2次関数と放物線のグラフ

Quadratic Functions

• Definition: A quadratic function is a polynomial function of degree 2, generally expressed as (y = ax^2 + bx + c).
• Key Characteristics:
  • Parabola shape opening upwards (if (a > 0)) or downwards (if (a < 0)).
  • Vertex: The highest or lowest point of the parabola, located at (x = -\frac{b}{2a}).
  • Axis of symmetry: Vertical line (x = -\frac{b}{2a}).
  • Roots or zeros: Points where the graph intersects the x-axis, found using the quadratic formula (x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}).

Graphing Parabolas

• Steps for Graphing:
  1. Identify the coefficients (a), (b), and (c).
  2. Calculate the vertex using (x = -\frac{b}{2a}) and substitute back to find (y).
  3. Determine the y-intercept where (x = 0), giving (y = c).
  4. Find x-intercepts (if any) using the quadratic formula.
  5. Plot the vertex, y-intercept, and x-intercepts on the graph.
  6. Draw the parabola, ensuring it opens in the correct direction based on the sign of (a).

変域 (Domain and Range)

• Domain: The set of all possible x-values for the function, usually all real numbers ((-\infty, \infty)).
• Range:
  • If (a > 0): Range is ([k, \infty)) where (k) is the y-coordinate of the vertex.
  • If (a < 0): Range is ((-\infty, k]).

比例定数 (Proportional Constant)

• The coefficient (a) determines the width and direction of the parabola:
  • Larger (|a|) values (e.g., (a = 2)) make the parabola narrower.
  • Smaller (|a|) values (e.g., (a = 0.5)) make it wider.
  • If (a = 1), the standard parabola (y = x^2) serves as a reference.

座標 (Coordinates)

• Important Points:
  • Vertex: ((-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a})))
  • Y-intercept: ((0, c))
  • X-intercepts: Found using the quadratic formula, resulting in coordinates of the form ((x_1, 0)) and ((x_2, 0)) when real solutions exist.
• Symmetry: The parabola is symmetric about the axis of symmetry, meaning points on either side of the vertex are equidistant from the axis.

二次関数

• 定義: 二次関数は次数2の多項式関数で、一般的には (y = ax^2 + bx + c) と表現される。
• 主要な特性:
  • 放物線の形状は、(a > 0) の場合は上方に開き、(a < 0) の場合は下方に開く。
• 頂点: 放物線の最高点または最低点で、位置は (x = -\frac{b}{2a}) にある。
• 対称軸: 垂直な線 (x = -\frac{b}{2a})。
• 根またはゼロ点: グラフがx軸と交わる点で、二次方程式の解の公式 (x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}) を用いて求めることができる。

放物線のグラフ

• グラフを描く手順:
  • (a)、(b)、(c) の係数を特定する。
  • 頂点を計算するために (x = -\frac{b}{2a}) を利用し、(y) を求める。
  • (x = 0) のときのy切片を特定し、(y = c) を得る。
  • x切片を二次方程式の解の公式を使用して求める。
  • 頂点、y切片、x切片をグラフにプロットする。
  • 放物線を描画し、係数 (a) の符号に基づいて適切に開く方向を確認する。

変域

• 定義: 関数のすべての可能なx値の集合で、通常は全ての実数 ((-\infty, \infty))。
• 範囲:
  • (a > 0) の場合: 範囲は ([k, \infty)) で、ここで (k) は頂点のy座標。
  • (a < 0) の場合: 範囲は ((-\infty, k])。

比例定数

• 係数 (a) は放物線の幅と方向を決定する:
  • 大きな (|a|) 値（例: (a = 2)）では、放物線は狭くなる。
  • 小さな (|a|) 値（例: (a = 0.5)）では、放物線は広くなる。
  • (a = 1) の場合は、標準的な放物線 (y = x^2) が基準となる。

座標

• 重要なポイント:
  • 頂点: ((-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a})))
  • y切片: ((0, c))
  • x切片: 二次方程式の解の公式を使用して求め、実数解がある場合は ((x_1, 0)) と ((x_2, 0)) の形になる。
• 対称性: 放物線は対称軸について対称であり、頂点の両側にある点は対称軸から等距離に位置する。

このクイズでは、2次関数の定義や特徴について学びます。また、放物線をグラフに描く方法も紹介します。頂点や対称軸、根の求め方を理解し、正しいグラフを描けるようになりましょう。