Funciones Cuadráticas

Función Cuadrática

• Una función cuadrática es una función polinómica que tiene la forma general: y = ax² + bx + c
• El término "a" es el coeficiente principal y siempre es diferente de cero.
• Los términos "b" y "c" pueden ser cero.
• El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales a menos que se especifique lo contrario. Se escribe: Df = R
• El gráfico de una función cuadrática se llama parábola.
• La parábola es simétrica con respecto a una recta paralela al eje y, llamada eje de simetría.
• Las partes del gráfico a ambos lados del eje de simetría se llaman ramas.

Gráfico de la Función

• El gráfico se compone de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación cuadrática.
• Para graficar la función, es importante determinar:
  • El vértice
  • El eje de simetría
  • Los puntos de corte con el eje x (raíces)
  • El punto de corte con el eje y (ordenada al origen)
• Los coeficientes numéricos "a", "b" y "c" determinan estas características.

Concavidad

• La concavidad se refiere a la dirección de la abertura de la parábola.
• Si "a" es mayor que cero (positivo), las ramas de la parábola se abren hacia arriba.
• Si "a" es menor que cero (negativo), las ramas de la parábola se abren hacia abajo.
• El valor absoluto de "a" afecta la abertura de la parábola: cuanto mayor es el valor absoluto de "a", más cerrada es la parábola.

Punto de Corte con el Eje Y

• El punto de corte con el eje y se encuentra cuando x = 0.
• El valor de "y" en este punto es igual a "c".
• Por lo tanto, las coordenadas del punto de corte con el eje y son (0, c).

Raíces de la Función

• Las raíces son los puntos donde el gráfico corta el eje x.
• Las raíces se encuentran cuando y = 0.
• La ecuación se iguala a cero (ax² + bx + c = 0) para encontrar las raíces.
• Se puede usar la fórmula cuadrática (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a para resolver esta ecuación.
• La expresión dentro de la raíz cuadrada se llama discriminante (∆ = b² - 4ac).
  • Si ∆ < 0, la función no tiene raíces reales.
  • Si ∆ = 0, la función tiene una raíz real.
  • Si ∆ > 0, la función tiene dos raíces reales.

Vértice

• El vértice es el punto donde la parábola cambia de dirección.

• Las coordenadas del vértice son (h, k).

• Las coordenadas h y k se pueden calcular con las siguientes formulas:

  • h = -b/2a
  • k = -∆/4a

Forma Factorizada

• Esta forma de representar la función cuadrática usa las raíces (r₁ y r₂).
• La forma factorizada de una función cuadrática es f(x) = a(x − r₁)(x − r₂).

Forma Canónica

• La forma canónica representa la función cuadrática usando el vértice.
• La forma canónica es y = a(x − h)² + k

Caso Especial

• Si b = 0 y c = 0, la función se simplifica a y = ax². En este caso, el vértice está en (0, 0) y el eje de simetría es el eje y (x = 0).
• Si b = 0, la función se simplifica a y = ax² + c. El vértice está en el eje y (x = 0) y la distancia desde el eje x hasta el vértice es c.