Gráficas de Funciones Inversas
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Gráficas de Funciones Inversas

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@EntrancingLilac3716

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Questions and Answers

¿Cuál es la propiedad que determina la relación entre una función y su inversa?

  • La gráfica de la función inversa es la misma que la de la función original.
  • La función original y su inversa son siempre idénticas.
  • La gráfica de la función inversa se refleja respecto a la línea $y = x$. (correct)
  • La función inversa siempre tiene un rango mayor que la función original.
  • Para que una función tenga una inversa, ¿qué condición debe cumplir?

  • Debe ser creciente en todo su dominio.
  • Debe ser uno a uno (inyectiva). (correct)
  • Debe ser cuasi-inyectiva.
  • Debe ser continua en todo su dominio.
  • ¿Cómo se puede comprobar si una función es uno a uno?

  • Analizando su dominio.
  • Asegurando que su gráfica es creciente en todo su dominio.
  • Usando la prueba de la línea vertical.
  • Utilizando la prueba de la línea horizontal. (correct)
  • Si la función es $f(x) = x^2$, ¿cuál sería su inversa restringida a un dominio adecuado?

    <p>$f^{-1}(x) = ext{sqrt}(x)$ para $x ext{ donde } x ext{ es mayor o igual a 0}$</p> Signup and view all the answers

    ¿Qué se observa cuando se grafican una función y su inversa sobre la línea $y = x$?

    <p>Las funciones son simétricas respecto a la línea $y = x$.</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Gráficas de Funciones Inversas

    • Definición de Función Inversa:

      • Una función inversa de una función ( f(x) ) es una función ( f^{-1}(x) ) tal que ( f(f^{-1}(x)) = x ) y ( f^{-1}(f(x)) = x ).
    • Propiedad de la Gráfica:

      • La gráfica de una función inversa se obtiene reflejando la gráfica de la función original respecto a la línea ( y = x ).
    • Pasos para Dibujar la Gráfica de una Función Inversa:

      1. Dibuja la gráfica de la función original ( f(x) ).
      2. Identifica la línea ( y = x ).
      3. Refleja cada punto de la gráfica original a través de la línea ( y = x ).
      4. Conecta los puntos reflejados para obtener la gráfica de ( f^{-1}(x) ).
    • Ejemplo:

      • Si ( f(x) = 2x + 3 ):
        • Para encontrar la inversa, resolvemos ( y = 2x + 3 ) para ( x ):
          • ( x = \frac{y - 3}{2} )
          • Así, ( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} ).
        • Graficar ambas funciones y trazar la línea ( y = x ) para ver la simetría.
    • Condiciones para la Inversibilidad:

      • La función debe ser uno a uno (inyectiva) para tener una inversa.
      • Para comprobar si es uno a uno, se puede utilizar la prueba de la línea horizontal: si una línea horizontal intersecta la gráfica en más de un punto, la función no tiene inversa.
    • Funciones Comunes y sus Inversas:

      • ( f(x) = x^2 ) (no inyectiva en todo R; restringir a ( x \geq 0 )): ( f^{-1}(x) = \sqrt{x} )
      • ( f(x) = \ln(x) ): ( f^{-1}(x) = e^x )
      • ( f(x) = e^x ): ( f^{-1}(x) = \ln(x) )
    • Comportamiento en Números Negativos:

      • Al reflexionar sobre la línea ( y = x ), las funciones que no son inyectivas en su dominio completo deben ser restringidas para crear una función inversa válida.
    • Utilidad de las Funciones Inversas:

      • Permiten resolver ecuaciones y aplicaciones en diversas áreas como matemáticas, física y economía.
    • Gráfica de Funciones Inversas:

      • Se observa que la forma de ( f(x) ) se invierte, pero su comportamiento general se mantiene.

    Definición de Función Inversa

    • La función inversa de ( f(x) ) es ( f^{-1}(x) ) tal que ( f(f^{-1}(x)) = x ) y ( f^{-1}(f(x)) = x ).

    Propiedad de la Gráfica

    • La gráfica de ( f^{-1}(x) ) se obtiene reflejando la gráfica de ( f(x) ) respecto a la línea ( y = x ).

    Pasos para Dibujar la Gráfica de una Función Inversa

    • Dibujar la gráfica de ( f(x) ).
    • Identificar la línea ( y = x ).
    • Reflejar cada punto de la gráfica original a través de la línea ( y = x ).
    • Conectar los puntos reflejados para obtener ( f^{-1}(x) ).

    Ejemplo de Función Inversa

    • Para ( f(x) = 2x + 3 ):
      • Resolviendo para ( x ): ( y = 2x + 3 ) se transforma en ( x = \frac{y - 3}{2} ).
      • Así, ( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} ).
    • Graficar ambas funciones y la línea ( y = x ) para observar la simetría.

    Condiciones para la Inversibilidad

    • La función debe ser uno a uno (inyectiva) para tener una inversa.
    • Realizar la prueba de la línea horizontal: si intersecta la gráfica en más de un punto, la función no tiene inversa.

    Funciones Comunes y sus Inversas

    • Para ( f(x) = x^2 ) (no inyectiva en todo ( R ); se restringe a ( x \geq 0 )): ( f^{-1}(x) = \sqrt{x} ).
    • Para ( f(x) = \ln(x) ): ( f^{-1}(x) = e^x ).
    • Para ( f(x) = e^x ): ( f^{-1}(x) = \ln(x) ).

    Comportamiento en Números Negativos

    • Las funciones no inyectivas en su dominio completo deben ser restringidas para asegurar la existencia de una función inversa válida.

    Utilidad de las Funciones Inversas

    • Facilitan la resolución de ecuaciones y tienen aplicaciones en matemáticas, física y economía.

    Gráfica de Funciones Inversas

    • La forma de ( f(x) ) se invierte en ( f^{-1}(x) ), manteniendo su comportamiento general.

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    Description

    Este cuestionario se centra en las gráficas de funciones inversas, explicando cómo definir y graficar una función inversa. Se incluyen pasos claros para realizar la reflexión de la gráfica original y ejemplos prácticos para ilustrar el concepto. Ideal para estudiantes que desean reforzar su comprensión de funciones y sus propiedades gráficas.

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