Glucólisis: Fases y Reacciones

Metabolismo

• Proceso que transforma materia y energía en los organismos.
• Incluye el catabolismo y el anabolismo.

Catabolismo

• Descompone moléculas complejas en simples.
• Libera energía que se almacena como ATP.

Anabolismo

• Sintetiza moléculas complejas a partir de moléculas simples.
• Requiere ATP.

Glucólisis - Visión general

• Vía metabólica universal.
• Degrada una molécula de glucosa en dos moléculas de piruvato.
• Se realiza en el citosol de la célula y no requiere oxígeno.
• Produce ATP y NADH.

Glucólisis - Fases

• Fase de inversión de energía (pasos 1-5): Se invierte ATP para fosforilar la glucosa.
• Fase de generación de energía (pasos 6-10): Se oxidan moléculas de tres carbonos para producir ATP y NADH.

Glucólisis - Reacciones

• Paso 1: La hexoquinasa fosforila la glucosa a glucosa-6-fosfato usando ATP. Glucosa + ATP → Glucosa-6-fosfato + ADP.
• Paso 2: La fosfoglucoisomerasa isomeriza la glucosa-6-fosfato a fructosa-6-fosfato. Glucosa-6-fosfato ⇌ Fructosa-6-fosfato.
• Paso 3: La fosfofructoquinasa-1 (PFK-1) fosforila la fructosa-6-fosfato a fructosa-1,6-bisfosfato usando ATP; es el paso limitante. Fructosa-6-fosfato + ATP → Fructosa-1,6-bisfosfato + ADP.
• Paso 4: La aldolasa divide la fructosa-1,6-bisfosfato en dihidroxiacetona fosfato (DHAP) y gliceraldehído-3-fosfato (G3P). Fructosa-1,6-bisfosfato ⇌ Dihidroxiacetona fosfato + Gliceraldehído-3-fosfato.
• Paso 5: La triosa fosfato isomerasa isomeriza el DHAP a G3P. Dihidroxiacetona fosfato ⇌ Gliceraldehído-3-fosfato.
• Paso 6: La gliceraldehído-3-fosfato deshidrogenasa (GAPDH) oxida y fosforila el G3P a 1,3-bisfosfoglicerato usando NAD+ y Pi. Gliceraldehído-3-fosfato + NAD+ + Pi ⇌ 1,3-bisfosfoglicerato + NADH + H+.
• Paso 7: La fosfoglicerato quinasa transfiere un grupo fosfato del 1,3-bisfosfoglicerato a ADP, formando ATP y 3-fosfoglicerato. 1,3-bisfosfoglicerato + ADP ⇌ 3-fosfoglicerato + ATP.
• Paso 8: La fosfoglicerato mutasa muta el 3-fosfoglicerato a 2-fosfoglicerato. 3-fosfoglicerato ⇌ 2-fosfoglicerato.
• Paso 9: La enolasa deshidrata el 2-fosfoglicerato a fosfoenolpiruvato (PEP). 2-fosfoglicerato ⇌ Fosfoenolpiruvato + H2O.
• Paso 10: La piruvato quinasa transfiere un grupo fosfato del PEP a ADP, formando ATP y piruvato. Fosfoenolpiruvato + ADP → Piruvato + ATP.

Glucólisis - Balance neto

• 1 glucosa se convierte en 2 ATP (neto), 2 NADH y 2 piruvatos.

Destino del piruvato

• En condiciones aeróbicas (presencia de oxígeno): el piruvato se convierte en acetil-CoA para entrar al ciclo de Krebs.
• En condiciones anaeróbicas (ausencia de oxígeno): el piruvato se convierte en lactato (en animales) o etanol (en levaduras) por fermentación.

Respiración celular - Visión general

• Proceso catabólico que utiliza oxígeno para degradar moléculas orgánicas y producir ATP.
• Se lleva a cabo en las mitocondrias de las células eucariotas.
• Consta de tres etapas principales: glucólisis, ciclo de Krebs y cadena de transporte de electrones y fosforilación oxidativa.

Respiración celular - Reacciones - Ciclo de Krebs

• Serie de reacciones químicas que extraen energía del acetil-CoA, produciendo ATP, NADH y FADH2.
• Se produce en la matriz mitocondrial.
• Paso 1: La citrato sintasa condensa acetil-CoA con oxaloacetato para formar citrato.
• Paso 2: La aconitasa isomeriza el citrato a isocitrato.
• Paso 3: La isocitrato deshidrogenasa oxida el isocitrato a α-cetoglutarato, produciendo NADH y CO2.
• Paso 4: El complejo de la α-cetoglutarato deshidrogenasa oxida el α-cetoglutarato a succinil-CoA, produciendo NADH y CO2.
• Paso 5: La succinil-CoA sintetasa convierte el succinil-CoA en succinato, produciendo GTP.
• Paso 6: La succinato deshidrogenasa oxida el succinato a fumarato, produciendo FADH2.
• Paso 7: La fumarasa hidrata el fumarato a malato.
• Paso 8: La malato deshidrogenasa oxida el malato a oxaloacetato, produciendo NADH.

Respiración celular - Reacciones - Cadena de transporte de electrones y fosforilación oxidativa

• Cadena de transporte de electrones (ETC): Serie de complejos proteicos en la membrana mitocondrial interna.
• Los electrones de NADH y FADH2 se transfieren a través de la ETC, liberando energía para bombear protones (H+) al espacio intermembrana, creando un gradiente electroquímico.
• La ATP sintasa utiliza el gradiente de protones para sintetizar ATP, un proceso conocido como quimiósmosis.
• La combinación de ETC y quimiósmosis se conoce como fosforilación oxidativa.

Respiración celular - Balance neto

• 1 glucosa se convierte en 30-32 ATP, 6 CO2 y 6 H2O.

Fermentación - Visión general

• Vía metabólica que regenera NAD+ a partir de NADH, permitiendo la glucólisis en ausencia de oxígeno.
• Se produce en el citosol de la célula.
• Tipos principales: láctica y alcohólica.

Fermentación - Tipos

• Fermentación láctica: la lactato deshidrogenasa reduce el piruvato a lactato, regenerando NAD+.
• Fermentación alcohólica: el piruvato se convierte en etanol y CO2 en dos pasos. Primero, la piruvato descarboxilasa descarboxila el piruvato a acetaldehído, liberando CO2. En segundo lugar, la alcohol deshidrogenasa reduce el acetaldehído a etanol, regenerando NAD+.

Fermentación - Balance neto

• 1 glucosa se convierte en 2 ATP y 2 lactato (fermentación láctica) o 2 etanol + 2 CO2 (fermentación alcohólica).

Sistema Nervioso Autónomo

• Regula funciones involuntarias para mantener la homeostasis.

Divisiones del Sistema Nervioso

• Sistema Nervioso Central (SNC): cerebro y médula espinal.
• Sistema Nervioso Periférico (SNP): neuronas aferentes (sensoriales) y eferentes (motoras).

Divisiones del sistema nervioso eferente

• Sistema nervioso somático: neuronas motoras al músculo esquelético, control voluntario.
• Sistema nervioso autónomo (SNA): neuronas a órganos viscerales; control involuntario.

Subdivisiones del SNA

• Sistema nervioso simpático (SNS).
• Sistema nervioso parasimpático (SNP).
• Sistema nervioso entérico (SNE): Red neuronal extensa en la pared del tracto gastrointestinal, con inervación parasimpática y simpática.

Funciones del SNA

• Regulación de la presión arterial, frecuencia cardíaca, temperatura corporal, digestión y glucosa en sangre entre otras funciones viscerales.
• Mantenimiento de la homeostasis mediante el monitoreo de condiciones internas, integración de información y ajuste de la función de los órganos.

Organización del SNA

• Dos neuronas conectan el SNC al órgano efector: neurona preganglionar y neurona postganglionar.

Componentes neuronales

• Neurona preganglionar: cuerpo celular en el SNC, axón hace sinapsis en la neurona postganglionar.
• Neurona postganglionar: cuerpo celular en un ganglio autónomo, axón hace sinapsis en el órgano efector.

Neurotransmisores

• Acetilcolina (ACh): Liberada por todas las neuronas preganglionares (SNS y SNP) y neuronas postganglionares parasimpáticas.
• Norepinefrina (NE): Liberada por la mayoría de las neuronas postganglionares simpáticas.
• Epinefrina (Epi): Liberada por la médula suprarrenal.

Receptores

• Receptores colinérgicos: Se unen a ACh, incluyendo subtipos nicotínicos (N) en neuronas postganglionares y musculares esqueléticas, y muscarínicos (M) en órganos efectores parasimpáticos y algunas glándulas sudoríparas simpáticas.
• Receptores adrenérgicos: Se unen a NE y Epi, incluyendo subtipos alfa (α1 y α2) y beta (β1, β2 y β3).

Sistema Nervioso Simpático (SNS)

• Permite la respuesta de "lucha o huida" preparando fisiológicamente al cuerpo para responder ante estímulos.

SNS - Anatomía

• Neuronas preganglionares con cuerpos celulares en la médula espinal torácica y lumbar, axones cortos hacen sinapsis en ganglios cerca de la médula espinal.
• Neuronas postganglionares con cuerpos celulares en ganglios, axones largos proyectan a órganos diana.

SNS - Vías

• Ganglios paravertebrales: forman la cadena simpática cerca de la médula espinal.
• Ganglios prevertebrales: como los ganglios celíaco, mesentérico superior e inferior, están más lejos de la médula espinal.
• Médula suprarrenal: glándula neuroendocrina especializada inervada por neuronas simpáticas preganglionares que libera epinefrina y norepinefrina en el torrente sanguíneo.

SNS - Neurotransmisores y Receptores

• Neuronas preganglionares: Liberan acetilcolina (ACh) en receptores nicotínicos (N) en neuronas postganglionares.
• Neuronas postganglionares: Liberan norepinefrina (NE) en receptores adrenérgicos (α y β) en órganos diana.
• Médula suprarrenal: Libera epinefrina (Epi) y norepinefrina (NE) en el torrente sanguíneo, activando receptores adrenérgicos.
• Excepciones
  • Glándulas sudoríparas: neuronas postganglionares simpáticas liberan ACh en receptores muscarínicos (M)
  • Músculo liso vascular renal: neuronas postganglionares simpáticas liberan dopamina en receptores D1

SNS - Funciones

Sistema Nervioso Parasimpático (SNP)

• Promueve las funciones de "descanso y digestión".

SNP - Anatomía

• Neuronas preganglionares con cuerpos celulares en el tronco encefálico y la médula espinal sacra con axones largos que hacen sinapsis en ganglios cerca del órgano diana.
• Neuronas postganglionares: cuerpos celulares en los ganglios y axones cortos que se proyectan a los órganos diana.

SNP - Vías

• Nervios craneales: el SNP utiliza varios nervios craneales para llegar a los órganos diana, incluidos el nervio oculomotor (III), el nervio facial (VII), el nervio glosofaríngeo (IX) y el nervio vago (X).
• Nervios espinales sacros: el SNP también utiliza la médula espinal sacra para inervar la vejiga, el recto y los órganos reproductores.

SNP - Neurotransmisores y receptores

• Neuronas preganglionares: liberan acetilcolina (ACh) en los receptores nicotínicos (N) de las neuronas postganglionares.
• Neuronas postganglionares: liberan acetilcolina (ACh) en los receptores muscarínicos (M) de los órganos diana.

SNP - Funciones

Tono autónomo

• La mayoría de los órganos están inervados por el SNS y el SNP.
• El SNA mantiene un nivel basal de actividad, denominado tono autónomo.
• Permite un control preciso de la función de los órganos mediante el aumento o la disminución de la actividad de una rama del SNA.

Usos clínicos

• Muchos fármacos atacan al SNA para tratar diversas afecciones.
• Hipertensión: los betabloqueantes se utilizan para reducir la frecuencia cardíaca y la presión arterial.
• Asma: los betaagonistas se utilizan para dilatar las vías respiratorias.
• Vejiga hiperactiva: los antagonistas muscarínicos se utilizan para reducir las contracciones de la vejiga.
• Sequedad de boca: los agonistas muscarínicos se utilizan para aumentar la salivación.

Efectos secundarios

• Los fármacos que atacan al SNA pueden tener diversos efectos secundarios, debido a los amplios efectos del SNA en el organismo.
• Efectos secundarios anticolinérgicos: los antagonistas muscarínicos pueden provocar sequedad de boca, visión borrosa, estreñimiento y retención urinaria.
• Efectos secundarios adrenérgicos: los agonistas adrenérgicos pueden provocar aumento de la frecuencia cardíaca, ansiedad e insomnio.

Tabla resumen: comparación del SNS y el SNP

Integración Numérica II

• La idea básica de las fórmulas de Newton-Cotes es aproximar $f(x)$ con un polinomio $P_n(x)$ y luego integrar el polinomio.

Fórmulas de Newton-Cotes- Base

• Podemos escribir el polinomio $P_n(x)$ en la forma de Lagrange de esta fórmula: $P_n(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i) l_i(x)$.
• Donde $x_i$ son puntos igualmente espaciados en $[a,b]$, es decir, $x_i = a + i h$ con $h = \frac{b-a}{n}$ y $l_i(x) = \prod_{j=0, j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i - x_j}$.
• Por lo tanto, la fórmula de Newton-Cotes se escribe así: $\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=0}^n f(x_i) \int_a^b l_i(x) dx = \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)$.
• $w_i = \int_a^b l_i(x) dx$ se denominan pesos.
• Las fórmulas de Newton-Cotes pueden ser cerradas o abiertas:
  • Fórmulas cerradas: utilizan los extremos $a$ y $b$ como nodos.
  • Fórmulas abiertas: no utilizan los extremos $a$ y $b$ como nodos.

Ejemplos de fórmulas de Newton-Cotes

Regla del trapecio (cerrada).

• Aproximación $f(x)$ con un polinomio lineal.
  • Fórmula: $\int_a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{2} [f(a) + f(b)].$
  • Error: $E = -\frac{(b-a)^3}{12} f''(\xi), \quad \xi \in (a,b).$

Regla de Simpson (cerrada)

• Aproximación $f(x)$ con un polinomio cuadrático.
  • Fórmula: $\int_a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{6} [f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b)].$
  • Error: $E = -\frac{(b-a)^5}{90} f^{(4)}(\xi), \quad \xi \in (a,b).$

Regla del punto medio (abierta)

• Aproximación $f(x)$ con un polinomio constante.
  • Fórmula: $\int_a^b f(x) dx \approx (b-a) f(\frac{a+b}{2}).$
  • Error: $E = \frac{(b-a)^3}{24} f''(\xi), \quad \xi \in (a,b).$

Integración numérica compuesta.

• Se divide el intervalo $[a,b]$ en $N$ subintervalos de igual longitud $h = \frac{b-a}{N}$, y se aplica una regla de cuadratura en cada subintervalo.
• Sea $x_i = a + i h$, $i=0,1,\cdots,N$.

Regla del trapecio compuesta

• Fórmula: $\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2} [f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{N-1} f(x_i) + f(x_N)].$
• Error: $E = -\frac{(b-a)^3}{12 N^2} f''(\xi), \quad \xi \in (a,b).$

Regla de Simpson compuesta

• $N$ debe ser par.
  • Fórmula: $\int_a^b f(x) dx = \frac{h}{3} [f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{N/2 -1} f(x_{2i}) + 4 \sum_{i=1}^{N/2} f(x_{2i-1}) + f(x_N)].$
  • Error: $E = -\frac{(b-a)^5}{180 N^4} f^{(4)}(\xi), \quad \xi \in (a,b).$

Propiedades de la transformada

Linealidad

• Expresión: $a \cdot f(t) + b \cdot g(t) \leftrightarrow a \cdot F(f) + b \cdot G(f)$

Escala de Tiempo

• Expresión: $f(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|} F(\frac{f}{a})$

Desplazamiento Temporal

• Expresión: $f(t - t_0) \leftrightarrow e^{-j2\pi ft_0} F(f)$

Desplazamiento de Frecuencia

• Expresión: $e^{j2\pi f_0t} f(t) \leftrightarrow F(f - f_0)$

Conjugación

• Expresión: $f^(t) \leftrightarrow F^(-f)$

Dualidad

• Expresión: $F(t) \leftrightarrow f(-f)$

Diferenciación

• Expresión: $\frac{d}{dt}f(t) \leftrightarrow j2\pi fF(f)$

Integración

• Expresión: $\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau \leftrightarrow \frac{1}{j2\pi f}F(f) + \frac{1}{2}F(0)\delta(f)$

Multiplicación

• Expresión: $f(t) \cdot g(t) \leftrightarrow F(f) * G(f)$

Convolución

• Expresión: $f(t) * g(t) \leftrightarrow F(f) \cdot G(f)$

• Nota:

$F(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi ft} dt$

Programación Lineal - Introducción

• Técnica matemática para optimizar (maximizar/minimizar) una función lineal (objetivo).
• Sujeta a restricciones lineales.
• Características: Función objetivo lineal, restricciones lineales y variables no negativas.

Elementos de un problema de programación lineal

• Variables de decisión: Incógnitas del problema.
• Función objetivo: Función lineal a optimizar.
• Restricciones: Limitaciones del problema.
• Región factible: Conjunto de puntos que cumplen las restricciones.
• Solución óptima: Punto de la región factible que optimiza la función objetivo.

Resolución gráfica

• Aplicable a problemas con dos variables.
• Pasos:
  1. Representar gráficamente las restricciones.
  2. Determinar la región factible.
  3. Representar la función objetivo.
  4. Encontrar la solución óptima (en un vértice de la región factible).

Método Simplex

• Algoritmo iterativo para resolver problemas de programación lineal.
• Pasos:
  1. Convertir el problema a forma estándar (añadir variables de holgura).
  2. Construir la tabla Simplex.
  3. Encontrar la variable de entrada (coeficiente más negativo en la fila de la función objetivo).
  4. Encontrar la variable de salida (menor razón entre el lado derecho y el coeficiente de la variable de entrada).
  5. Realizar la operación de pivote.
  6. Repetir pasos 3-5 hasta obtener la solución óptima.

Programación entera

• Variante de la programación lineal donde las variables deben serenteras.
• Tipos:
  • Programación entera pura: todas las variables enteras.
  • Programación entera mixta: algunas variables enteras y otras continuas.
  • Programación entera binaria: variables solo con valores 0 o 1.

Ramificación y poda (Branch and Bound)

• Un método de resolución divide el problema en subproblemas hasta encontrar la solución óptima.

Aplicaciones de la programación lineal

• Optimización de la producción, planificación de la distribución, asignación de recursos, planificación financiera, gestión de inventarios, rutas de vehículos y horarios de personal se benefician de este tipo de programación.
• También se usa para mezclas óptimas.

Lógica Proposicional - Definiciones Clave

Proposición

• Es una oración declarativa que es verdadera o falsa, pero no ambas.

Conectores lógicos

• Se utilizan para formar proposiciones compuestas a partir de proposiciones más simples.
• Negación (¬): "no P"
• Conjunción (∧): "P y Q"
• Disyunción (∨): "P o Q"
• Implicación (→): "Si P entonces Q"
• Equivalencia (↔): "P si y solo si Q"
• Disyunción exclusiva (⊕): "P o Q, pero no ambos"

Tablas de Verdad

• Definen la verdad de una proposición compuesta en función de los valores de verdad de sus componentes.

Tablas de Verdad Ejemplos

Negación (¬)

Conjunción (∧)

Disyunción (∨)

Implicación (→)

Equivalencia (↔)

Disyunción exclusiva (⊕)

Prioridad de los Operadores Lógicos

• Orden de prioridad (de mayor a menor):
  1. Negación (¬)
  2. Conjunción (∧)
  3. Disyunción (∨)
  4. Implicación (→)
  5. Equivalencia (↔)

Tautologías, Contradicciones y Contingencias

Tautología

• Proposición compuesta siempre verdadera.
• Ejemplo: $P ∨ ¬P$

Contradicción

• Proposición compuesta siempre falsa.
• Ejemplo: $P ∧ ¬P$

Contingencia

• Proposición compuesta que puede ser verdadera o falsa, dependiendo de las valoraciones de verdad de sus componentes.
• Ejemplo: P ∨ Q

Equivalencias Lógicas

• Dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes si tienen la misma tabla de verdad, notado $P ≡ Q$.
• Leyes de De Morgan:
• $¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q$
• $¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q$
• Doble Negación: $¬(¬P) ≡ P$
• Implicación: $P → Q ≡ ¬P ∨ Q$
• Contraposición: $P → Q ≡ ¬Q → ¬P$
• Equivalencia: $P ↔ Q ≡ (P → Q) ∧ (Q → P)$

Formas Normales

• Forma Normal Disyuntiva (FND): Disyunción de conjunciones de literales (proposición atómica o su negación).
• Ejemplo: $(P ∧ Q ∧ ¬R) ∨ (¬P ∧ R) ∨ (Q ∧ ¬S)$
• Forma Normal Conjuntiva (FNC): Conjunción de disyunciones de literales.
• Ejemplo: $(P ∨ Q ∨ ¬R) ∧ (¬P ∨ R) ∧ (Q ∨ ¬S)$

Transformación en FND/FNC

• Se utilizan las equivalencias lógicas y las leyes de De Morgan.

Sistemas de numeración - Histórico

• Los sumerios, egipcios, romanos y mayas utilizaron sistemas de numeración con diferentes bases.
• Los sumerios base 60, los egipcios y romanos base 10, y los mayas base 20.

Sistemas de numeración - Base b

• Un sistema de base $b$ utiliza $b$ dígitos diferentes para representar todos los números.
  • Ejemplos:
    • Base 10 (decimal): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
    • Base 2 (binario): 0, 1
    • Base 16 (hexadecimal): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Representación en base b

• Un número $N$ en base $b$ se escribe como $N = (a_n a_{n-1}... a_1 a_0)_b$, donde $a_i$ son los dígitos de la base $b$ y $0 \le a_i < b$.

Valor en base b

• El valor de un número $N$ en base $b$ se calcula como: $N = a_n \times b^n + a_{n-1} \times b^{n-1} +... + a_1 \times b^1 + a_0 \times b^0$.
  • Ejemplo: $(1011)_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 11$.

Conversión base b a base 10

• El valor de un número en base b se expresa con la fórmula.

Conversión base 10 a base b

• La división euclidiana se va a usar.

Ejemplo

• Convertir $229$ en base $8$:
  • $229 \div 8 = 28$ resto 5
  • $28 \div 8 = 3$ resto 4
  • $3 \div 8 = 0$ resto 3
  • Por lo tanto, $(229)_{10} = (345)_8$

Funciones vectoriales de variable escalar

• Longitud de arco: $s(t) = \int_{a}^{t} ||\overrightarrow{r}'(u)|| du$
• Vector tangente unitario: $\overrightarrow{T}(t) = \frac{\overrightarrow{r}'(t)}{||\overrightarrow{r}'(t)||}$
• Vector normal principal unitario: $\overrightarrow{N}(t) = \frac{\overrightarrow{T}'(t)}{||\overrightarrow{T}'(t)||}$
• Vector binormal unitario: $\overrightarrow{B}(t) = \overrightarrow{T}(t) \times \overrightarrow{N}(t)$
• Curvatura:
  • $k = \frac{||\overrightarrow{T}'(t)||}{||\overrightarrow{r}'(t)||}$
  • $k = \frac{||\overrightarrow{r}'(t) \times \overrightarrow{r}''(t)||}{||\overrightarrow{r}'(t)||^{3}}$
• Componentes tangencial y normal de la aceleración:
  • $\overrightarrow{a}(t) = a_{T}\overrightarrow{T}(t) + a_{N}\overrightarrow{N}(t)$
  • $a_{T} = \frac{\overrightarrow{r}'(t) \cdot \overrightarrow{r}''(t)}{||\overrightarrow{r}'(t)||}$
  • $a_{N} = \frac{||\overrightarrow{r}'(t) \times \overrightarrow{r}''(t)||}{||\overrightarrow{r}'(t)||}$