Giải tích hàm số liên tục và đạo hàm liên tục

Định nghĩa hàm số

• Hàm số ( f(x) ) là liên tục và có đạo hàm liên tục trên miền ( \mathbb{R} ).
• Giá trị tại gốc: ( f(0) = 1 ).

Điều kiện đạo hàm

• Đạo hàm của hàm số thỏa mãn: ( f'(x) = f(x) + x^2 + 1 ).

Phương trình vi phân

• Phương trình vi phân có thể được viết lại dưới dạng:
  • ( f'(x) - f(x) = x^2 + 1 ).

Tính chất hàm số

• Vì ( f'(x) ) phụ thuộc vào giá trị của ( f(x) ), điều này gợi ý rằng hàm số có thể được giải bằng phương pháp biến đổi tích phân hoặc tìm nghiệm đặc trưng của phương trình.

Tính tích phân

• Đã cho rằng ( \int_0^1 f(x) dx = \frac{a}{b} ), trong đó ( a ) và ( b ) là các số nguyên dương và tối giản.
• Cần tìm giá trị chính xác của tích phân này để xác định ( a ) và ( b ).

Ý tưởng giải

• Để tìm tích phân, có thể sử dụng phương pháp tích phân từng phần hoặc dùng định lý về tích phân của hàm liên tục.
• Đặt ( g(x) = e^{-x} f(x) ) để tìm một công thức giải cho ( g'(x) ).

Kết luận

• Kết quả cuối cùng cần tối giản thành dạng phân số ( \frac{a}{b} ) với ( a ) và ( b ) là số nguyên dương.