Exercice sur les fonctions réciproques

Exercice : Réciproque d'une Fonction

• Domaine de définition : Ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction f(x) est définie.
• Ensemble image : Valeurs possibles de f(x) lorsque x parcourt le domaine de définition.

Construction du graphique de g réciproque

• Inversion des axes : Pour tracer g, inverser les axes x et y du graphique de f.
• Ligne de symétrie : Tracer la ligne y=x pour visualiser la symétrie entre f et g.

Vérification de g comme fonction

• Test de la ligne verticale : Utiliser ce test sur le graphique de f pour voir si chaque valeur de y correspond à une seule valeur de x.
• Non-fonction : Si une même valeur de y correspond à plusieurs valeurs de x, alors g n'est pas une fonction.

Restriction du domaine de définition de f

• Choix d'un intervalle : Restreindre le domaine de f pour assurer qu'à chaque valeur de y corresponde une seule valeur de x.
• Exemple de restriction : Pour f(x) = x², choisir x≥0.

Domaine et ensemble image de la fonction réciproque g=f⁻¹

• Domaine de g : Correspond à l'ensemble image de f (valeurs de y que f peut atteindre).
• Ensemble image de g : Correspond au domaine de f une fois restreint.

Exemple pratique avec f(x) = x²

• Domaine de f : x ∈ R (toutes les valeurs réelles).
• Ensemble image de f : f(x) ≥ 0 (valeurs de y positives).
• Graphique de g : Obtenu par l'inversion des axes de f et tracé de y=x.
• Vérification de g : g n'est pas une fonction car f(2)=4 et f(−2)=4, donc plusieurs x pour un même y.
• Restriction de g : Nécessité de limiter x à ≥ 0 pour que g soit fonctionnelle.
• Domaine de g : y ≥ 0 (ensemble image de f).
• Ensemble image de g : x ≥ 0 (domaine de f restreint).

Conclusion

• L’approche fournie aide à analyser la réciproque d'une fonction en suivant un processus systématique pour assurer la validité de g comme fonction.