Функцияларды жақындату әдістері

Функцияларды жуықтау әдістері

• Лагранж интерполяция формуласы функцияларды жуықтау үшін қолданылады.
• y = f(x) функциясы берілген деп есептеледі.
• x = h арқылы аргумент өсімшесінің бекітілген шамасы белгіленеді.
• y  f(x) = f(x + x) - f(x) өрнегі y функциясының бірінші шекті айырымы болып табылады.
• Жоғарғы ретті шекті айырымдар жоғарғыдағыдай жолмен анықталады: n y = (n -1 y), n = 2, 3...

Интерполяция мәселесі

• [a, b] аралығындағы интерполяция түйіндері деп аталатын n+1 нүктелер (x0, x1, ..., xn) берілген.
• Осы нүктелер үшін f(x0) = y0, f(x1) = y1, ..., f(xn) = yn мәндерін қабылдайтын P(x) көпмүшесін құру керек.
• xi мәндерінің арасында бірдей мәндер жоқ деп саналады.

Интерполяция түрлері

• Интерполяциялық көпмүшенің дәрежесі n болса, ол глобалді интерполяция деп аталады
• f(x) функциясын интерполяциялауда xi аргументінің өзгеру аралығында бір ғана көпмүше қолданылады.
• Интерполяциялық көпмүшелерді x аргументінің өзгеру аралығының әртүрлі бөліктерінде құруға болады, бұл үзікті интерполяция деп аталады.
• Интерполяциялау шарты бойынша, көпмүшенің графигі интерполяциялық түйіндерде функцияның мәндері арқылы өтуі керек.

Есептің қойылымы

• y = (х) функциясы кестелік түрде келесі мәліметтермен берілген:
• х нүктелері: х0, х1, х2, ..., хn, хn+1.
• у = (х) мәндері: у0 = (х0), у1 = (х1), у2 = (х2), ..., уn = (хn), уn+1 = (хn+1).
• хк (k = 0, n) нүктелерінде берілген функция мәндерімен дәл келетін Ln(x) көпмүшесін табу керек, оның дәрежесі n-нан аспауы керек.

Интерполяциялық көпмүше

• Ln(x) түрі: f(x)  Ln(x)  y0 + Σ (x − x0)...(x − xk−1)Δy(x0, x1, ..., xk).
• хk (k = 0, n) - интерполяциялау түйіндері
• ал Ln(x) - х0, х1,…,хn түйіндері бойынша (х) функциясы үшін интерполяциялық көпмүше.
• Интерполяциялау түйіндерінде функция өзінің интерполяциялық көпмүшесімен сәйкес келуі керек.
• Егер х интерполяциялау түйіні болмаса, (х) функциясы Ln(x)-көпмүшесіне жуық болады.

Лагранж формуласы

• Ln(x) = Σ ((x − x0)...(x − xk−1)(x − xk+1)...(x − xn) / ((xk − x0)...(xk − xk−1)(xk − xk+1)...(xk − xn))) * yk.
• rn(x) арқылы (х) - Ln(x) айырымы белгіленеді.
• rn(x) - қалдық мүше.

Сплайн функциясы

• f(x) функциясына және х0, х1,…,хN түйіндеріне сәйкес.
• Сплайн (интерполяциялық текше сплайн) деп аталады.
• Келесі шарттарды орындайтын S(x) функциясы:
  • Әрбір [xi-1, xi] (i=1, 2, ..., N) сегментінде S(x) функциясы үшінші дәрежелі көпмүше болады.
  • S(x) функциясы және оның бірінші, екінші туындылары [a, b] аралығында үзіліссіз.\
  • Интерполяциялау шарты: S(xi) = f(x.i), i = 0, 1, ..., N.
• Бұл шарттарды қанағаттандыратын сплайн жалғыз болады және онымен құруға болады.

Сплайн функциясын анықтау

• Әрбір [хi-1, хi] (i=1, 2, ..., N) аралығында S(x) = Si(x) түрі: Si(x) = a1 + bi * (x − xi) + (ci/2) * (x − xi)^2 + (di/6) * (x − xi)^3.
• ai, bi, ci, di - коэффициенттер (барлығы 4N).
• Si'(x) = bi + ci * (x − xi) + (di/2) * (x − xi)^2; Si''(x) = ci + di * (x − xi); Si'''(x) = di.
• ai = Si(xi); bi = Si'(xi); ci = Si''(xi); di = Si'''(xi).
• S(xi)=f(xi) шарты, i=1,2,...,N => aI=f(xi), i=1,2,...,N, а0=f(х0).

N коэффициентін анықтау

• S(x) функциясының үзіліссіздігінен S(x)=Si(х), i=1,2,...,N шығады.
• ai = ai+1 + bi+1 * (xi − xi+1) + (ci+1/2) * (xi − xi+1)^2 + (di+1/6) * (xi − xi+1)^3
• hi = xi - xi+1 белгілеуін қолданып, ai = f(xi) = fi ескеріледі.
• hi * bi − ci * (hi/2) + di * (hi^3/6) = ai − ai−1

Бірінші туынды

• Si'(xi) = Si'+1(xi), i = 1, 2, ..., N − 1 үзіліссіз шартынан: bi = bi+1 + ci+1 * (xi+1 − xi) + (di+1/2) * (xi+1 − xi)^2.
• ci * hi + di * (hi^2/2) = bi − bi−1

Екінші туынды

• Si''(xi) = Si''(xi), i = 1, 2, ..., N − 1 үзіліссіз шартынан: ci = ci+1 + di+1 * (xi+1 − xi)

Формулаларды біріктіру

• 3N болатын bi, ci, di (i=1,2,...,N) белгісіздерге байланысты 3N-2 теңдеулер жүйесін алу.
• Мысалы, f(x) функциясы f(a)=0, f(b)=0 шарттарын қанағаттандыруы қажет.

Шеттік шарттар

• S''(a) = S''(b) = 0 талабы қойылады.
• S1(x0) = 0; SN(xN) = 0 -> 0 = c1 + d1 * (x0 − x1); c1 − d1 * h1 = 0 немесе 0 = cN + dN * (xN−1 − xN); cN = 0
• i = 1, d1 h1 = c1 − c0 және c1 − d1h1 = 0 сәйкес келеді (егер c0 = 0 болса).
• Текше сплайн коэффициенттерін табу үшін, тұйық теңдеулер жүйесі қолданылады:
  • hi * di = ci − ci−1, i = 1, 2, ..., N, c0 = cN = 0.
  • hi * ci − (hi^2/2) * di = bi − bi−1, i = 2, 3, ..., N.
  • hi * bi − (hi^2/2) * ci + (hi^3/6) * di = fi − fi−1, i = 1, 2, 3, ..., N.

Жүйе шешімі

• bi, di (i=1,2,...,N-1) айнымалыларын шығару нәтижесінде ci (i=1,2,...,N-1) –лерден жүйе құралады.
• bi = hi * ci − (hi^2/2) * di + (fi − fi−1)/hi. bi−1 = hi−1 * ci−1 − (hi−1^2/2) * di−1 + (fi−1 − fi−2)/hi−1.
• hi * ci + hi−1 * ci−1 − (hi^2/3) * di − (hi−1^2/3) * di−1 = 2 * ((fi − fi−1)/hi − (fi−1 − fi−2)/hi−1).
• hi * d i = hi * (ci − ci −1) ci + hi −1 * ci −1 3 3 hi h i −1 h ( b − a)n max Tn ( x ) =
• коэффициенттерін табу үшін келесі теңдеулер жүйесі қолданылады i −1i −1 h

Алынған сі мәндері бойынша

• di = (ci-ci-1)/hi
• bi = (hi/2) * ci - (hi^2/6

Матрица түрінде жазу

• Диагоналдық элементтер диагоналға жатпайтын элементтерден үлкенірек.
• Мұндай жүйенің тек бір шешімі болады.
• Жүйе диагоналді болғандықтан, оны қумалық әдіспен шешуге болады
• ci коффицентін қолдланып bi және di коэффициенттерін (10.10) формуласы бойынша анықтауға болады: f ) *d +