গণিত: গ্রাফ পরিবর্তনগুলি

Podcast Beta

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

গ্রাফের একটি উল্লম্ব স্থানান্তরের ক্ষেত্রে কার্যপদ্ধতি কীভাবে কাজ করে?

গ্রাফকে বাম দিকে স্থানান্তরিত করে

গ্রাফের মূল আকৃতি পরিবর্তন করে

গ্রাফের $x$ মান বাড়ায়

গ্রাফের $y$ মান বাড়ায় (correct)

নিচের কোনটি $f(x) o f(-x)$ রূপান্তরের উদাহরণ?

গ্রাফের $x$ মানকে উল্টানো (correct)

গ্রাফের উল্টো হওয়া

গ্রাফের উপরের দিকে স্থানান্তর

গ্রাফের $y$ মানকে উল্টানো

যদি $k > 1$ হয় এবং আমরা $f(x) o k imes f(x)$ ব্যবস্থা করি, তবে গ্রাফের কোন পরিবর্তন হবে?

গ্রাফটি প্রসারিত হবে (correct)

গ্রাফের আকৃতি অপরিবর্তিত থাকবে

গ্রাফটি সংকুচিত হবে

গ্রাফটি উল্টো হবে

গ্রাফের স্থানান্তরগুলোর বিভাজন অর্ডার কিভাবে প্রভাবিত করে?

চূড়ান্ত অবস্থান/আকৃতিতে প্রভাব ফেলে Signup and view all the answers

নিচের কোনটি হরিজন্টাল স্ট্রেচ বা কম্প্রেশন ব্যাখ্যা করে?

$f(x) o f(k imes x)$ $(k > 1)$ Signup and view all the answers

সঠিকভাবে $f(x) o f(x - h)$ কোন ধরনের স্থানান্তর নির্দেশ করে?

ডান দিকে স্খলন Signup and view all the answers

কোন পরিবর্তন গ্রাফের মৌলিক আকার পরিবর্তন করে?

প্রসারণ বা সংকোচন Signup and view all the answers

গ্রাফ প্রতিফলনের সময় $f(x) o -f(x)$ গ্রাফের কোন পরিবর্তন ঘটে?

গ্রাফ $x$ অক্ষের উপর প্রতিফলিত হয় Signup and view all the answers

গ্রাফের স্থানান্তর সঠিকভাবে কিভাবে ডোমেইন এবং রেঞ্জকে প্রভাবিত করে?

ডোমেইন এবং রেঞ্জ উভয়কেই পরিবর্তন করে Signup and view all the answers

দুইটি পয়েন্টের মধ্যে কোনো দূরত্বের হিসাব করার জন্য কোন সূত্রটি ব্যবহার করা হয়?

$d = ext{sqrt}((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)$ Signup and view all the answers

যদি $y_1 = y_2$ হয়, তাহলে দূরত্ব $d$ কিভাবে নির্ধারণ করা হয়?

$d = |x_2 - x_1|$ Signup and view all the answers

দুটি পয়েন্ট $A(2, 3)$ এবং $B(5, 7)$ এর মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

5 Signup and view all the answers

সীমিত একক বিন্দুর জন্য পর্যায়ক্রমে দূরত্ব নির্ধারণের সূত্রটি কোনটি?

$d = ext{sqrt}((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)$ Signup and view all the answers

কোন পরিস্থিতিতে $d = |y_2 - y_1|$ সঠিক হতে পারে?

যখন $x_1 = x_2$ Signup and view all the answers

ত্রিমাত্রিক বিন্দুর জন্য দূরত্ব নির্ধারণের সূত্রটি কোনটি?

$d = ext{sqrt}((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)$ Signup and view all the answers

দূরত্বের ক্ষেত্রে ত্রিভুজ বৈষম্যের কোনটি সঠিক?

$d(A, C) + d(B, C) eq d(A, B)$ Signup and view all the answers

কোনটি দূরত্ব সূত্রের মৌলিক বিশেষত্ব?

দূরত্ব সর্বদা শূন্যের থেকে বড় বা সমান হয় Signup and view all the answers

নিচের কোনটি দূরত্ব সূত্রের ভাগ?

$d(A, B) = d(B, A)$ Signup and view all the answers

Study Notes

Graph Transformations

Definition: Graph transformations involve changing the position or shape of a graph based on specific mathematical operations.

Types of Transformations

Translation
- Shifts the graph horizontally or vertically.
- Horizontal Shift:
  - ( f(x) \to f(x - h) ): shifts right by ( h ) units.
  - ( f(x) \to f(x + h) ): shifts left by ( h ) units.
- Vertical Shift:
  - ( f(x) \to f(x) + k ): shifts upward by ( k ) units.
  - ( f(x) \to f(x) - k ): shifts downward by ( k ) units.
Reflection
- Flips the graph over a specific axis.
- Reflection over the x-axis:
  - ( f(x) \to -f(x) ): inverts the y-values.
- Reflection over the y-axis:
  - ( f(x) \to f(-x) ): inverts the x-values.
Stretching and Compressing
- Changes the shape of the graph by scaling factors.
- Vertical Stretch/Compression:
 - ( f(x) \to k \cdot f(x) ) (where ( k > 1 )): stretches.
 - ( f(x) \to k \cdot f(x) ) (where ( 0 < k < 1 )): compresses.
- Horizontal Stretch/Compression:
 - ( f(x) \to f(k \cdot x) ) (where ( k > 1 )): compresses.
 - ( f(x) \to f(k \cdot x) ) (where ( 0 < k < 1 )): stretches.

Combination of Transformations

Transformations can be combined and applied sequentially.
The order of transformations affects the final graph position/shape.

Important Notes

Base Function: Understanding transformations often starts with a basic function (e.g., ( f(x) = x^2 ) for parabolas).
Graphing: Visualizing transformations helps in understanding their effects on the graph.
Impact on Domain and Range: Transformations often alter the domain and range of functions; careful evaluation is needed.

গ্রাফ রূপান্তর

সংজ্ঞা: গ্রাফ রূপান্তর হলো নির্দিষ্ট গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে গ্রাফের অবস্থান বা আকার পরিবর্তন করা।

রূপান্তরের প্রকারভেদ

অনুবাদ: গ্রাফকে অনুভূমিক বা উল্লম্বভাবে সরিয়ে নেয়।
- অনুভূমিক স্থানান্তর:
  - ( f(x) \to f(x - h) ): ( h ) একক ডানদিকে স্থানান্তরিত করে।
  - ( f(x) \to f(x + h) ): ( h ) একক বামদিকে স্থানান্তরিত করে।
- উল্লম্ব স্থানান্তর:
  - ( f(x) \to f(x) + k ): ( k ) একক উপরে স্থানান্তরিত করে।
  - ( f(x) \to f(x) - k ): ( k ) একক নিচে স্থানান্তরিত করে।
প্রতিফলন: গ্রাফকে কোনও নির্দিষ্ট অক্ষের উপর প্রতিফলিত করে।
- x-অক্ষের উপর প্রতিফলন:
  - ( f(x) \to -f(x) ): y-মানগুলিকে বিপরীত করে।
- y-অক্ষের উপর প্রতিফলন:
  - ( f(x) \to f(-x) ): x-মানগুলিকে বিপরীত করে।
প্রসারণ ও সংকোচন: গ্রাফের আকারকে স্কেলিং ফ্যাক্টর ব্যবহার করে পরিবর্তন করে।
- উল্লম্ব প্রসারণ/সংকোচন:
 - ( f(x) \to k \cdot f(x) ) (যেখানে ( k > 1 )): প্রসারণ করে।
 - ( f(x) \to k \cdot f(x) ) (যেখানে ( 0 < k < 1 )): সংকুচিত করে।
- অনুভূমিক প্রসারণ/সংকোচন:
 - ( f(x) \to f(k \cdot x) ) (যেখানে ( k > 1 )): সংকুচিত করে।
 - ( f(x) \to f(k \cdot x) ) (যেখানে ( 0 < k < 1 )): প্রসারণ করে।

রূপান্তরের সমন্বয়

একাধিক রূপান্তর একত্রে ব্যবহার করা যায় এবং ক্রমানুসারে প্রয়োগ করা হয়।
রূপান্তরের ক্রম চূড়ান্ত গ্রাফের অবস্থান/আকারকে প্রভাবিত করে।

গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

মৌলিক ফাংশন: রূপান্তর বোঝার জন্য প্রায়শই একটি মৌলিক ফাংশন ব্যবহার করা হয় (যেমন, পরাবৃত্তের জন্য ( f(x) = x^2 )).
গ্রাফিং: গ্রাফের উপর রূপান্তরের প্রভাব বুঝতে চিত্রায়ন করার মাধ্যমে সাহায্য করা হয়।
ডোমেন এবং রেঞ্জের উপর প্রভাব: রূপান্তর প্রায়শই ফাংশনগুলির ডোমেন এবং রেঞ্জকে পরিবর্তন করে; সাবধানে মূল্যায়ন করা প্রয়োজন।

দূরত্ব সূত্র

দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র।
সূত্র: দুটি বিন্দু (A(x_1, y_1)) এবং (B(x_2, y_2)) এর দূরত্ব (d) নির্ণয় করার সূত্র: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]
সূত্রের উপাদান:
(x_1, y_1): প্রথম বিন্দু (A)-র স্থানাঙ্ক
(x_2, y_2): দ্বিতীয় বিন্দু (B)-র স্থানাঙ্ক
((x_2 - x_1)): দুটি বিন্দুর মধ্যে অনুভূমিক দূরত্ব
((y_2 - y_1)): দুটি বিন্দুর মধ্যে উল্লম্ব দূরত্ব
প্রয়োগ:
দুটি বিন্দুর মধ্যে রেখাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয়।
পদার্থবিজ্ঞান, প্রকৌশল এবং কম্পিউটার গ্রাফিক্সের ক্ষেত্রগুলিতে ব্যবহৃত হয়।
বিশেষ ক্ষেত্র:
অনুভূমিক রেখা: যদি (y_1 = y_2) হয়, তাহলে (d = |x_2 - x_1|)
উল্লম্ব রেখা: যদি (x_1 = x_2) হয়, তাহলে (d = |y_2 - y_1|)
উদাহরণ:
ধরুন (A(2, 3)) এবং (B(5, 7)) দুটি বিন্দু। (d) এর মান হবে: [ d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]
ত্রিমাত্রিক প্রসারণ: ত্রিমাত্রিক স্থানে, (A(x_1, y_1, z_1)) এবং (B(x_2, y_2, z_2)) এর জন্য: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]
ধর্ম:
দূরত্ব সর্বদা ঋনাত্মক নয়।
দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব প্রতিসম: (d(A, B) = d(B, A))
এটি ত্রিভুজ অসমতা মেনে চলে: (d(A, C) + d(B, C) \geq d(A, B)) যেকোনো বিন্দু (C)-র জন্য।

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

এই কুইজটি গ্রাফ পরিবর্তন সম্পর্কিত মৌলিক ধারণাগুলির উপর ভিত্তি করে। এতে অন্তর্ভুক্ত আছে স্থানান্তর, প্রতিফলন, এবং প্রসারণ ও সংকোচনী। গ্রাফের বিভিন্ন প্রকার পরিবর্তনগুলি বুঝতে সহায়তা করবে।