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Questions and Answers
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor una función cuadrática?
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor una función cuadrática?
- Una función polinómica de grado dos. (correct)
- Una función que, cuando se grafica, produce una línea recta.
- Una función que solo puede tener valores positivos.
- Una función que siempre tiene una pendiente constante.
El eje de simetría de una parábola siempre pasa por el origen (0,0).
El eje de simetría de una parábola siempre pasa por el origen (0,0).
False (B)
Si una función cuadrática tiene un coeficiente principal negativo, ¿cómo se orienta la parábola?
Si una función cuadrática tiene un coeficiente principal negativo, ¿cómo se orienta la parábola?
hacia abajo.
El punto donde una parábola cambia de dirección se conoce como su _______.
El punto donde una parábola cambia de dirección se conoce como su _______.
¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una función cuadrática en su forma general?
¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una función cuadrática en su forma general?
El dominio de todas las funciones cuadráticas es el conjunto de todos los números reales.
El dominio de todas las funciones cuadráticas es el conjunto de todos los números reales.
¿Cómo influye el signo del coeficiente 'a' en la forma general de una función cuadrática en la concavidad de la parábola?
¿Cómo influye el signo del coeficiente 'a' en la forma general de una función cuadrática en la concavidad de la parábola?
El _______ de una función cuadrática es el rango de valores 'y' que la función puede tomar.
El _______ de una función cuadrática es el rango de valores 'y' que la función puede tomar.
¿Qué representa el vértice de una función cuadrática?
¿Qué representa el vértice de una función cuadrática?
Una función cuadrática siempre cruza el eje x en dos puntos distintos.
Una función cuadrática siempre cruza el eje x en dos puntos distintos.
Para una parábola dada por $f(x) = ax^2 + bx + c$, ¿cómo se determina la ecuación del eje de simetría?
Para una parábola dada por $f(x) = ax^2 + bx + c$, ¿cómo se determina la ecuación del eje de simetría?
En una función cuadrática modelando la trayectoria de un proyectil, el vértice representa la _______ altura alcanzada por el proyectil.
En una función cuadrática modelando la trayectoria de un proyectil, el vértice representa la _______ altura alcanzada por el proyectil.
¿Cuál es la característica principal de una parábola que la distingue de otras curvas?
¿Cuál es la característica principal de una parábola que la distingue de otras curvas?
Si el discriminante de una función cuadrática es negativo, entonces la función tiene dos raíces reales distintas.
Si el discriminante de una función cuadrática es negativo, entonces la función tiene dos raíces reales distintas.
Si conoces las intersecciones con el eje x de una parábola, ¿cómo puedes determinar la coordenada x del vértice?
Si conoces las intersecciones con el eje x de una parábola, ¿cómo puedes determinar la coordenada x del vértice?
La forma _______ de una función cuadrática es útil para identificar fácilmente el vértice de la parábola.
La forma _______ de una función cuadrática es útil para identificar fácilmente el vértice de la parábola.
¿Cuál de las siguientes opciones describe mejor el rango de la función $f(x) = x^2$?
¿Cuál de las siguientes opciones describe mejor el rango de la función $f(x) = x^2$?
La transformación de $f(x) = x^2$ a $f(x) = (x + a)^2$ desplaza la parábola a unidades hacia la derecha.
La transformación de $f(x) = x^2$ a $f(x) = (x + a)^2$ desplaza la parábola a unidades hacia la derecha.
¿Qué se puede concluir sobre la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática si su discriminante es igual a cero?
¿Qué se puede concluir sobre la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática si su discriminante es igual a cero?
Si una función cuadrática tiene un _______ positivo, entonces la parábola se abre hacia arriba.
Si una función cuadrática tiene un _______ positivo, entonces la parábola se abre hacia arriba.
Relacione los siguientes términos con sus definiciones correspondientes:
Relacione los siguientes términos con sus definiciones correspondientes:
¿Cuál de las siguientes funciones describe la forma vértice de una función cuadrática?
¿Cuál de las siguientes funciones describe la forma vértice de una función cuadrática?
¿Cómo afecta el valor absoluto del coeficiente principal en una función cuadrática a la apertura de la parábola?
¿Cómo afecta el valor absoluto del coeficiente principal en una función cuadrática a la apertura de la parábola?
Si una parábola tiene un vértice en (2, 3) y se abre hacia abajo, entonces su rango es $(−∞, 3]$.
Si una parábola tiene un vértice en (2, 3) y se abre hacia abajo, entonces su rango es $(−∞, 3]$.
Al resolver una ecuación cuadrática, el _______ indica si las soluciones son reales o complejas.
Al resolver una ecuación cuadrática, el _______ indica si las soluciones son reales o complejas.
Flashcards
¿Qué es una función cuadrática?
¿Qué es una función cuadrática?
Una función de la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0.
¿Qué es una parábola?
¿Qué es una parábola?
La representación visual de una función cuadrática.
¿Qué es el eje de simetría?
¿Qué es el eje de simetría?
Línea que divide la parábola en dos partes iguales, reflejando una sobre la otra.
¿Qué es el vértice de una parábola?
¿Qué es el vértice de una parábola?
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¿Qué es el valor mínimo de una función cuadrática?
¿Qué es el valor mínimo de una función cuadrática?
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¿Cuál es el dominio de la función cuadrática básica?
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¿Cuál es el rango de la función cuadrática básica?
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Study Notes
- El tema es Funciones Cuadráticas – Generalidades, parte del precálculo en 2025.
Situación Inicial
- Se plantea la construcción de una canal con paredes verticales de igual altura, a partir de una hoja de 21 cm de ancho y 30 cm de largo.
- El problema es determinar las dimensiones de la canal para que conduzca la mayor cantidad de agua.
- El alto de la canal se define como 'x', el ancho como '21 – 2x' y el largo como 30 cm.
- El volumen de una caja se calcula como largo * ancho * alto, y el área de un rectángulo como largo * ancho.
- El volumen de la canal se puede expresar como V = 30x(21 – 2x).
- Para el caso de una canal A de dimensiones 3 * 15 * 30, el volumen es de 1350 cm³.
- En una canal B de dimensiones 6 * 9 * 30, el volumen es de 1620 cm³.
- Se indica que como 30 es constante, se puede prescindir del largo para simplificar el análisis, utilizando el área de la sección transversal.
- En ese caso, el área de la canal A sería 3 * 15 = 45 cm², mientras que el área de la canal B sería 6 * 9 = 54 cm².
- La canal B tiene el mayor volumen y también el área mayor.
- Para obtener el área de la sección transversal, las dimensiones son: alto = x, ancho = y = 21 – 2x, y el área A = x(21 - 2x).
- La función A(x) = x(21 – 2x) = 21x - 2x² solo tiene sentido para valores de x entre 0 y 10.5; el dominio de A = (0, 10.5).
- A(x) = x(21 – 2x) = 21x - 2x² es el modelo matemático, no lineal, es una función cuadrática.
Funciones Cuadráticas
- Una función cuadrática tiene la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0.
- Su representación gráfica es una parábola.
- La función cuadrática básica f(x) = x² tiene una gráfica con forma de U, simétrica respecto al eje de simetría (x = 0).
- La intersección de la parábola y el eje de simetría define el vértice, que en este caso es V = (0,0).
- La función decrece en el intervalo (-∞, 0) y crece en el intervalo (0, ∞).
- El valor mínimo de la función es 0, y no tiene un valor máximo.
- El dominio es el conjunto de todos los números reales, mientras que el rango es el intervalo [0, ∞).
Ejercicios
- Dadas varias gráficas de funciones cuadráticas, se pide determinar: dominio, rango, interceptos con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos donde la función es positiva o negativa, vértice, eje de simetría, valor máximo y valor mínimo.
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