Funciones Cuadráticas

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Questions and Answers

¿Cuál es la forma general de una función cuadrática?

y = ax^3 + bx^2 + c

y = a + bx + cx^2

y = ax^2 + bx + c (correct)

y = ax + b + c

¿Qué determina la concavidad de la parábola en una función cuadrática?

El coeficiente lineal b

El término independiente c

El grado del polinomio

El coeficiente principal a (correct)

¿Qué sucede con las ramas de la parábola si a es un número negativo?

Son paralelas al eje y

No se pueden determinar

Se abren hacia abajo (correct)

Se abren hacia arriba

¿Cómo se llama el punto donde las ramas de la parábola se unen y se encuentra el eje de simetría?

Vértice Signup and view all the answers

¿Qué representa el coeficiente principal 'a' en términos de la abertura de la parábola?

Cuanto menor es su valor, más abiertas están las ramas Signup and view all the answers

¿Qué indica el dominio de la función cuadrática?

Puede ser cualquier número real a menos que se especifique lo contrario. Signup and view all the answers

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el gráfico de una función cuadrática?

Es una parábola que puede abrirse hacia arriba o hacia abajo. Signup and view all the answers

¿Qué se necesita determinar para graficar una función cuadrática correctamente?

El vértice, el eje de simetría y los puntos de corte con los ejes. Signup and view all the answers

¿Cómo se puede representar una función cuadrática con una raíz real doble?

$f(x) = a(x - r)^2$ Signup and view all the answers

¿Qué indica la concavidad de la parábola cuando el coeficiente $a$ es positivo?

La parábola tiene un punto mínimo Signup and view all the answers

Si una función cuadrática tiene un vértice en $y_v$ y $a < 0$, ¿cuál es su intervalo de imagen?

(-∞, $y_v$] Signup and view all the answers

¿Qué sucede con la función si el coeficiente b es positivo?

La función corta al eje y con la rama creciente Signup and view all the answers

¿Cuál es un paso necesario para analizar completamente una función cuadrática?

Encontrar las raíces de la función Signup and view all the answers

Cuando el coeficiente principal a es negativo, ¿qué se puede afirmar sobre los intervalos de crecimiento y decrecimiento?

Decrece en (𝑥_v , +∞) y crece en (−∞, 𝑥_v) Signup and view all the answers

¿Qué relación existe entre el vértice y el eje de simetría en una parábola?

El vértice se encuentra sobre el eje de simetría Signup and view all the answers

¿Qué punto tiene la forma P = (0, y)?

Un punto en el eje y Signup and view all the answers

¿Cuál es el punto de corte con el eje y de una función cuadrática?

El valor de $y$ cuando $x = 0$ Signup and view all the answers

Si el discriminante Δ es menor que 0, ¿qué se puede afirmar sobre las raíces de la función cuadrática?

La función no tiene raíces reales Signup and view all the answers

¿Qué representa el discriminante en la ecuación cuadrática?

La cantidad de raíces de la función Signup and view all the answers

Cuando Δ = 0, ¿qué se puede decir sobre la gráfica de la función cuadrática?

Corta el eje x en un solo punto que coincide con su vértice Signup and view all the answers

En la forma factorizada de una función cuadrática, ¿cómo se representa?

$f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$ Signup and view all the answers

Para determinar las raíces de la función cuadrática, ¿qué operación se realiza?

Igualar la función a 0 Signup and view all the answers

¿Cuál es la expresión general de la ecuación cuadrática en función de sus raíces?

$f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$ Signup and view all the answers

Si la función cuadrática tiene dos raíces reales, ¿qué se puede deducir sobre su discriminante?

Δ > 0 Signup and view all the answers

Study Notes

Función Cuadrática

Una función cuadrática es una función polinómica que tiene la forma general: y = ax² + bx + c
El término "a" es el coeficiente principal y siempre es diferente de cero.
Los términos "b" y "c" pueden ser cero.
El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales a menos que se especifique lo contrario. Se escribe: Df = R
El gráfico de una función cuadrática se llama parábola.
La parábola es simétrica con respecto a una recta paralela al eje y, llamada eje de simetría.
Las partes del gráfico a ambos lados del eje de simetría se llaman ramas.

Gráfico de la Función

El gráfico se compone de todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación cuadrática.
Para graficar la función, es importante determinar:
- El vértice
- El eje de simetría
- Los puntos de corte con el eje x (raíces)
- El punto de corte con el eje y (ordenada al origen)
Los coeficientes numéricos "a", "b" y "c" determinan estas características.

Concavidad

La concavidad se refiere a la dirección de la abertura de la parábola.
Si "a" es mayor que cero (positivo), las ramas de la parábola se abren hacia arriba.
Si "a" es menor que cero (negativo), las ramas de la parábola se abren hacia abajo.
El valor absoluto de "a" afecta la abertura de la parábola: cuanto mayor es el valor absoluto de "a", más cerrada es la parábola.

Punto de Corte con el Eje Y

El punto de corte con el eje y se encuentra cuando x = 0.
El valor de "y" en este punto es igual a "c".
Por lo tanto, las coordenadas del punto de corte con el eje y son (0, c).

Raíces de la Función

Las raíces son los puntos donde el gráfico corta el eje x.
Las raíces se encuentran cuando y = 0.
La ecuación se iguala a cero (ax² + bx + c = 0) para encontrar las raíces.
Se puede usar la fórmula cuadrática (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a para resolver esta ecuación.
La expresión dentro de la raíz cuadrada se llama discriminante (∆ = b² - 4ac).
- Si ∆ < 0, la función no tiene raíces reales.
- Si ∆ = 0, la función tiene una raíz real.
- Si ∆ > 0, la función tiene dos raíces reales.

Vértice

El vértice es el punto donde la parábola cambia de dirección.
Las coordenadas del vértice son (h, k).
Las coordenadas h y k se pueden calcular con las siguientes formulas:
- h = -b/2a
- k = -∆/4a

Forma Factorizada

Esta forma de representar la función cuadrática usa las raíces (r₁ y r₂).
La forma factorizada de una función cuadrática es f(x) = a(x − r₁)(x − r₂).

Forma Canónica

La forma canónica representa la función cuadrática usando el vértice.
La forma canónica es y = a(x − h)² + k

Caso Especial

Si b = 0 y c = 0, la función se simplifica a y = ax². En este caso, el vértice está en (0, 0) y el eje de simetría es el eje y (x = 0).
Si b = 0, la función se simplifica a y = ax² + c. El vértice está en el eje y (x = 0) y la distancia desde el eje x hasta el vértice es c.

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Description

Este cuestionario explora las funciones cuadráticas, su forma general y sus características clave. Aprenderás sobre el gráfico de la función, conocido como parábola, y cómo determinar el vértice, el eje de simetría y los puntos de corte. Este tema es esencial para comprender mejor las propiedades de las funciones polinómicas.