Graphiques et Pentes en Mathématiques

Graphiques et Pentes

• Variables: Grandeurs mesurables et modifiables (prix, quantités...).
• Pente d'une droite: Rapport entre changement vertical (∆y) et horizontal (∆x) le long d'une droite. Calculée par ∆y/∆x. Indique le taux de variation de y pour une variation donnée de x. Constante pour une droite.
• Équation d'une droite: y = ax + b. La pente est 'a'. Deux points suffisent pour déterminer la pente d'une droite.
• Pente d'une courbe: Change d'un point à l'autre. Mesurée par la dérivée de la fonction représentative de la courbe en ce point.
• Droite tangente: Utilisée pour trouver la pente d'une courbe en un point précis. La pente de la droite tangente est la pente de la courbe en ce point.
• Calcul de la pente d'une courbe en un point: Trouver la droite tangente à la courbe en ce point. Son inclinaison représente la pente.

Dérivées

• Définition de la dérivée: Limite du rapport de l'accroissement de la fonction (∆y) sur l'accroissement de la variable (∆x) lorsque ∆x tend vers zéro.

• Notation: f′(x) - dérivée de la fonction f(x).

• Croissance/Décroissance: Le signe de la dérivée indique la croissance ou la décroissance de la fonction en un point :

  • f′(x) > 0 : fonction croissante au point x.
  • f′(x) < 0 : fonction décroissante au point x.

• Dérivée seconde: Dérivée de la dérivée première. Son signe indique la convexité/concavité de la fonction.

  • f′′(x) > 0 : fonction convexe.
  • f′′(x) < 0 : fonction concave.

Droites particulières

• Droite verticale: Pente infinie (Toute variation de x entraîne une variation infinie de y).
• Droite horizontale: Pente nulle (y est indépendante de x).
• Signes de la pente: a > 0 (positive) : fonction croissante. a < 0 (négative) : fonction décroissante. a = 0 (nulle) : droite horizontale. a = ∞ (infinie) : droite verticale.