Giải tích hàm số liên tục và đạo hàm liên tục

Questions and Answers

Giá trị của $f(0)$ là gì?

1 (correct)

-1

Đạo hàm của hàm số $f(x)$ có dạng nào?

$f'(x) = f(x) + 2x$

$f'(x) = x^2 + 1$

$f'(x) = f(x) - x^2 + 1$

$f'(x) = f(x) + x^2 + 1$ (correct)

Giá trị của biểu thức $\frac{a}{b}$ với điều kiện $\frac{a}{b}$ tối giản là gì?

$\frac{5}{6}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{1}{3}$ (correct)

$\frac{3}{4}$

Hàm số $f(x)$ có tính chất gì theo định nghĩa?

<p>Có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$</p> Signup and view all the answers

Trong biểu thức $f'(x) = f(x) + x^2 + 1$, thành phần nào không phải là một hằng số?

<p>$x^2$</p> Signup and view all the answers

Study Notes

Định nghĩa hàm số

Hàm số ( f(x) ) là liên tục và có đạo hàm liên tục trên miền ( \mathbb{R} ).
Giá trị tại gốc: ( f(0) = 1 ).

Điều kiện đạo hàm

Đạo hàm của hàm số thỏa mãn: ( f'(x) = f(x) + x^2 + 1 ).

Phương trình vi phân

Phương trình vi phân có thể được viết lại dưới dạng:
- ( f'(x) - f(x) = x^2 + 1 ).

Tính chất hàm số

Vì ( f'(x) ) phụ thuộc vào giá trị của ( f(x) ), điều này gợi ý rằng hàm số có thể được giải bằng phương pháp biến đổi tích phân hoặc tìm nghiệm đặc trưng của phương trình.

Tính tích phân

Đã cho rằng ( \int_0^1 f(x) dx = \frac{a}{b} ), trong đó ( a ) và ( b ) là các số nguyên dương và tối giản.
Cần tìm giá trị chính xác của tích phân này để xác định ( a ) và ( b ).

Ý tưởng giải

Để tìm tích phân, có thể sử dụng phương pháp tích phân từng phần hoặc dùng định lý về tích phân của hàm liên tục.
Đặt ( g(x) = e^{-x} f(x) ) để tìm một công thức giải cho ( g'(x) ).

Kết luận

Kết quả cuối cùng cần tối giản thành dạng phân số ( \frac{a}{b} ) với ( a ) và ( b ) là số nguyên dương.

Description

Quiz này tập trung vào việc giải một bài toán về hàm số liên tục với điều kiện và đạo hàm liên tục. Bạn sẽ cần sử dụng thông tin về giá trị của hàm và đạo hàm để tính tích phân của hàm từ 0 đến 1. Liệu bạn có thể tìm được giá trị tích phân này dưới dạng tối giản a/b?