: Relates average rate of change to instantaneous rate.
Rolle's Theorem: If a function is continuous on [a,b] and differentiable on (a,b), and f(a) = f(b), then there exists at least one c in (a,b) where f'(c) = 0.

Notation

∑: Summation
∏: Product
∫: Integral
lim: Limit

Tips for Studying Calculus

Practice problems regularly to strengthen understanding.
Visualize concepts using graphs.
Study limits before derivatives and integrals for a solid foundation.
Use online resources and videos for additional clarity on complex topics.

परिभाषा

गणित की एक शाखा जो निरंतर परिवर्तन का अध्ययन करती है।
इसमें अवकलन (परिवर्तन की दर) और समाकलन (तथ्य का संचय) शामिल हैं।

मुख्य सिद्धांत

सीमाएं (Limits)
- कैलकुलस में मूलभूत सिद्धांत।
- फ़ंक्शनों के व्यवहार का वर्णन करता है जब इनपुट एक निश्चित बिंदु के निकट पहुंचता है।
अवकलन (Derivatives)
- फ़ंक्शन के परिवर्तन की माप, जब इसका इनपुट बदलता है।
- ग्राफ के किसी बिंदु पर टेन्जेंट रेखा की ढाल का प्रतिनिधित्व करता है।
- सामान्य संकेतन: f'(x), df/dx।
- अवकलन के नियम:
  - पावर नियम: d/dx [x^n] = n * x^(n-1)
  - गुणन नियम: d/dx [u*v] = u'v + uv'
  - भागफल नियम: d/dx [u/v] = (u'v - uv') / v²
  - श्रृंखला नियम: d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)
समाकल (Integrals)
- संगठित मात्राओं और ग्राफ के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है।
- दो प्रकार: निश्चित और अव्यक्त समाकल।
- कैल्कुलस का मौलिक प्रमेय:
  - अवकलन और समाकलन के बीच संबंध बताता है।
  - यदि F, f का एंटीडेरिवेटिव है, तो:
    - ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
- समाकलन की तकनीकें:
  - प्रतिस्थापन (Substitution)
  - भागों द्वारा समाकलन (Integration by parts)
  - आंशिक भिन्न (Partial fractions)
  - संख्यात्मक समाकलन (जैसे, ट्रैपेज़ॉयडल नियम, सिम्पसन का नियम)
कैल्कुलस के अनुप्रयोग
- भौतिकी: गति, बल, और ऊर्जा की गणनाएं।
- अभियांत्रिकी: प्रणाली का विश्लेषण और अनुकूलन समस्याएँ।
- अर्थशास्त्र: सीमांत विश्लेषण, लागत समारोह।
- जीवविज्ञान: जनसंख्या गतिशीलता, वृद्धि के मॉडल।
बहु-चर कैल्कुलस (Multivariable Calculus)
- कई चर के फ़ंक्शनों में कैल्कुलस का विस्तार।
- आंशिक अवकलन और मल्टीपल समाकल।
- भौतिकी और अभियांत्रिकी जैसे क्षेत्रों में अनुप्रयोग।
अवकल समीकरण (Differential Equations)
- अवकलनों को समाहित करने वाले समीकरण, विभिन्न घटनाओं का वर्णन करते हैं।
- आम (ODEs) या आंशिक (PDEs) हो सकते हैं।

महत्वपूर्ण प्रमेय

औसत मूल्य प्रमेय: औसत परिवर्तन दर को तात्कालिक परिवर्तन दर से जोड़ता है।
रोल का प्रमेय: यदि एक फ़ंक्शन [a,b] पर निरंतर है और (a,b) पर अवकलनीय है, और f(a) = f(b), तो (a,b) में कम से कम एक c ऐसा है जहाँ f'(c) = 0।

संकेत

∑: योग
∏: गुणन
∫: समाकल
lim: सीमा

अध्ययन के टिप्स

समस्याओं का नियमित अभ्यास करना, समझ को मजबूत करता है।
ग्राफ का उपयोग करके अवधारणाओं को दृश्य रूप में समझें।
अवकलन और समाकल से पहले सीमाओं का अध्ययन करें।
जटिल विषयों पर अतिरिक्त स्पष्टता के लिए ऑनलाइन संसाधनों और वीडियो का उपयोग करें।