Grundlagen der Statistik

Grundlagen der Statistik

• Die Statistik beschäftigt sich mit der Sammlung, Aufbereitung und Auswertung von Daten.
• Ein Jäger, der mit seiner Jagdbeute unglücklich ist, verwendet statistische Mittelwerte, um seine nächste Jagd besser planen zu können.
• Die Streuungsanalyse ist ein wichtiger Bestandteil der Statistik.
• Ein wichtiger Punkt in der Statistik ist die Datenanalyse, Datenaufbereitung und -bereinigung.
• Ausreißer sollten identifiziert und entfernt werden.

Verlauf der Vorlesungen

• 30.09.2024: Einführung in die Statistik, Daten und Skalen
• 08.10.2024: Statistische Kennwerte, Normalverteilung usw.
• 22.10.2024: Einführung in die Inferenzstatistik und Zusammenhänge
• 12.11.2024: Unterschiede und Regressionen
• 19.11.2024: Wiederholung

Inhalte der Lehrveranstaltung

• Grundbegriffe der Statistik
• Skalenniveaus
• Deskriptive Statistik
• Verteilungsparameter
• Lagemaße, zentrale Tendenzen
• Übung: Fragebogen zur Zufriedenheit

Die Skalen im Überblick

• Ratio-/Verhältnisskala: Größe der Unterschiede und Verhältnismäßigkeit der Quotienten
• Intervallskala: Größe der Unterschiede (ohne Verhältnisse)
• Ordinalskala: Ranggröße (Hierarchie)
• Nominalskala: Kategorien (Gleichheit/Verschiedenheit)
• Kategorielle vs. metrische Daten

Einführung in die deskriptive Statistik

• Die deskriptive Statistik ist eine Methode, um Datensätze quantitativ zu beschreiben.
• Die Merkmalsausprägungen sollten im Forschungs- bzw. Erhebungskontext beschrieben und aufbereitet werden.
• Aufgaben der deskriptiven Statistik:
• Beschreibung der Variablen anhand ihrer Verteilungscharakteristiken (Mittelwert, Standardabweichung, Median usw.)
• Zusammenfassende Darstellung von Daten (Tabellen und Diagramme)
• Ziele der deskriptiven Statistik
• Verständnis der Charakteristik (Merkmale und Muster) des Datensatzes
• Grundlage für die inferenzielle Statistik (Testverfahren)

Ablauf einer deskriptiven Analyse

• Daten laden
• Daten überprüfen
• Daten aufbereiten (Umbenennen, Umwandeln, Berechnen)
• Daten bereinigen (Ausreißer, fehlende Werte)
• Univariate Analyse (jede Variable einzeln betrachten)
• Bivariate Analyse (Beziehungen zwischen Variablen betrachten)
• Variablen auf Normalverteilungen überprüfen
• Ergebnisse und Visualisierungen dokumentieren und interpretieren (in ganzen Sätzen schreiben)

Wesentliche deskriptive Kategorien

• Lagemaße: Perzentile (Quartile, wie 25% und 75% Perzentil, etc.), relative Position eines Wertes in einer Verteilung
• Tabellarische Darstellungen: Häufigkeitsverteilungen (z.B. gruppierte Mittelwerte und Standardabweichungen), Kreuztabellen (mehrdimensionale Häufigkeitsverteilungen)
• Graphische Darstellungen: Histogramme, Boxplots, Diagramme (z.B. Balken-, Tortendiagramme, Netzwerke)

Wesentliche deskriptive Kategorien (II)

• Zentrale Tendenzen: Modus, Mittelwert, Median
• Streuungsparameter: Spannweite, Standardabweichung, Perzentile, Interquartilabstand
• Verteilungsparameter: Schiefe, Kurtosis
• Normalverteilung

Häufigkeitsverteilungen

• Beschreiben, wie oft verschiedene Merkmalsausprägungen in einem Datensatz vorkommen.
• Unterscheidung zwischen absoluten und relativen Häufigkeiten
• Absolute Häufigkeit gibt die Anzahl, relative Häufigkeit den Anteil der Merkmalsausprägungen.
• Beispiele: Anteil einer Bevölkerungsgruppe mit ähnlichem Merkmal etc.
• Beispiele für Darstellungen: Häufigkeitstabellen, Diagramme (z.B., Balken- und Kreisdiagramme), Histogramme (bei stetigen Variablen)

Kreuztabellen

• Die Darstellung von zwei Variablen und ihren Beziehungen zueinander
• Absolute und relative Häufigkeiten (pro Zeile/Spalte, Gesamt)

Verteilungsparameter

• Schiefe und Kurtosis: Diese beschreiben die Symmetrie und die Steilheit der Verteilung einer Häufigkeitsverteilung in Bezug auf eine Normalverteilung.

Lagemaße, zentrale Tendenzen

• Charakterisieren die Häufigkeitsverteilung durch einen Wert
• Möglichkeiten: Modus, Median und Mittelwert (arithmetisches Mittel)

Der Modus

• Häufigster Wert in der Verteilung
• Bedeutend bei nominalskalierten Daten (z.B., Häufigster Studiengang)
• Einfache Anwendung, aber bei mehreren häufigsten Werten sind weitere Interpretation nötig.

Der Median

• Teilt die Stichprobe in zwei gleich große Hälften.
• 50%-Quantil, ebenso viele Werte unter wie über dem Median-Wert.
• Verwendung (insbesondere) bei ordinal-skalierten Daten, da diese die Lage am besten darstellen
• Vorteil: Weniger empfindlich gegenüber Ausreißern

Der Mittelwert (arithmetisches Mittel)

• Maß der zentralen Tendenz, gebräuchlichster Wert
• Berechnung erfordert ein metrisches Skalenniveau (zumindest ordinal im Alltag)
• Verwendung bei Likert-skalierten Items im Alltag

Der geometrische Mittelwert

• Mittel aus multiplikativen Daten (z.B. Wachstumsraten, Renditen)
• Weniger beeinflusst durch Extremwerte als der arithmetische Mittelwert
• Nützlich für prozentuale Veränderungen, Raten oder Verhältnisse

Mittelwert oder Median?

• Median ist weniger präzise, aber robust gegenüber Ausreißern
• Der Mittelwert ist präziser, aber anfällig für Ausreißer
• Wahl des geeigneten Maßes hängt vom Kontext und den Daten ab (z.B. Einkommen, Preise, Wetterdaten)

Perzentile

• (q. Perzentil): Der Wert, unterhalb dessen sich q% der Daten befinden.
• Spezielle Perzentile: Quartile (25%, 50%, 75%)
• Nützlich für die Analyse von Verteilungen, um die Position von Werten in einem Datensatz zu beschreiben.

Streuungsparameter

• Varianz und Standardabweichung
• Messen die Variabilität oder Streuung der Datenwerte um den Mittelwert
• Indikatoren zur Streuung
• Erforderlich: metrisches Skalenniveau (Ausnahme: Likertskala)

Bedeutung der Standardabweichung

• Innerhalb einer Normalverteilung befinden sich in einem Bereich von +/-s 68,3% der Werte

Schiefe

• Maß für die Symmetrie einer Häufigkeitsverteilung
• Eindeutige Werte für die Schiefe werden berechnet
• Häufigkeit, Lage von Mittelwert, Median und Modus
• Linksschief (negativ): Mittelwert < Median < Modus
• Rechtsschief (positiv): Mittelwert > Median > Modus

Steilheit / Kurtosis

• Maß für die Steilheit einer Häufigkeitsverteilung
• Verhältnis zur Normalverteilung
• Flache Verteilung (negativ), steile Verteilung (positiv)

Exkurs - Anscombe Quartett

• Vier Datensätze mit ähnlichen deskriptiven Eigenschaften, aber unterschiedlichen Mustern.
• Unterstreicht die Bedeutung von grafischen Darstellungen und der kritischen Auseinandersetzung mit den Daten.