गणित के मौलिक सिद्धांत

Fundamental Concepts

• गणित तर्क और तर्क की एक औपचारिक प्रणाली है जिसका उपयोग हमारे आसपास की दुनिया की मात्रा, मॉडल और समझ बनाने के लिए किया जाता है।
• इसमें अंकगणित, बीजगणित, ज्यामिति, कलन और सांख्यिकी सहित कई विषय शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक के अपने विशिष्ट उपकरण और तकनीकें हैं।
• मुख्य तत्वों में संख्याएँ, संक्रियाएँ, समीकरण और प्रमाण शामिल हैं।
• भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर विज्ञान और अर्थशास्त्र जैसी विभिन्न क्षेत्रों के लिए गणित एक महत्वपूर्ण उपकरण है।

संख्या प्रणाली

• प्राकृतिक संख्याएँ (ℕ): धनात्मक पूर्णांक: 1, 2, 3,...
• पूर्ण संख्याएँ (ℤ⁺∪{0}): प्राकृतिक संख्याएँ प्लस शून्य: 0, 1, 2, 3,...
• पूर्णांक (ℤ): पूर्ण संख्याएँ और उनके ऋणात्मक: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
• परिमेय संख्याएँ (ℚ): भिन्न p/q के रूप में व्यक्त की जाने वाली संख्याएँ, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। उदाहरण: 1/2, -3/4, 5।
• अपरिमेय संख्याएँ (ℝ\ℚ): संख्याएँ जिन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जैसे π और √2।
• वास्तविक संख्याएँ (ℝ): सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ शामिल हैं। संख्या रेखा पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।
• काल्पनिक संख्याएँ (i): -1 का वर्गमूल
• समिश्र संख्याएँ (ℂ): a + bi के रूप में संख्याएँ, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i काल्पनिक इकाई है।

मूलभूत संक्रियाएँ

• अंकगणितीय संक्रियाएँ: जोड़, घटाव, गुणा और भाग।
• संक्रियाओं का क्रम (PEMDAS/BODMAS): कोष्ठक, घातांक, गुणा और भाग (बाएं से दाएं), जोड़ और घटाव (बाएं से दाएं)।
• संक्रियाओं के गुण: क्रमविनिमेय, साहचर्य, वितरणात्मक, तत्समक, व्युत्क्रम।

बीजगणित

• चर: अज्ञात राशियों का प्रतिनिधित्व करने वाले प्रतीक (जैसे x, y, z)।
• समीकरण: दो व्यंजकों के बराबर होने का कथन।
• असमानताएँ: एक व्यंजक दूसरे व्यंजक से बड़ा या छोटा होने का कथन।
• समीकरणों और असमानताओं को हल करना: अज्ञात चर को अलग करना।
• व्यंजकों को गुणनखंडित और विस्तारित करना: बीजीय व्यंजकों में हेरफेर करना।

ज्यामिति

• आकृतियाँ और चित्र: बिंदु, रेखाएँ, तल, कोण, त्रिभुज, चतुर्भुज, वृत्त, आदि।
• आकृतियों के गुण: क्षेत्रफल, परिमाप, आयतन।
• निर्माण: एक कंपास और सीधी किनारे जैसी उपकरणों का उपयोग करके ज्यामितीय आकृतियाँ बनाना।
• रूपांतरण: अनुवाद, घूर्णन, परावर्तन और समरूपता।

कलन

• सीमाएँ: किसी फलन का व्यवहार जब इसका इनपुट किसी निश्चित मान की ओर बढ़ता है।
• अवकलज: किसी फलन के परिवर्तन की दर।
• समाकल: किसी अंतराल पर किसी फलन का संचय।
• अनुप्रयोग: अधिकतम और न्यूनतम मानों को ज्ञात करना, क्षेत्रफलों और आयतनों की गणना करना, गति और परिवर्तन का मॉडलिंग करना।

सांख्यिकी

• डेटा संग्रह और संगठन: डेटा एकत्र करना, वर्गीकृत करना और सारांशित करना।
• केंद्रीय प्रवृत्ति के माप: माध्य, माध्यिका, बहुलक।
• फैलाव के माप: प्रसरण, मानक विचलन।
• प्रायिकता: किसी घटना के घटित होने की संभावना।
• सांख्यिकीय अनुमान: डेटा से निष्कर्ष निकालना।

विविक्त गणित

• समुच्चय और तर्क: समुच्चयों, संबंधों और तर्क की मूलभूत अवधारणाएँ।
• ग्राफ़ सिद्धांत: वस्तुओं के बीच संबंध।
• संचय गणित: गणना की तकनीकें।
• संख्या सिद्धांत: संख्याओं के गुणों का अध्ययन।

समस्या-समाधान रणनीतियाँ

• समस्या की पहचान करना: प्रश्न या लक्ष्य को समझना।
• जानकारी एकत्र करना: सभी आवश्यक डेटा एकत्र करें।
• योजना बनाना: समस्या को हल करने के लिए एक रणनीति बनाएँ।
• योजना लागू करना: रणनीति को चरण-दर-चरण करें।
• समाधान का मूल्यांकन करना: देखें कि क्या उत्तर उचित और सही है।