Giải tích 12: Ứng dụng đạo hàm và hàm số

• Giải tích 12

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Nghiên cứu sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là ứng dụng quan trọng của đạo hàm.
• Các bước khảo sát hàm số bao gồm tìm tập xác định, xét sự biến thiên (tính đạo hàm, tìm điểm đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, lập bảng biến thiên, xác định chiều biến thiên và cực trị), tìm tiệm cận (nếu có), và vẽ đồ thị.
• Các dạng hàm số thường gặp bao gồm hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ, và hàm lượng giác.
• Các bài toán liên quan bao gồm tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, và biện luận số nghiệm của phương trình.

Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

• Hàm số lũy thừa có dạng y = x^α, với α là số thực.
• Hàm số mũ có dạng y = a^x, với a > 0, a ≠ 1.
• Hàm số logarit có dạng y = logₐ(x), với a > 0, a ≠ 1.
• Tính chất của lũy thừa: a^(m+n) = a^m * a^n, a^(m-n) = a^m / a^n, (a^m)^n = a^(m*n).
• Tính chất của logarit: logₐ(b*c) = logₐ(b) + logₐ(c), logₐ(b/c) = logₐ(b) - logₐ(c), logₐ(b^c) = c * logₐ(b).
• Đạo hàm của hàm số mũ: (a^x)' = a^x * ln(a).
• Đạo hàm của hàm số logarit: (logₐ(x))' = 1 / (x * ln(a)).
• Giải phương trình mũ và logarit bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc sử dụng các phép biến đổi tương đương.

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

• Nguyên hàm của hàm số f(x) là hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x).
• Ký hiệu nguyên hàm: ∫f(x)dx = F(x) + C, với C là hằng số.
• Tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a), với F(x) là một nguyên hàm của f(x).
• Tính chất của tích phân:
  • ∫[a,a] f(x)dx = 0.
  • ∫[a,b] f(x)dx = -∫[b,a] f(x)dx.
  • ∫[a,b] [f(x) + g(x)] dx = ∫[a,b] f(x)dx + ∫[a,b] g(x)dx.
  • ∫[a,b] k*f(x)dx = k * ∫[a,b] f(x)dx, với k là hằng số.
• Các phương pháp tính tích phân: tính trực tiếp bằng công thức, phương pháp đổi biến số, và phương pháp tích phân từng phần.
• Ứng dụng của tích phân bao gồm tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể tròn xoay.

Số phức

• Số phức có dạng z = a + bi, với a, b là số thực, i là đơn vị ảo (i² = -1).

• a là phần thực, b là phần ảo của số phức z.

• Các phép toán trên số phức:

  • Cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
  • Trừ: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i.
  • Nhân: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.
  • Chia: (a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / (c² + d²).

• Số phức liên hợp của z = a + bi là z̄ = a - bi.

• Môđun của số phức z = a + bi là |z| = √(a² + b²).

• Biểu diễn hình học của số phức: số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a, b) trên mặt phẳng phức.

• Dạng lượng giác của số phức: z = r(cosθ + i*sinθ), với r = |z|, θ là argument của z.

• Công thức Moivre: (cosθ + isinθ)^n = cos(nθ) + isin(nθ).

• Phương trình bậc hai với hệ số thực: Δ = b² - 4ac. Nếu Δ < 0, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp.

• Hình học 12

Khối đa diện

• Khối đa diện là hình được bao bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng, thỏa mãn:
  • Hai đa giác bất kỳ hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
  • Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
• Các loại khối đa diện bao gồm khối chóp (có đáy là đa giác, các mặt bên là các tam giác có chung đỉnh), khối lăng trụ (có hai đáy là hai đa giác bằng nhau, các mặt bên là các hình bình hành), và khối đa diện đều (các mặt là các đa giác đều bằng nhau, mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng một số cạnh).
• Thể tích khối chóp: V = (1/3) * Sđáy * h, với h là chiều cao.
• Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy * h, với h là chiều cao.

Mặt nón, mặt trụ và mặt cầu

• Mặt nón: hình được tạo bởi đường thẳng d di động luôn đi qua một điểm cố định O và cắt một đường cong cố định C (không nằm trên d).
• Diện tích xung quanh mặt nón: Sxq = πrl, với r là bán kính đáy, l là đường sinh.
• Thể tích khối nón: V = (1/3) * πr²h, với h là chiều cao.
• Mặt trụ: hình được tạo bởi đường thẳng d di động luôn song song với một đường thẳng Δ cho trước và cắt một đường cong cố định C (không nằm trên Δ).
• Diện tích xung quanh mặt trụ: Sxq = 2πrh, với r là bán kính đáy, h là chiều cao.
• Thể tích khối trụ: V = πr²h, với h là chiều cao.
• Mặt cầu: tập hợp các điểm cách đều một điểm O cố định một khoảng R cho trước.
• Diện tích mặt cầu: S = 4πR².
• Thể tích khối cầu: V = (4/3) * πR³.
• Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, đường thẳng cần được xem xét.
• Phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c), bán kính R: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².
• Phương trình mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0.
• Phương trình đường thẳng: (x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c.
• Hệ tọa độ Oxyz trong không gian: xác định tọa độ điểm, tọa độ vectơ, tích vô hướng, tích có hướng, ứng dụng vào giải toán hình học.
• Khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là những yếu tố cần tính toán.