গণিত: গ্রাফ পরিবর্তনগুলি

Graph Transformations

• Definition: Graph transformations involve changing the position or shape of a graph based on specific mathematical operations.

Types of Transformations

1. Translation

   • Shifts the graph horizontally or vertically.
   • Horizontal Shift:
     • ( f(x) \to f(x - h) ): shifts right by ( h ) units.
     • ( f(x) \to f(x + h) ): shifts left by ( h ) units.
   • Vertical Shift:
     • ( f(x) \to f(x) + k ): shifts upward by ( k ) units.
     • ( f(x) \to f(x) - k ): shifts downward by ( k ) units.

2. Reflection

   • Flips the graph over a specific axis.
   • Reflection over the x-axis:
     • ( f(x) \to -f(x) ): inverts the y-values.
   • Reflection over the y-axis:
     • ( f(x) \to f(-x) ): inverts the x-values.

3. Stretching and Compressing

   • Changes the shape of the graph by scaling factors.
   • Vertical Stretch/Compression:
     • ( f(x) \to k \cdot f(x) ) (where ( k > 1 )): stretches.
     • ( f(x) \to k \cdot f(x) ) (where ( 0 < k < 1 )): compresses.
   • Horizontal Stretch/Compression:
     • ( f(x) \to f(k \cdot x) ) (where ( k > 1 )): compresses.
     • ( f(x) \to f(k \cdot x) ) (where ( 0 < k < 1 )): stretches.

Combination of Transformations

• Transformations can be combined and applied sequentially.
• The order of transformations affects the final graph position/shape.

Important Notes

• Base Function: Understanding transformations often starts with a basic function (e.g., ( f(x) = x^2 ) for parabolas).
• Graphing: Visualizing transformations helps in understanding their effects on the graph.
• Impact on Domain and Range: Transformations often alter the domain and range of functions; careful evaluation is needed.

গ্রাফ রূপান্তর

• সংজ্ঞা: গ্রাফ রূপান্তর হলো নির্দিষ্ট গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে গ্রাফের অবস্থান বা আকার পরিবর্তন করা।

রূপান্তরের প্রকারভেদ

• অনুবাদ: গ্রাফকে অনুভূমিক বা উল্লম্বভাবে সরিয়ে নেয়।

  • অনুভূমিক স্থানান্তর:
    • ( f(x) \to f(x - h) ): ( h ) একক ডানদিকে স্থানান্তরিত করে।
    • ( f(x) \to f(x + h) ): ( h ) একক বামদিকে স্থানান্তরিত করে।
  • উল্লম্ব স্থানান্তর:
    • ( f(x) \to f(x) + k ): ( k ) একক উপরে স্থানান্তরিত করে।
    • ( f(x) \to f(x) - k ): ( k ) একক নিচে স্থানান্তরিত করে।

• প্রতিফলন: গ্রাফকে কোনও নির্দিষ্ট অক্ষের উপর প্রতিফলিত করে।

  • x-অক্ষের উপর প্রতিফলন:
    • ( f(x) \to -f(x) ): y-মানগুলিকে বিপরীত করে।
  • y-অক্ষের উপর প্রতিফলন:
    • ( f(x) \to f(-x) ): x-মানগুলিকে বিপরীত করে।

• প্রসারণ ও সংকোচন: গ্রাফের আকারকে স্কেলিং ফ্যাক্টর ব্যবহার করে পরিবর্তন করে।

  • উল্লম্ব প্রসারণ/সংকোচন:
    • ( f(x) \to k \cdot f(x) ) (যেখানে ( k > 1 )): প্রসারণ করে।
    • ( f(x) \to k \cdot f(x) ) (যেখানে ( 0 < k < 1 )): সংকুচিত করে।
  • অনুভূমিক প্রসারণ/সংকোচন:
    • ( f(x) \to f(k \cdot x) ) (যেখানে ( k > 1 )): সংকুচিত করে।
    • ( f(x) \to f(k \cdot x) ) (যেখানে ( 0 < k < 1 )): প্রসারণ করে।

রূপান্তরের সমন্বয়

• একাধিক রূপান্তর একত্রে ব্যবহার করা যায় এবং ক্রমানুসারে প্রয়োগ করা হয়।
• রূপান্তরের ক্রম চূড়ান্ত গ্রাফের অবস্থান/আকারকে প্রভাবিত করে।

গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

• মৌলিক ফাংশন: রূপান্তর বোঝার জন্য প্রায়শই একটি মৌলিক ফাংশন ব্যবহার করা হয় (যেমন, পরাবৃত্তের জন্য ( f(x) = x^2 )).
• গ্রাফিং: গ্রাফের উপর রূপান্তরের প্রভাব বুঝতে চিত্রায়ন করার মাধ্যমে সাহায্য করা হয়।
• ডোমেন এবং রেঞ্জের উপর প্রভাব: রূপান্তর প্রায়শই ফাংশনগুলির ডোমেন এবং রেঞ্জকে পরিবর্তন করে; সাবধানে মূল্যায়ন করা প্রয়োজন।

দূরত্ব সূত্র

• দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র।

• সূত্র: দুটি বিন্দু (A(x_1, y_1)) এবং (B(x_2, y_2)) এর দূরত্ব (d) নির্ণয় করার সূত্র: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

• সূত্রের উপাদান:

• (x_1, y_1): প্রথম বিন্দু (A)-র স্থানাঙ্ক

• (x_2, y_2): দ্বিতীয় বিন্দু (B)-র স্থানাঙ্ক

• ((x_2 - x_1)): দুটি বিন্দুর মধ্যে অনুভূমিক দূরত্ব

• ((y_2 - y_1)): দুটি বিন্দুর মধ্যে উল্লম্ব দূরত্ব

• প্রয়োগ:

• দুটি বিন্দুর মধ্যে রেখাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয়।

• পদার্থবিজ্ঞান, প্রকৌশল এবং কম্পিউটার গ্রাফিক্সের ক্ষেত্রগুলিতে ব্যবহৃত হয়।

• বিশেষ ক্ষেত্র:

• অনুভূমিক রেখা: যদি (y_1 = y_2) হয়, তাহলে (d = |x_2 - x_1|)

• উল্লম্ব রেখা: যদি (x_1 = x_2) হয়, তাহলে (d = |y_2 - y_1|)

• উদাহরণ:

• ধরুন (A(2, 3)) এবং (B(5, 7)) দুটি বিন্দু। (d) এর মান হবে: [ d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

• ত্রিমাত্রিক প্রসারণ: ত্রিমাত্রিক স্থানে, (A(x_1, y_1, z_1)) এবং (B(x_2, y_2, z_2)) এর জন্য: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]

• ধর্ম:

• দূরত্ব সর্বদা ঋনাত্মক নয়।

• দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব প্রতিসম: (d(A, B) = d(B, A))

• এটি ত্রিভুজ অসমতা মেনে চলে: (d(A, C) + d(B, C) \geq d(A, B)) যেকোনো বিন্দু (C)-র জন্য।