Funciones vectoriales: Exploración

Introducción a las Funciones Vectoriales

• Las funciones vectoriales de una variable real asignan un vector a cada número real en su dominio.
• Son esenciales para describir curvas y movimientos en el espacio.
• Se construye sobre el álgebra vectorial y la geometría del espacio.
• Permiten describir velocidad, aceleración y curvatura de objetos en movimiento.

Álgebra Vectorial

• Un vector tiene magnitud y dirección.
• Geométricamente, se representan como flechas.
• Algebraicamente, son tuplas ordenadas de números reales (componentes).
• Un vector bidimensional 𝑣 se escribe como 𝑣=(𝑣1,𝑣2) .
• Un vector tridimensional 𝑣 se escribe como 𝑣=(𝑣1,𝑣2,𝑣3) .

Operaciones con Vectores

• Suma: 𝑢+𝑣=(𝑢1+𝑣1,𝑢2+𝑣2) .
• Resta: 𝑢−𝑣=(𝑢1−𝑣1,𝑢2−𝑣2) .
• Multiplicación por escalar: 𝑐𝑣=(𝑐𝑣1,𝑐𝑣2) .
• Magnitud: ||𝑣||=√𝑣12+𝑣22 , siempre no negativa.
• Producto punto (escalar): 𝑢⋅𝑣=𝑢1𝑣1+𝑢2𝑣2.
• Ángulo θ entre vectores: 𝑢⋅𝑣=||𝑢||⋅||𝑣||cos⁡𝜃.
• Producto cruz (vectores tridimensionales): 𝑢×𝑣=(𝑢2𝑣3−𝑢3𝑣2,𝑢3𝑣1−𝑢1𝑣3,𝑢1𝑣2−𝑢2𝑣1).
• El producto cruz es ortogonal a ambos vectores originales.
• Magnitud del producto cruz: ||𝑢×𝑣||=||𝑢||⋅||𝑣||sin⁡𝜃.

Vectores Unitarios

• Tiene magnitud 1.
• Dado 𝑣 , el vector unitario en su dirección es 𝑢=𝑣/||𝑣|| .
• Vectores base estándar en 3D: 𝑖=(1,0,0) , 𝑗=(0,1,0) , 𝑘=(0,0,1) .
• Cualquier vector tridimensional 𝑣 se puede escribir como 𝑣=𝑣1𝑖+𝑣2𝑗+𝑣3𝑘 .

Geometría del Espacio

• Estudio de formas y figuras en 3D.
• Incluye ecuaciones de líneas, planos y superficies.

Líneas

• Se define con un punto y un vector de dirección.
• Ecuación vectorial: 𝑟=𝑟0+𝑡𝑣 , donde 𝑟0 es el vector de posición del punto 𝑃0 .
• Ecuaciones paramétricas: 𝑥=𝑥0+𝑎𝑡 , 𝑦=𝑦0+𝑏𝑡 , 𝑧=𝑧0+𝑐𝑡 .
• Ecuaciones simétricas: (𝑥−𝑥0)/𝑎=(𝑦−𝑦0)/𝑏=(𝑧−𝑧0)/𝑐 .

Planos

• Se define con un punto y un vector normal.
• Ecuación del plano: 𝑎(𝑥−𝑥0)+𝑏(𝑦−𝑦0)+𝑐(𝑧−𝑧0)=0 .
• Forma alternativa: 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0 , donde 𝑑=−(𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0) .

Superficies

• Conjunto de puntos que satisfacen una ecuación.
• Esfera: (𝑥−𝑥0)2+(𝑦−𝑦0)2+(𝑧−𝑧0)2=𝑟2 , con centro en (𝑥0,𝑦0,𝑧0) y radio 𝑟 .
• Otras superficies: cilindros, conos, elipsoides, paraboloides, hiperboloides.

Funciones Vectoriales

• Asignan un vector a cada número real en su dominio.
• 𝑟(𝑡)=(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡),𝑧(𝑡)) , donde 𝑥(𝑡) , 𝑦(𝑡) , y 𝑧(𝑡) son funciones componentes.
• Se utilizan para describir curvas en el espacio.
• Ejemplo: 𝑟(𝑡)=(cos⁡𝑡,sin⁡𝑡,𝑡) describe una hélice.

Límites y Continuidad

• Límite: lim𝑡→𝑎𝑟(𝑡)=(lim𝑡→𝑎𝑥(𝑡),lim𝑡→𝑎𝑦(𝑡),lim𝑡→𝑎𝑧(𝑡)) si existen los límites de las funciones componentes.
• Continuidad: lim𝑡→𝑎𝑟(𝑡)=𝑟(𝑎).
• Una función vectorial es continua si sus funciones componentes son continuas.

Derivación

• Derivada: 𝑟′(𝑡)=(xlimℎ→0𝑟(𝑡+ℎ)−𝑟(𝑡)ℎ=(𝑥′(𝑡),𝑦′(𝑡),𝑧′(𝑡)) .
• 𝑟′(𝑡) es un vector tangente a la curva trazada por 𝑟(𝑡) .
• Segunda derivada: 𝑟′′(𝑡)=(xlimℎ→0𝑟′(𝑡+ℎ)−𝑟′(𝑡)ℎ=(𝑥′′(𝑡),𝑦′′(𝑡),𝑧′′(𝑡)).

Integración

• Integral: ∫𝑟(𝑡)𝑑𝑡=(∫𝑥(𝑡)𝑑𝑡,∫𝑦(𝑡)𝑑𝑡,∫𝑧(𝑡)𝑑𝑡).
• La integral de una función vectorial es un vector.

Aplicaciones de Funciones Vectoriales

• Se utilizan extensamente en física e ingeniería.

Velocidad y Aceleración

• Vector velocidad: 𝑣(𝑡)=𝑟′(𝑡).
• La magnitud del vector velocidad es la rapidez.
• Vector aceleración: 𝑎(𝑡)=𝑣′(𝑡)=𝑟′′(𝑡).

Longitud de Arco

• Longitud de arco: 𝐿=∫𝑎𝑏||𝑟′(𝑡)||𝑑𝑡.
• Representa la distancia recorrida por una partícula desde 𝑡=𝑎 hasta 𝑡=𝑏 .

Curvatura

• Medida de cuánto se dobla una curva.
• 𝜅=||𝑇′(𝑡)||||𝑟′(𝑡)|| , donde 𝑇(𝑡)=𝑟′(𝑡)||𝑟′(𝑡)|| es el vector tangente unitario.
• La curvatura es siempre no negativa.
• Fórmula alternativa: 𝜅=||𝑟′(𝑡)×𝑟′′(𝑡)||||𝑟′(𝑡)||3.

Conclusión

• Las funciones vectoriales son esenciales para describir curvas y movimientos en el espacio.
• Tienen aplicaciones en física e ingeniería.