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Capítulo 2: Estudio de la Estabilidad de Sistemas Lineales Continuos

Introducción

• La estabilidad es crucial para los sistemas; un sistema estable retorna a su equilibrio tras una perturbación.
• Estabilidad BIBO: Entradas acotadas siempre producen salidas acotadas.
• Estabilidad asintótica: El sistema vuelve a su equilibrio con el tiempo.
• Estabilidad interna: Todos los estados internos permanecen acotados.

Estabilidad de Sistemas Lineales Continuos

Estabilidad BIBO

• Un sistema con función de transferencia H(p) es estable BIBO si los polos de H(p) tienen parte real negativa: Re(pi) < 0 para todo i.

Estabilidad Asintótica

• En sistemas lineales continuos, la estabilidad asintótica equivale a la estabilidad BIBO.

Criterio de Routh-Hurwitz

• Permite determinar estabilidad sin calcular polos, basándose en el polinomio característico:
  • P(p) = an pn + an-1 pn-1 + ... + a1 p + a0
  • con an > 0.
• Se construye un tabla de Routh y el sistema es estable si todos los elementos de la primera columna son positivos.
• El número de cambio de signos de la primera colunma es igual a las raices con parte real positiva

Ejemplo

• Polinomio característico: P(p) = p3 + 6p2 + 11p + 6
• Sistema estable porque todos los elementos de la primera columna del tablero de Routh son positivos.

Conclusión

• Estudiar la estabilidad es esencial para asegurar el correcto funcionamiento de los sistemas.
• El criterio de Routh-Hurwitz es una herramienta para analizar la estabilidad de sistemas lineales.

Física

Cinemática

Desplazamiento, Velocidad, Aceleración

Movimiento 1D con Aceleración Constante

• $x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$
• $v = v_0 + at$
• $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$

Movimiento de Proyectiles

• $\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{v}_0t + \frac{1}{2}\vec{g}t^2$
• $\vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{g}t$
• donde $\vec{g} = (0, -g)$ y $g = 9.8 m/s^2$

Dinámica

Fuerza y Leyes de Newton

• 1ra Ley de Newton: Un cuerpo permanece en movimiento uniforme a menos que una fuerza actúe sobre él.
• 2da Ley de Newton: $\vec{F}_{net} = \sum{\vec{F_i}} = m\vec{a}$
• 3ra Ley de Newton: $\vec{F}{AB} = -\vec{F}{BA}$

Fuerzas Comunes

Fuerza de Arrastre

• $\vec{F}_{drag} = -b\vec{v} \qquad$ (bajas velocidades)
• $\vec{F}_{drag} = -\frac{1}{2}C\rho A v^2 \hat{v} \qquad$ (altas velocidades)
  • donde b = coeficiente de arrastre
  • C = coeficiente de arrastre
  • ρ = densidad del fluido
  • A = área transversal
  • $\hat{v} =$ vector unitario en la dirección de $\vec{v}$

Trading Algorítmico y Ejecución de Órdenes

Mercados Financieros

Participantes

• Inversores: Fondos de pensiones,mutuos, etc.
• Corporaciones: Emisión / recompra de acciones.
• Intermediarios: Goldman Sachs, Morgan Stanley, etc.
• Creadores de Mercado: Virtu, Citadel..
• Bolsas: NYSE, NASDAQ, etc.
• Reguladores: SEC, FINRA, etc.

Órdenes

• Solicitud para comprar/vender un activo.
  • Lado: Compra o Venta.
  • Símbolo: Ej. AAPL.
  • Cantidad: Ej. 100 acciones.
  • Tipo de Orden: Orden de mercado, orden límite, etc.
  • Atributos como tiempo en vigor.

Libro de Órdenes

• Lista de órdenes pendientes.
  • Órdenes de compra (bids).
  • Órdenes de venta (asks/offers).
• Spread: Diferencia entre la mejor oferta y la mejor demanda.

Impacto de Mercado

• La ejecución de órdenes grandes puede afectar el precio del activo.
• Depende del tamaño de la orden, liquidez, volatilidad, etc.

Ejemplo

• Libro de órdenes para AAPL podrían ser; | Precio | Tamaño | | -------- | ---- | | Ofertas | | | 170.00 | 100 | | 169.99 | 200 | | 169.98 | 300 | |... |... |

• Mejor Oferta: 170.00.
• Mejor Demanda: 170.01.
• El margen de ganancia es de 0.01

Trading Algorítmico

¿Qué es?

• Uso de programas para automatizar el proceso de trading.
  • Trading automatizado.
  • Trading de caja negra.
  • Algo-trading.
  • Trading de alta frecuencia (HFT).

¿Por qué usarlo?

• Velocidad: Reacción rápida a cambios del mercado.
• Costo: Reducción de costos.
• Precisión: Menos errores debido a emociones.
• Consistencia: Estrategia predefinida.
• Backtesting: Probar estrategias.

Tipos de Estrategias

• Tendencia: Comprar si sube, vender si baja.
• Reversión a la Media: Comprar si bajo, vender si alto.
• Arbitraje: Diferencias de precios en mercados.
• Creador de Mercado: Oferta y demanda.
• Arbitraje Estadístico: Modelos para identificar activos mal valorados.
• Algoritmos de Ejecución: Reducir ordenes grandes en otras pequeñas para minimizar el impacto en el mercado

Algoritmos de Ejecución

• VWAP: Ejecutar proporcional al volumen histórico.
  • Formula: $VWAP = \frac{\sum_{i=1}^{n} P_i * V_i}{\sum_{i=1}^{n} V_i}$
• TWAP: Ejecutar uniformemente en un período de tiempo.
  • Formula: $TWAP = \frac{\sum_{i=1}^{n} P_i}{n}$
• Shortfall de Implementación: Minimizar diferencia de precio real y esperado en la ejecución.
• Porcentaje de Volumen (POV): Ejecutar un porcentaje del volumen del mercado.

Trading de Alta Frecuencia (HFT)

• Características:
  • Alta velocidad.
  • Alta facturación.
  • Co-ubicación.
• Estrategias:
  • Creación de mercado.
  • Arbitraje.
  • Anticipación de órdenes.

Regulaciones

• Rule SEC 15c3-5, FINRA Rule 4510, regla de acceso al mercado entre otras.

Backtesting

• Probar estrategias de trading en datos históricos.

¿Por qué hacer Backtesting?

• Evaluar rendimiento.
• Identificar problemas potenciales.
• Optimizar parámetros.

Proceso de Backtesting

1. Definir la estrategia
2. Recolectar datos históricos
3. Implementar la estrategia
4. Analizar los resultados
5. Iterar

Trampas del Backtesting

• Sobre-ajuste.
• Sesgo por fisgoneo de datos.
• Costos de transacción.
• Impacto de mercado.

Conclusión

• El comercio algorítmico es una herramienta para automatizar la ejecución.
• Es importante entender los riesgos y las regulaciones.
• El Backtesting es una parte importante del trading algorítmico.

Biología Celular y Molecular

Dogmas Centrales

Replicación

ADN $\implies$ ADN

Transcripción

ADN $\implies$ ARN

Traducción

ARN $\implies$ Proteína

Otros Dogmas

• Maduración: ARN $\implies$ ARN
• Transcripción Inversa: ARN $\implies$ ADN

Virus

Definición

• Parásitos intracelulares obligados, inactivos fuera de la célula
• Contienen ADN o ARN, pero no ambos
• Se replican utilizando la maquinaria de la célula hospedera

Estructura

• Ácido Nucleico: ADN o ARN (mono o bicatenario, lineal o circular)
• Cápside: Cubierta proteica (capsómeros) que protege el ácido nucleico
• Envoltura: Membrana lipídica (en algunos virus); Glicoproteínas para unión a la célula hospedera

Clasificación

• Por tipo de ácido nucleico (ADN o ARN virus)
• Forma de la cápside (helicoidal, icosaédrica, compleja)
• Presencia o ausencia de envoltura (envueltos o desnudos)
• Tipo de célula que infectan (animales, vegetales, bacterias)

Replicación Viral

1. Adsorción: Unión a la célula hospedera
2. Penetración: Entrada a la célula
3. Descapsidación: Liberación del ácido nucleico viral
4. Replicación: Síntesis de proteínas virales y replicación del genoma viral
5. Ensamblaje: Empaquetamiento del ácido nucleico dentro de la cápside
6. Liberación: Salida de la célula (lisis o gemación)

Retrovirus

• Virus ARN que usan transcriptasa inversa para convertir ARN en ADN
• El ADN viral se integra en el ADN del huésped (ej: VIH)

Viroides y Priones

• Viroides: ARN circular desnudo que infectan plantas, no codifican proteínas
• Priones: Proteínas infecciosas que causan enfermedades neurodegenerativas (ej: enfermedad de las vacas locas)

Bacterias

Definición

• Microorganismos procariotas unicelulares presentes en diversos ambientes
• Algunas son patógenas

Estructura

• Pared Celular: Compuesta por peptidoglicano, determina la forma de la bacteria; Grampositivas (gruesa) y Gramnegativas (delgada con membrana externa)
• Membrana Plasmática: Bicapa lipídica que regula el paso de sustancias
• Citoplasma: Contiene ADN (nucleoide), ribosomas y plásmidos
• Cápsula: Capa protectora externa (en algunas bacterias)
• Flagelos: Para movilidad
• Pili/Fimbrias: Para adhesión a superficies

Clasificación

• Por forma (cocos, bacilos, espirilos, vibriones)
• Por tinción de Gram (Grampositivas y Gramnegativas)
• Por necesidad de oxígeno (aerobias, anaerobias, facultativas)

Reproducción

• Fisión Binaria: División celular asexual que resulta en dos células hijas idénticas
  • ADN se Replica
  • Células se alarga
  • Forma un tabique transversal
  • Célula se divide en 2
• Transferencia de Material Genético: Transformación, transducción, conjugación

Metabolismo

• Autótrofas: Producen alimento a partir de sustancias inorgánicas (fotosintéticas y quimiosintéticas)
• Heterótrofas: Obtienen alimento de materia orgánica (saprófitas y parásitas)

Teoría Algorítmica de Juegos

¿Qué es la Teoría de Juegos?

• Estudio de problemas de decisión multi-agente
• Aplicable siempre que varios "agentes" interactúen.
• Los agentes tienen diferentes preferencias (cuantificadas por funciones de utilidad)
• La acción de un agente afecta el resultado de otros agentes
• Fundamental para la economía, también aplicable a:
• Ciencia política, sociología, biología, etc.
• Cada vez más: ¡ciencias de la computación!

Ejemplo: Dilema del Prisionero

• ¿Debes cooperar o desertar?
• Independientemente de lo que haga el otro jugador, desertar es la mejor estrategia para cada jugador ("estrategia dominante")
• Si ambos cooperan, ambos estarían mejor
• Un solo desertor hiere mucho al otro jugador, se beneficia mucho a sí mismo
• Si ambos desertan, solo se lastiman el uno al otro

Conceptos de Solución de la Teoría de Juegos

• ¿Cómo razonamos sobre los resultados en los juegos?
• ¿Qué resultados son "estables"?
• Equilibrio de Nash: estrategia para cada jugador tal que ningún jugador tiene incentivos para desviarse dado que los demás no se desvían
• Optimalidad de Pareto: el resultado es óptimo de Pareto si no hay otro resultado que haga que cada jugador esté al menos tan feliz y al menos un jugador estrictamente más feliz
• Cada juego tiene un resultado óptimo de Pareto
• No todos los juegos tienen un equilibrio de Nash (en estrategias puras)
• Cada equilibrio de Nash es óptimo de Pareto, pero no viceversa

El Dilema del Prisionero Revisado

• ¿Cuáles son los equilibrios de Nash?
• (Desertar, Desertar)
• ¿Cuáles son los resultados óptimos de Pareto?
• (Cooperar, Cooperar)
• (Cooperar, Desertar)
• (Desertar, Cooperar)

Teoría Algorítmica de Juegos

• Teoría de juegos tradicional: asume que los agentes son computacionalmente ilimitados.
• Teoría algorítmica de juegos: tiene en cuenta las limitaciones computacionales.
• Áreas:
• Diseño algorítmico de mecanismos: cómo diseñar juegos para que el resultado optimice algún objetivo social.
• Price of anarchy: ¿cuánto se degrada el bienestar social debido al comportamiento egoísta de los agentes?
• Aspectos computacionales del equilibrio: ¿Qué tan difícil es calcular los equilibrios de Nash?

Ejemplo: Cálculo de Equilibrios de Nash

Considere el siguiente juego:

• ¿Tiene este juego un equilibrio de Nash en estrategias puras?
• ¡No!
• ¿Qué pasaría si permitimos estrategias mixtas?
• Una estrategia mixta es una distribución de probabilidad sobre estrategias puras
• Aquí: el agente 1 juega Cara con probabilidad $x$, Cruz con probabilidad $1-x$
• El agente 2 juega Cara con probabilidad $y$, Cruz con probabilidad $1-y$
• ¿Cuál es el equilibrio de Nash?
• $x = y = 1/2$.

Cómo Calcular los Equilibrios de Nash

• ¡Para los juegos de 2 jugadores, los equilibrios de Nash se pueden calcular en tiempo polinómico!
• A través del algoritmo de Lemke-Howson (1964)
• Algoritmo de pivote similar al simplex
• Implementado en Gambit
• ¿Qué pasa con los juegos con más de 2 jugadores?
• La complejidad del cálculo de los equilibrios de Nash para más de 2 jugadores es un problema abierto de larga data
• Avance reciente: [Chen, Deng, Teng 2009]: el cálculo de los equilibrios de Nash es PPAD-completo
• Asumiendo que PPAD es difícil (lo que la mayoría de la gente cree), esto significa que no existe un algoritmo de tiempo polinómico para calcular los equilibrios de Nash en general.
• PPAD: Argumento de Paridad Polinomial, versión dirigida
• Implicación: Hay juegos (con más de 2 jugadores) para los que los únicos equilibrios de Nash no se pueden encontrar en tiempo polinómico
• ¡Esto no descarta algoritmos eficientes para clases específicas de juegos!

Esto es lo que Cubriremos en Este Curso

• Complejidad del cálculo de los equilibrios de Nash.
• Existencia de equilibrios de Nash
• Completitud PPAD
• Clases especiales de juegos:
• Juegos gráficos
• Juegos de congestión
• Subastas de búsqueda patrocinada
• Juegos de seguridad
• Incentivos en el aprendizaje automático

Álgebra Lineal

1. Repaso de Álgebra Lineal

1.1. Espacios Vectoriales

• Un espacio vectorial es un conjunto E con operaciones de suma y multiplicación por un escalar sobre un cuerpo K (generalmente R o C).
• Debe cumplir asociatividad, la existencia de un elemento neutro, un inverso, conmutividad, distributividad y asociatividad con el escalar.

1.2. Subespacios Vectoriales

• Un subconjunto F de E es un subespacio si es no vacío, contiene la suma de sus vectores y el producto por un escalar.

1.3. Aplicaciones Lineales

• Una función f: E -> F es lineal si preserva la suma y la multiplicación escalar.

1.4. Representación Matricial

• Una matriz es un tableau de números; una applicación lienar podría darse por escoger una base para cada espacio vectorial.

1.5. Valores y Vectores Propios

• Av = λv, con v ≠ 0. Se calculan resolviendo det(A - λI) = 0.

2. Descomposición en Valores Singulares (SVD)

2.1. Motivación

• Generaliza la descomposición en valores propios (eigenvalues) a matrices no cuadradas.

2.2. Definición

• A = USV*; U y V son matrices unitarias, Σ es diagonal con valores singulares no negativos.

2.3. Cálculo

• Vectores singulares derechos (V) son vectores propios de A*A.
• Vectores singulares izquierdos (U) son vectores propios de AA*.
• Valores singulares (Σ) son raíces cuadradas de valores propios de A*A o AA*.

2.4. Aplicaciones

• Pseudo-inversa: A+ = VS+U*.
• Reducción de dimensión: Aproximación de rango k: Ak = UkΣkVk*.
• Resolución de sistemas lineales: x = A+b (mínima norma).

3. Análisis en Componentes Principales (ACP)

3.1. Motivación

• Reduce la dimensionalidad encontrando las direcciones de máxima varianza para visualizar datos.

3.2. Algoritmo

1. Centrar datos (restar la media).
2. Calcular la matriz de covarianza
3. Calcular valores y vectores propios.
4. Ordenar vectores por valor propio decreciente.
5. Seleccionar k componentes principales.
6. Proyectar los datos en ellas.

3.3. Interpretación

• Las componentes principales indican las direcciones en las cuales los datos varían más.
• Las componentes principales son ortoganales
• Los valores son proporicinales a la varianza

3.4. Relación con SVD

• ACP es SVD en la matriz de datos centrada
• La SVD de X seria X = USV*
• Los componentes principales son los vectores en la matriz de U.

Capítulo 2. Cinemática del Punto

I. Posición y Referencial

1. Definiciones

• La cinemática estudia el movimiento sin considerar las causas de la producción de la movimiento. Describe el movimiento un punto definindo su posición y vector posición.

• Para estudiar el movimiento de un punto, es necesario definir:

• Un referencial: sólido por relación al que se estudia el movimiento.

• Un repertorio del espacio: conjunto de ejes que permiten definir la posición de un punto en el espacio.

• Un origen de los tiempos: instante a partida de cual se comenza a medir el tiem.

2. Coordenadas Cartesianas

• $\overrightarrow{OM}(t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t) \vec{k}$

3. Coordenadas Cilindricas

• $\overrightarrow{OM}(t) = \rho(t) \vec{e_\rho} + z(t) \vec{k}$

4. Coordenadas Esféricas

• $\overrightarrow{OM}(t) = r(t) \vec{e_r}$

II. Velocidad

1. Definición

• La velocidad de un punto es la derivada del vector posición relativo al tiempo.
• $\overrightarrow{V}(t) = \frac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}$

2. Coordenadas Cartesianas

• $\overrightarrow{V}(t) = \frac{dx(t)}{dt} \vec{i} + \frac{dy(t)}{dt} \vec{j} + \frac{dz(t)}{dt} \vec{k} = \dot{x}(t) \vec{i} + \dot{y}(t) \vec{j} + \dot{z}(t) \vec{k}$

3. Coordenadas Cilindricas

• $\overrightarrow{V}(t) = \dot{\rho}(t) \vec{e_\rho} + \rho(t)\dot{\theta}(t) \vec{e_\theta} + \dot{z}(t) \vec{k}$

4. Coordenadas Esféricas

• $\overrightarrow{V}(t) = \dot{r}(t) \vec{e_r} + r(t)\dot{\theta}(t) \vec{e_\theta} + r(t)\sin(\theta(t))\dot{\phi}(t) \vec{e_\phi}$

III. Aceleración

1. Definición

• La acceleración de un punto M es la derivada del vector velocidad relativa al tiempo.
• $\overrightarrow{a}(t) = \frac{d\overrightarrow{V}(t)}{dt} = \frac{d^2\overrightarrow{OM}(t)}{dt^2}$

2. Coordenadas Cartesianas

• $\overrightarrow{a}(t) = \frac{d^2x(t)}{dt^2} \vec{i} + \frac{d^2y(t)}{dt^2} \vec{j} + \frac{d^2z(t)}{dt^2} \vec{k} = \ddot{x}(t) \vec{i} + \ddot{y}(t) \vec{j} + \ddot{z}(t) \vec{k}$

3. Coordenadas Cilindricas

• $\overrightarrow{a}(t) = (\ddot{\rho}(t) - \rho(t)\dot{\theta}^2(t)) \vec{e_\rho} + (\rho(t)\ddot{\theta}(t) + 2\dot{\rho}(t)\dot{\theta}(t)) \vec{e_\theta} + \ddot{z}(t) \vec{k}$

4. Coordenadas Esféricas

• $\overrightarrow{a}(t) = (\ddot{r}(t) - r(t)\dot{\theta}^2(t) - r(t)\sin^2(\theta(t))\dot{\phi}^2(t)) \vec{e_r} + (r(t)\ddot{\theta}(t) + 2\dot{r}(t)\dot{\theta}(t) - r(t)\sin(\theta(t))\cos(\theta(t))\dot{\phi}^2(t)) \vec{e_\theta} + (r(t)\sin(\theta(t))\ddot{\phi}(t) + 2\dot{r}(t)\sin(\theta(t))\dot{\phi}(t) + 2r(t)\cos(\theta(t))\dot{\theta}(t)\dot{\phi}(t)) \vec{e_\phi}$

IV. Movimiento Plano

1. Definición

• El movimiento de un punto se dice es plana si su posición contiene un plano.

• $\overrightarrow{OM}(t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j}$

• $\overrightarrow{V}(t) = \dot{x}(t) \vec{i} + \dot{y}(t) \vec{j}$

• $\overrightarrow{a}(t) = \ddot{x}(t) \vec{i} + \ddot{y}(t) \vec{j}$

2. Coordenadas Polares

• $\overrightarrow{OM}(t) = r(t) \vec{e_r}$

• $\overrightarrow{V}(t) = \dot{r}(t) \vec{e_r} + r(t)\dot{\theta}(t) \vec{e_\theta}$

• $\overrightarrow{a}(t) = (\ddot{r}(t) - r(t)\dot{\theta}^2(t)) \vec{e_r} + (r(t)\ddot{\theta}(t) + 2\dot{r}(t)\dot{\theta}(t)) \vec{e_\theta}$