Funciónes Reales: Guía detallada

Funciones Reales

• Un resumen detallado de funciones desde su definición hasta funciones logarítmicas está presentado, incluyendo cómo graficarlas, analizar sus características y determinar intersecciones con los ejes.
• La gráfica es un conjunto de puntos (x,y) que cumplen y=f(x) representados en un sistema de coordenadas cartesianas.
• Para encontrar las intersecciones con los ejes:
  • Eje x: Resolver f(x)=0
  • Eje y: Evaluar f(0).

Función Constante

• Definida como f(x)=c, donde c es un número real fijo.
• Su gráfica es una línea horizontal a la altura y=c.
• El dominio es Dom(f)=R.
• La imagen es Im(f)={c}.
• Intersecciones:
  • Con el eje y: (0,c)
  • Con el eje x: No hay intersecciones si C ≠ 0.

Funciones Potenciales

• Se definen como f(x)=xⁿ, donde n es un número entero.
• Si n es par, la gráfica es simétrica respecto al eje y.
• Si n es impar, la gráfica es simétrica respecto al origen.
• Dominio: R para n >= 0.
• Imagen:
  • Si n es par: [0,∞)
  • Si n es impar: R.

Función Identidad

• Dada por f(x) = x
• Dom(f) = R, Graf (f) = {(x,x)/x ∈R}, Im (f) = R.

Función Equis al Cuadrado

• f(x) = x²
• La gráfica es una parábola.
• Im(f) = R.
• x = 0 ⇒ f(0) = 0, luego se tiene que (0,0) ∈ Graf (f)
• x = ±1 = f(1) = f(-1) = 1, luego se tiene que (1,1); (-1,1) ∈ Graf (f)

Función Equis al Cubo

• Definida como f(x) = x³
• La gráfica es el conjunto de puntos Graf (f) = {(x,x³)/x∈R}.
• Im(f) = R
• x = 0 ⇒ f(0) = 0, luego se tiene que (0,0) ∈ Graf (f)
• x=1 ⇒ f(1)=1, luego se tiene que (1,1) ∈ Graf (f)
• x=-1 ⇒ f(-1) = -1, luego se tiene que (-1,-1) ∈ Graf (f)

Función Raíz Cuadrada

• f(x) = √x
• Dom(f) = [0, +∞)
• La gráfica es el conjunto de puntos Graf (f) = {(x,√x)/x≥0}.
• Los puntos (0,0); (1,1); (4,2); (9,3) son algunos puntos de la gráfica.
• Im(f) = [0,+00)

Función Raíz Cúbica

• Dom(f) = R
• La gráfica es el conjunto de puntos Graf (f) = {(x;∛x)/x ∈ R}
• Los puntos (0,0); (1,1); (-8;-2); (8;2) son algunos puntos de la gráfica.
• Im(f) = R

Función Recíproca

• f(x)=1/x o f(x)= -1
• Su gráfica consta de dos ramas hiperbólicas en los cuadrantes I y III.
• Dominio: R {0}
• Imagen: R{0}
• No corta ninguno de los ejes.
• Asíntotas: Horizontal: y=0 y Vertical: x=0
• Dom(f) = R -{0}, en consecuencia la gráfica de la función no interseca al eje y.
• La gráfica es el conjunto de puntos Graf (f) = {(x,1/x)/x∈R-{0}}.
• Im(f) = R-{0}
• Cuando x se aproxima a 0 (con valores positivos), los valores de f (x) crecen "sin tope", lo que indica una Asíntota Vertical en el eje y.
• A medida que x crece, los valores de la función se aproximan a 0, indicando una Asíntota Horizontal en el eje x.
• Los puntos (1,1), (2,1/2), (3,1/3), (1/2,2) pertenecen a la gráfica.

Función Valor Absoluto

• Se define como:
• f(x) = |x| = x si x ≥ 0
• f(x) = |x| = -x si x < 0
• Esto significa que la función transforma cualquier número real x en su magnitud positiva, independientemente de su signo.
• Dominio: Dom(f)=R
• La función está definida para todos los números reales.
• Imagen: Im(f)=[0,∞)
• El valor absoluto nunca es negativo.
• Paridad: La función es par, es decir: f(-x)=f(x),∀x ∈R.
• La gráfica es simétrica respecto al eje y.
• Intersecciones:
  • Eje x: f(x)=0 cuando x=0. La intersección es en (0,0).
  • Eje y: Evaluamos f(0), lo que da f(0)=0. También pasa por (0,0).
• La gráfica tiene forma de "V" con el vértice en el origen (0,0).
• Para x≥ 0 la gráfica coincide con la línea y=x
• Para x<0, la gráfica coincide con la línea y=-x
• Puntos Clave para Trazar:
  • (0,0): vértice de la gráfica.
  • (1,1) y (−1,1): puntos simétricos respecto al eje y.
  • Otros puntos (2,2),(−2,2)
• Pendientes:
  • Para x>0: pendiente positiva, m=1
  • Para x<0: pendiente negativa, m=-1
• Continuidad: La función es continua en todo R, ya que no tiene saltos ni puntos de discontinuidad.
• Derivabilidad: La función es derivable en R {0}
• En x=0, no es derivable debido a que la pendiente cambia abruptamente de –1 a 1.
• Traslaciones Verticales: f(x)+c: desplaza la gráfica c unidades hacia arriba si c>0 o |c | unidades hacia abajo si c<0
• Traslaciones Horizontales: f(x-h): desplaza la gráfica h unidades hacia la derecha si h>0 o |h| unidades hacia la izquierda si h<0.
• Reflexión y Escalamiento:
  • -f(x): refleja la gráfica respecto al eje x.
  • kf(x): estira la gráfica verticalmente si k>1 o la comprime si 0<k<1
• Distancia: Representa la distancia de un número real al origen en una recta numérica.
  • | a-b |: distancia entre los puntos a y b en R.
• Inecuaciones:
  • | x | <c: se resuelve como –c < x< c
  • | x | >c: se resuelve como x<–c o x>c

Función Exponencial

• Es de la forma f(x) = aˣ donde a∈ R, a≠1 es la base.
• La base más usada es a = e = 2.7182.....∈ I (número de Euler)
• Dom(f) = R
• f(0)=1 ⇒ (0,1) ∈ Graf(f) y f(1) =a ⇒ (1,a) ∈ Graf (f)
• Si 0<a<1 la función es estrictamente decreciente pues sean x₁, x₂ ∈ R: x₁ <x₂ ⇒ aˣ¹> aˣ² ⇒ f(x₁) > f(x₂)
• Si a>1 la función es estrictamente creciente pues sean x₁, x₂ ∈ R: x₁<x₂ ⇒ aˣ¹ < aˣ² ⇒ f(x₁) < f(x₂)
• Im(f) = R⁺.

Características de las Funciones Exponenciales

• Definida como f(x) = aˣ donde a>0 y a ≠ 1. Un ejemplo típico es f(x) = 2ˣ.
  • Creciente si a>1.
  • Decreciente si 0 < a <1.
• Dominio: R
• Imagen: (0,∞)
• Intersecciones: Eje y: (0,1). No corta el eje x.
• Gráfica: Comienza cerca de y=0 (asíntota horizontal) y crece rápidamente hacia la derecha (si a>1).
• Transformaciones:
  • Vertical: f(x)+c (traslación).
  • Horizontal: f (x+c) (desplazamiento).

Función Logarítmica

• Es de la forma f(x) = logₐ x donde a ∈ R⁺, a≠1 es la base.
• Recordar la definición de logaritmo: logₐ x = y ⇔ x=aʸ, por lo cual Dom(f) = R⁺.
• Bases más usadas son la base 10 y la base e.
  • log x (logaritmo decimal)
  • ln x (logaritmo natural)
• logₐ(1) = 0
• logₐ(a) = 1
• Cambio de base: logₐ(x) = logₓ(x) / logₓ(a)
• En ambos casos, Im(f) = R
• La gráfica de la función logarítmica tiene asíntota vertical en el eje y.

Funciones Trigonométricas

• Función seno: f(x)=sen(x), Dom(f) = R Img(f) = [-1;1] es una función periódica de período 2π
• Función coseno: f(x) = cos(x), Dom(f) = R Img(f) = [-1;1] es una función periódica de período 2π
• Función tangente: f(x)=tan(x)=sen(x)/cos(x), Dom (f) = R - {x = π/2 + kπ, k ∈ Z}, Im(f) = R, es una función periódica de periodo π.
• cos(x) = sen(x+π/2) ∀x∈R

Función Lineal

• Una función lineal tiene la forma: f(x)=mx+b, donde:
  • m: pendiente de la recta.
  • b: ordenada al origen (intersección con el eje y).
• Dominio: Dom(f)=R (definida para todos los números reales).
• Imagen: Im(f)=R
• Pendiente (m): Determina la inclinación de la recta.
  • Si m>0: la función es creciente.
  • Si m<0: la función es decreciente.
  • Si m=0: la función es constante, f(x)=b
• Intersecciones:
  • Con el eje y: ocurre cuando x=0, por lo que la intersección es (0,b).
  • Con el eje x: ocurre cuando f(x)=0, resolviendo mx+b=0, la intersección es: x = -b/m
• Gráfica: Es una recta.
• Puntos clave para graficar:
  • La intersección con el eje y: (0,b)
  • Otro punto obtenido evaluando un valor x, como f(1)=m(1) + b

Función Cuadrática

• Una función cuadrática tiene la forma:
  • f(x) = ax² + bx + c,
  • a: coeficiente del término cuadrático, determina la apertura y la concavidad.
  • b: coeficiente del término lineal.
  • c: término independiente, es la intersección con el eje y.
• Tiene las siguientes Características Principales:
  • Dominio: Dom(f) = R (definida para todos los números reales).
  • Imagen:
    • Si a > 0: Im(f) = [f(xᵥ), ∞).
    • Si a < 0: Im(f) = (-∞, f(xᵥ)], donde f(xᵥ) es el valor del vértice.
  • Gráfica: Parábola
  • Concavidad:
    • Si a > 0: abre hacia arriba.
    • Si a < 0: abre hacia abajo.
  • Intersecciones:
    • Con el eje y: ocurre cuando x = 0, por lo que la intersección es (0, c).
    • Con el eje x: ocurre cuando f(x) = 0, resolviendo ax² + bx + c = 0 mediante la fórmula general: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
      • Si b²-4ac > 0: dos intersecciones reales.
      • Si b² - 4ac = 0: una intersección (vértice).
      • Si b² – 4ac < 0: no corta el eje x.
  • Coordenadas del vértice: V (xᵥ, f(xᵥ)), donde: xᵥ = -b / 2a , f(xᵥ) = a(b/2a)² + b(b/2a) + c.
    • El vértice es el punto más alto (si a < 0) o más bajo (si a > 0) de la parábola.
  • Eje de Simetría: La parábola es simétrica respecto a la recta vertical x = xᵥ

Operaciones con Funciones

• Cuando hay dos funciones f(x) y g(x), pueden combinarse mediante:
  • Suma y resta: (f+g)(x) = f(x) + g(x), (f-g)(x) = f(x) - g(x).
    • El dominio de (f+g)(x) o (f-g)(x) es la intersección de los dominios de f(x) y g(x): Dom(f±g) = Dom(f) ∩ Dom(g).
  • Producto: (f · g)(x) = f(x) · g(x).
    • Similar a la suma, el dominio es la intersección de los dominios de f(x) y g(x): Dom(f · g) = Dom(f) ∩ Dom(g).
  • Cociente: (f/g)(x) = f(x) / g(x)
    • El dominio es la intersección de los dominios de f(x) y g(x), excluyendo los valores donde g(x) = 0: Dom(f/g) = {x ∈ Dom(f) ∩ Dom(g): g(x) ≠ 0}.
• Composición de Funciones
  • La composición de funciones combina dos funciones f(x) y g(x) de tal forma que la salida de una función se convierte en la entrada de la otra: (f ∘ g)(x) = f(g(x)).
    • Esto significa que primero se evalúa g(x), y luego se usa ese valor como entrada para f(x).
  • El dominio de (f ∘ g)(x) está restringido a los valores x tales que:
    • x ∈ Dom(g)
    • g(x) ∈ Dom(f)
  • Propiedades Clave de la Composición
    • Asociatividad: Si f, g, h son funciones, entonces: f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h. No importa el orden en que se agrupan las funciones.
    • No conmutativa: Generalmente, f ∘ g ≠ g ∘ f.
  • Operaciones (suma, resta, producto, cociente): Las funciones se combinan de manera directa.
    • Por ejemplo, f(x) + g(x) o f(x) · g(x).
  • Composición: Una función utiliza el resultado de otra como entrada.
    • Por ejemplo, (f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Concepto General de Límite

• El límite de una función describe el comportamiento de f(x) cuando x se aproxima a un valor a.
• Formalmente, decimos que: lim x→a f(x) = L
• Siempre que f(x) se acerque arbitrariamente cerca de L cuando x se acerca a a, independientemente de si f(x) está definida o no en a.
• El límite no se centra en el valor exacto de f(x) en x = a, sino en cómo se comporta la función cerca de x = a.
• Sea f(x) una función y a un punto en el dominio. Decimos que: lim x→a f(x) = L
• si para cualquier número positivo ε > 0, existe un número δ > 0 tal que:
• 0 < |x - a| < δ → |f(x) - L| < ε.
• Esto implica que f(x) puede acercarse arbitrariamente a L siempre que x esté suficientemente cerca de a (pero diferente de a).
• Los límites laterales se utilizan cuando uno se acerca a a desde un solo lado:
  • Por la derecha (x → a⁺): lim x→a⁺ f(x).
  • Por la izquierda (x → a⁻): lim x→a⁻ f(x).
  • El límite existe si y solo si ambos límites laterales coinciden: lim x→a f(x) = lim x→a⁻ f(x) = lim x→a⁺ f(x).
• Algunas propiedades de los límites son:
  • Linealidad: Límite de una suma es la suma de los límites.
  • Producto: El límite de un producto es el producto de los límites.
  • Cociente: El límite de un cociente es el cociente de los límites (si el límite del denominador no es cero).
  • Potencias y Raíces: El límite de una potencia es la potencia del límite.
• Límites Infinitos: Cuando x → a y f(x) crece sin límite, escribimos: -∞ / ∞: lim x→a f(x) = ∞ / -∞
• Límites en el Infinito: Cuando x → ∞ o x → -∞, el límite describe el valor al que se aproxima la función: si f(x) se aproxima a L: lim x→∞ f(x) = L
• Resolución de Indeterminaciones: Los límites pueden presentar formas indeterminadas. Para resolverlas, se utilizan técnicas como:
  • Factorización
  • Racionalización
  • Dividir por la mayor potencia de x.
  • Regla de L'Hôpital (cuando sea aplicable).

Continuidad de una Función

• Una función f(x) es continua en un punto x=a
• Si cumple las siguientes tres condiciones simultáneamente:
  • f(a) está definida, es decir, a ∈ Dom(f).
  • Existe el límite de f(x) cuando x → a: lim x→a f(x) existe.
  • El valor del límite coincide con el valor de la función en a: lim x→a f(x) = f(a).
  • Defincion Formal: f(x) es continua en x=a <-> lim x→a f(x) = f(a).
• Si una función no es continua en un punto x = a, se dice que tiene una discontinuidad en a. Hay diferentes tipos de discontinuidades:
  • Discontinuidad Evitable: Existe el límite lim x→a f(x), pero f(a) no está definido o no coincide con el límite.
  • Discontinuidad de Salto: Los límites laterales lim x→a⁻ f(x) y lim x→a⁺ f(x) existen, pero no son iguales.
  • Discontinuidad Infinita: Al menos uno de los límites laterales es infinito (∞ o −∞)
  • Discontinuidad Oscilatoria: La función oscila indefinidamente cuando x se aproxima a a, por lo que el límite no existe.
• En un intervalo abierto ((a, b)): La función es continua en todos los puntos de (a, b), no es necesario verificar los extremos.
• En un intervalo cerrado ([a, b]): Además de ser continua en (a, b), se requiere:
  • Continuidad por derecha en x= a: lim x→a⁺ f(x) = f(a).
  • Continuidad por izquierda en x = b: lim x→b⁻ f(x) = f(b).
• Si f(x) y g(x) son continuas en x = a, entonces f(x) + g(x) y f(x) − g(x) también lo son.
• Composición: Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces g(f(x)) es continua en a.

Derivadas

• La derivada de una función f en un punto x₀ se define como el límite, si éste existe:
• f′(x₀) = lim h→0 [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h
• La derivada es equivalente a:
• f'(x₀) = lim x→x₀ [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀)
• Si este límite existe, decimos que la función f es derivable en x₀
• La derivada f′(x₀) mide la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto x₀.
• Notaciones comunes son:
  • f'(x)
  • dy/dx, donde y = f(x)
  • df/dx
  • Df(x)
• La derivada de f(x) en x₀ se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en x₀.
• La pendiente de la recta tangente: m = f′(x₀).
• La ecuación de la recta tangente en (x₀, f(x₀)) es:
  • y - f(x₀) = f′(x₀)(x - x₀), o equivalentemente: y = f′(x₀)(x - x₀) + f(x₀).
• Si aplicamos la definición de derivada para un x general, obtenemos una nueva función f′(x), llamada función derivada, que representa la pendiente de la recta tangente en cualquier punto del dominio de f.
• Reglas de derivación
  • Si f(x) y g(x) son funciones derivables, entonces:
    • (f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x)
    • (f(x) − g(x))′ = f′(x) − g′(x)
  • Si f(x) y g(x) son derivables y g(x) ≠ 0, entonces: (f(x) / g(x) )' = [f′(x)g(x) − f(x)g′(x)] / [g(x)]²
• Regla de la Cadena: Si h(x) = g(f(x)), donde g es derivable en f(x) y f(x) es derivable en x, entonces: h′(x) = g′(f(x)) · f′(x).
• Reglas particulares:
  • Derivada de una constante: d/dx [c] = 0.
  • Derivada de xⁿ (potencia): d/dx [xⁿ] = nxⁿ⁻¹, n ∈ R.
  • Derivada de una raíz: d/dx [x¹/ⁿ] = (1/n) x^(1/n)−1.
  • Derivada de una función exponencial: d/dx [eˣ] = eˣ, d/dx [aˣ]= aˣ ln a.
  • Derivada de una función logarítmica: d/dx [ln x]= 1/x , d/dx [logₐ x] = 1 / x ln a.
  • Derivada de una función trigonométrica: d/dx [sin x] = cos x, d/dx [cos x] = − sin x, d/dx [tan x] = sec²⁡x.
  • Derivada de funciones trigonométricas inversas: d/dx [arcsin x] = 1 / √(1 − x²), d/dx [arctan x] = 1 / (1 + x²).

Estudio Completo de una Función

• El estudio completo de una función incluye analizar sus principales características matemáticas y gráficas:
  • Dominio: El dominio de una función f(x) es el conjunto de valores x para los cuales f(x) está definida.
    • Funciones Polinómicas: Tienen dominio R.
    • Funciones Racionales: f(x) = P(x) / Q(x): el dominio excluye los valores donde Q(x) = 0.
    • Funciones Radicales: f(x) = ⁿ√g(x): si n es par, g(x) ≥ 0.
    • Funciones Logarítmicas: f(x) = ln(g(x)): requiere g(x) > 0.
  • Continuidad y Derivabilidad
    • Una función es continua si no presenta "saltos" ni discontinuidades en su dominio.
      • Tipos de Discontinuidad:
        • Evitable: se puede redefinir f(a) para hacerla continua.
        • De salto: los límites laterales no coinciden.
        • Infinita: el valor tiende a ±∞ en un punto.
    • Ejemplo de Derivabilidad: Sea f(x) = |x|: f′(x) = -1 si x < 0, y f′(x) = 1 si x > 0. No es derivable en x = 0 debido a un cambio abrupto en la pendiente.
  • Intersecciones con los Ejes
    • Eje y: Se determina evaluando f(0) (si 0 ∈ Dom(f)).
    • Eje x: Se resuelve f(x) = 0.
  • Asíntotas
    • Asíntotas Verticales: Ocurren donde f(x) tiende a ±∞.
      • Se calcula evaluando límites laterales: lim x→a⁻ f(x), lim x→a⁺ f(x).
    • Asíntotas Horizontales: Ocurren cuando lim x→∞ f(x) = L.
    • Asíntotas Oblícuas: Si lim x→∞ f(x)/x = m, con m≠ 0, la recta y = mx + b es una asíntota oblicua
  • Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento: Se determinan mediante la primera derivada:
    • Hallar f′(x).
    • Resolver f′(x) = 0 (puntos críticos).
    • Analizar el signo de f′(x) en cada intervalo definido por los puntos críticos:
      • f′(x) > 0: f(x) crece.
      • f′(x) < 0: f(x) decrece.
  • Extremos Relativos: Se determinan analizando el cambio de signo de f′(x) en los puntos críticos:
    • Si f′(x) cambia de + a -: máximo relativo.
    • Si f′(x) cambia de - a +: mínimo relativo.
  • Concavidad y Puntos de Inflexión: Se analiza con la segunda derivada f′′(x):
    • f′′(x) > 0: cóncava hacia arriba.
    • f′′(x) < 0: cóncava hacia abajo.
    • Puntos de inflexión: donde f′′(x) = 0 y cambia el signo de f′′(x).
  • Representación Gráfica:
    • Con los datos obtenidos:
      • Trazar intersecciones con los ejes.
      • Marcar asíntotas y comportamientos al infinito.
      • Dibujar extremos relativos y cambios de concavidad.
      • Verificar continuidad y puntos críticos.

Integrales Indefinidas

• La integral indefinida se utiliza para encontrar primitivas de una función:
• La integral indefinida de una función f(x), definida en un intervalo abierto I, es el conjunto de todas las primitivas de f(x) en I, se denota ∫f(x)dx = F(x) + C, donde F(x) es una primitiva de f(x) tal que F′(x) = f(x) y C es la constante de integración.
• Dos primitivas de una misma función f(x) difieren por una constante C.
• Propiedades Fundamentales
  • Linealidad: ∫[k₁f(x) + k₂g(x)] dx = k₁∫f(x) dx + k₂∫g(x) dx, donde k₁, k₂ ∈ R.
  • Constante multiplicativa: ∫kf(x) dx = k∫f(x) dx.
• Tabla de Integrales Inmediatas
  • Potencia de x: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C, n ≠ -1.
  • Función exponencial: ∫eˣ dx = eˣ + C.
  • Logaritmo: ∫1/x dx = ln |x| + C, x ≠ 0.
  • Funciones trigonométricas: ∫sin(x) dx = - cos(x) + C, ∫cos(x) dx = sin(x) + C.
• Métodos de Integración
  • Método de Sustitución:
    • Se basa en un cambio de variable para simplificar la integral.
    • Teorema: Sea u = g(x) una función derivable en un intervalo I, entonces: ∫f(g(x))g′(x) dx = ∫f(u) du.
      • Pasos:
        • Identificar una parte de la integral como u = g(x).
        • Calcular du = g′(x) dx.
        • Sustituir en la integral original y resolver en términos de u.
        • Volver a la variable original.
  • Método de Integración por Partes:
    • Basado en la regla del producto para la derivada: ∫u dv = uv − ∫v du.
      • Pasos:
        • Identificar u y dv en el integrando.
        • Calcular du y v.
        • Sustituir en la fórmula y resolver.
• Aplicaciones de la Integral Indefinida
  • Cálculo de Funciones a Partir de Derivadas
    • Si se conoce f′(x), se puede determinar f(x) integrando: f(x) = ∫f′(x) dx + C.
  • Costo Total o Ingreso Total
    • Dado un costo marginal C′(x) o un ingreso marginal R′(x), se obtiene el costo total C(x) o ingreso total R(x) integrando la función marginal y sumando los costos fijos o ingresos iniciales.
• En resumen, la integral es una herramienta matemática que se utiliza para generalizar el proceso de sumar infinitos elementos pequeños y representa el área bajo una curva o el proceso inverso de la derivación.
• La integral definida se utiliza para calcular el área bajo una curva en un intervalo determinado [a, b]. A diferencia de la integral indefinida, no incluye una constante de integración.
  • Interpretaciones de la Integral
    • Geométrica: Calcula áreas bajo curvas o áreas entre funciones.
    • Física: Puede representar acumulaciones como el desplazamiento total de un objeto dado su velocidad.
    • Estadística: En teoría de probabilidades, las integrales se usan para calcular probabilidades acumuladas y distribuciones.

Integrales Definidas

• Se denota como ∫ₐᵇ f(x) dx, donde,
  • a es el límite inferior de integración.
  • b es el límite superior de integración.
  • Significado Geométrico: Representa el área neta entre la curva f(x) y el eje x desde x = a hasta x = b. Si f(x) es negativa en alguna parte del intervalo, esa área se resta.
• Las propiedades de la integral definida son directas de su definición:
  • Linealidad: ∫ₐᵇ [k₁f(x) + k₂g(x)] dx = k₁∫ₐᵇ f(x) dx + k₂∫ₐᵇ g(x) dx, donde k₁, k₂ ∈ R.
  • Cambio de Límites: ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵇₐ f(x) dx.
  • Integral en un Punto: ∫ₐₐ f(x) dx = 0.
  • Descomposición del Intervalo: Si c ∈ [a, b], entonces: ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫cᵇ f(x) dx.
  • Comparación: Si f(x) ≤ g(x) en [a, b], entonces: ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx.
• Aplicaciones de la Integral Definida
  • Cálculo de Áreas
    • Área entre una curva y el eje x: Si f(x) ≥ 0 en [a, b], el área de la región limitada por y = f(x), x = a, x = b, y el eje x es: Área = ∫ₐᵇ f(x) dx.
    • Área por debajo del eje x: Si f(x) ≤ 0 en [a, b], el área se calcula como: Área = −∫ₐᵇ f(x) dx.
    • Área entre dos curvas: Si f(x) ≥ g(x) en [a, b], el área entre las curvas y = f(x) y y = g(x) es: Área = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx.
• Excedente del Consumidor y Productor: En economía, la integral definida se utiliza para calcular los excedentes en un mercado.
  • Excedente del Consumidor: Si p = f(q) es la función de demanda y p₀ el precio de equilibrio, el excedente del consumidor es: EC = ∫₀^(q₀) [f(q) − p₀] dq
  • Excedente del Productor: Si p = g(q) es la función de oferta y p₀ el precio de equilibrio, el excedente del productor es: EP = ∫₀^(q₀) [p₀ − g(q)] dq

Integrales Improprias

• Se utilizan cuando:
  • Los límites de integración son infinitos.
  • La función tiene una discontinuidad infinita en el intervalo.