Funciones Lineales y Cuadráticas

Definición De Funciones Lineales

• Una función lineal es una relación matemática entre dos variables que se representa con una ecuación de la forma:
  • ( y = mx + b )
  • Donde ( m ) es la pendiente y ( b ) es la intersección con el eje y.
• Las gráficas de funciones lineales son líneas rectas.
• La pendiente (( m )) indica la inclinación de la línea:
  • ( m > 0 ): Creciente
  • ( m < 0 ): Decreciente
  • ( m = 0 ): Horizontal

Propiedades De Funciones Cuadráticas

• Una función cuadrática se representa como:
  • ( y = ax^2 + bx + c )
  • Donde ( a ), ( b ), y ( c ) son constantes y ( a ≠ 0 ).
• La forma canónica de una función cuadrática se puede expresar como:
  • ( y = a(x - h)^2 + k )
  • Con ( (h, k) ) siendo el vértice de la parábola.
• Las propiedades más importantes son:
  • Vértice: Punto máximo o mínimo de la parábola.
  • Eje de simetría: Línea vertical que pasa por el vértice.
  • Intersecciones: Puntos donde la curva cruza el eje x (raíces o soluciones).

Gráficos De Funciones

• La gráfica de una función lineal es siempre una línea recta.
• La gráfica de una función cuadrática es una parábola que puede abrirse hacia arriba (si ( a > 0 )) o hacia abajo (si ( a < 0 )).
• Las funciones lineales y cuadráticas pueden ser intersectadas para encontrar soluciones comunes, representadas gráficamente como puntos de intersección.

Aplicaciones En La Vida Real

• Funciones Lineales:
  • Cálculo de costos en negocios (costos fijos y variables).
  • Predicciones lineales en análisis de datos.
• Funciones Cuadráticas:
  • Modelos de movimiento en física, como proyectiles.
  • Optimización de áreas y volúmenes en ingeniería.

Resolución De Ecuaciones

• Ecuaciones Lineales:
  • Resolver implica aislar la variable:
    • Ejemplo: ( 2x + 3 = 7 ) se resuelve como ( x = 2 ).
• Ecuaciones Cuadráticas:
  • Pueden ser resueltas mediante:
    • Factorización.
    • Fórmula cuadrática:
      • ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ).
    • Completando el cuadrado para encontrar las raíces.

Funciones Lineales

• Una función lineal es una relación entre dos variables que se representa con la ecuación ( y = mx + b ), donde ( m ) es la pendiente y ( b ) es la intersección con el eje y.
• La gráfica de una función lineal es una línea recta.
• La pendiente ( m ) determina la inclinación de la línea:
  • ( m > 0 ): La línea es creciente.
  • ( m < 0 ): La línea es decreciente.
  • ( m = 0 ): La línea es horizontal.

Funciones Cuadráticas

• Una función cuadrática se escribe como ( y = ax^2 + bx + c ), donde ( a ), ( b ) y ( c ) son constantes y ( a ≠ 0 ).
• La forma canónica de una función cuadrática es ( y = a(x - h)^2 + k ), donde ( (h, k) ) es el vértice de la parábola.
• Propiedades de las funciones cuadráticas:
  • Vértice: Punto máximo o mínimo de la parábola.
  • Eje de simetría: Línea vertical que pasa por el vértice.
  • Intersecciones: Puntos donde la curva cruza el eje x (raíces o soluciones).

Gráficas De Funciones

• La gráfica de una función lineal es siempre una línea recta.
• La gráfica de una función cuadrática es una parábola que se abre hacia arriba (si ( a > 0 )) o hacia abajo (si ( a < 0 )).
• Las funciones lineales y cuadráticas pueden intersectarse, lo que se representa gráficamente como puntos de intersección.

Aplicaciones En La Vida Real

• Funciones Lineales:
  • Cálculo de costos en negocios (costos fijos y variables).
  • Predicciones lineales en análisis de datos.
• Funciones Cuadráticas:
  • Modelos de movimiento en física, como proyectiles.
  • Optimización de áreas y volúmenes en ingeniería.

Resolución De Ecuaciones

• Ecuaciones Lineales:
  • Resolver implica aislar la variable. Por ejemplo, la ecuación ( 2x + 3 = 7 ) se resuelve como ( x = 2 ).
• Ecuaciones Cuadráticas:
  • Se pueden resolver mediante:
    • Factorización.
    • Fórmula cuadrática: ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ).
    • Completando el cuadrado para encontrar las raíces.

Este cuestionario explora la definición y propiedades de funciones lineales y cuadráticas. Las funciones lineales son relaciones matemáticas representadas por líneas rectas, mientras que las funciones cuadráticas se grafican como parábolas. Aprende sobre la pendiente, el vértice y otros conceptos clave en este tema de álgebra.