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Questions and Answers
Relacione cada concepto con su correspondiente definición en el contexto de funciones armónicas:
Función armónica = Funciones que satisfacen la ecuación de Laplace Armónica conjugada = Función cuya derivada compleja produce la función armónica Dominio apropiado = Conjunto donde la función cumple con ciertas condiciones de diferenciabilidad Función analítica = Función que es derivable en un vecindario de cada punto de su dominio
Asocie cada tipo de contorno con su respectiva descripción:
Contorno rectángulo = Definido por límites en las coordenadas x e y como 0, 4, -1, 1 Contorno circunferencia = Definido por un radio constante alrededor de un punto central Contorno simple = Contorno que no se cruza a sí mismo Contorno cerrado = Contorno que no permite salidas hacia el exterior
Empareje cada resultado posible con la técnica matemática que se debe utilizar para calcularlo:
Residuo = Técnica del Teorema del Residuo Integral de Cauchy = Fórmula para integrar funciones analíticas en contornos cerrados Serie de Laurent = Descomposición de funciones en sus partes analíticas y principales Partes argumentales = Clasificación de puntos singulares en la función
Empareje cada excresión matemática con su correspondiente resultado o interpretación:
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Relacione cada expresión con su descripción relevante en la teoría de funciones complejas:
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Study Notes
Funciones Armónicas
- Definición: Una función 𝑢(𝑥, 𝑦) es armónica si satisface la ecuación de Laplace: ∇²𝑢 = ∂²𝑢/∂𝑥² + ∂²𝑢/∂𝑦² = 0
- Comprobación: Para verificar si 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 (𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑦) es armónica, calcula las segundas derivadas parciales y verifica que suman cero.
- Armónica Conjugada: La armónica conjugada 𝑣(𝑥, 𝑦) se encuentra resolviendo las ecuaciones de Cauchy-Riemann: ∂𝑢/∂𝑥 = ∂𝑣/∂𝑦 y ∂𝑢/∂𝑦 = −∂𝑣/∂𝑥.
- Función Analítica: 𝑓(𝑧) = 𝑢 + 𝑖𝑣, donde 𝑢 y 𝑣 son armónicas conjugadas.
- Evaluación: Encuentra 𝑓(𝑖𝜋/2) sustituyendo 𝑧 = 𝑖𝜋/2 en 𝑓(𝑧).
Fórmula de Cauchy
- Teorema Integral de Cauchy: Para una función analítica 𝑓(𝑧) y un contorno cerrado simple 𝐶, la integral de línea alrededor de 𝐶 es cero: ∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 0.
- Fórmula de Cauchy: Para una función analítica 𝑓(𝑧) y un punto 𝑧0 dentro de un contorno cerrado simple 𝐶, la integral de línea alrededor de 𝐶 proporciona el valor de 𝑓(𝑧0): 𝑓(𝑧0) = 1/(2𝜋𝑖) ∮ 𝑓(𝑧)/(𝑧 − 𝑧0) 𝑑𝑧.
- Aplicación: Para evaluar ∮ 𝑧 3(𝑧−1)2 𝑑𝑧 con 𝑐: |𝑧 − 2| = 5, identifica el punto singular 𝑧0 = 1 y aplica la fórmula de Cauchy.
Series de Laurent
- Definición: Una serie de Laurent es una serie de potencias que incluye potencias negativas y positivas de (𝑧 − 𝑧0).
- Desarrollo: Para 𝑓(𝑧) = 𝑠𝑒𝑛 𝑧/(𝑧−𝜋)4, encuentra la serie de Laurent en 𝑧0 = 𝜋.
- Radio de Convergencia: Determina el intervalo donde la serie converge.
- Parte Principal: Los términos con potencias negativas de (𝑧 − 𝑧0).
- Parte Analítica: Los términos con potencias positivas de (𝑧 − 𝑧0).
- Residuo: El coeficiente del término (𝑧 − 𝑧0)^-1 en la serie de Laurent.
- Clasificación de Singularidades: Identifica los tipos de singularidades (removibles, polos, esenciales).
Teorema del Residuo
- Residuo: Para una función analítica 𝑓(𝑧) con una singularidad aislada en 𝑧0, el residuo de 𝑓(𝑧) en 𝑧0 es 𝑅𝑒𝑠(𝑓, 𝑧0) = 1/(2𝜋𝑖) ∮ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧, donde 𝐶 es un contorno cerrado simple que encierra a 𝑧0.
- Teorema del Residuo: La integral de una función analítica alrededor de un contorno cerrado simple 𝐶 es igual a 2𝜋𝑖 veces la suma de los residuos de 𝑓(𝑧) en los puntos singulares dentro de 𝐶.
- Aplicación: Para evaluar ∮ 1/((𝑧−1)2 (𝑧−3))𝑑𝑧, identifica los puntos singulares 𝑧0 = 1 y 𝑧0 = 3, calcula los residuos y aplica el Teorema del Residuo para ambos contornos.
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Description
Este cuestionario explora conceptos clave de funciones armónicas, incluyendo la ecuación de Laplace, funciones analíticas y la fórmula integral de Cauchy. Se te pedirá verificar si ciertas funciones son armónicas y aplicar la fórmula de Cauchy en ejemplos específicos. Prepara tus conocimientos en cálculo complejo y ecuaciones diferenciales.
