Función Derivable: Cálculo de Derivadas

Unidad 3: Derivadas

• La unidad cubre el concepto de derivadas, sus reglas, aplicaciones y teoremas relacionados

3.1. Función Derivable

• Una función $f$ es derivable en $x$ si existe el límite $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.
• Este límite se denota como $f'(x)$ y es la derivada de $f$ en $x$.

Notaciones Alternativas

• Las notaciones incluyen $f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = D_x[y] = D_x[f(x)]$.
• $f$ es derivable en un intervalo abierto $(a, b)$ si el límite existe para todo $x$ en $(a, b)$.

Derivadas Laterales

• Derivada por la derecha: $f'(x^+) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.
• Derivada por la izquierda: $f'(x^-) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.
• $f$ es derivable en $x$ si y sólo si $f'(x^+) = f'(x^-)$.

Teorema Clave

• Si $f$ es derivable en $x$, entonces $f$ es continua en $x$.
• El recíproco no es necesariamente cierto.

Reglas de Derivación

• Derivada de una constante: $\frac{d}{dx}[c] = 0$.
• Derivada de una constante por una función: $\frac{d}{dx}[cf(x)] = cf'(x)$.
• Derivada de una suma: $\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$.
• Derivada de una resta: $\frac{d}{dx}[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)$.
• Derivada de un producto: $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.
• Derivada de un cociente: $\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$, con $g(x) \neq 0$.
• Regla de la cadena: Si $y = f(u)$ y $u = g(x)$, entonces $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.

Derivadas de Orden Superior

• $f''$ es la segunda derivada de $f$, derivada de $f'$.
• Las notaciones incluyen $f'''$, $f^{(4)}$, ..., $f^{(n)}$.
• Notaciones alternativas: $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$, $y''' = \frac{d^3y}{dx^3}$, $y^{(n)} = \frac{d^ny}{dx^n}$.

3.2. Derivación Implícita

Función Implícita

• Una función definida implícitamente no está expresada en la forma $y = f(x)$.
• Ejemplos: $x^2 + y^2 = 1$, $x^3 + y^3 - 3xy = 0$.

Derivación Implícita

• Técnica para calcular la derivada de una función definida implícitamente.
• Se deriva ambos lados de la ecuación con respecto a $x$ y se aplica la regla de la cadena cuando sea necesario, luego se despeja $\frac{dy}{dx}$.
• Ejemplo: Si $x^2 + y^2 = 1$, entonces $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.

3.3. Aplicaciones de la Derivada

3.3.1. Rectas Tangente y Normal

• Recta tangente en $(x_0, f(x_0))$ tiene pendiente $f'(x_0)$.
• Su ecuación es $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.
• Recta normal en $(x_0, f(x_0))$ tiene pendiente $-\frac{1}{f'(x_0)}$, si $f'(x_0) \neq 0$.
• Su ecuación es $y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$.

3.3.2. Razones de Cambio Relacionadas

• Problemas que relacionan las tasas de cambio de dos o más variables.
• Pasos para resolverlos: leer, dibujar, identificar variables y tasas, escribir ecuación, derivar con respecto a $t$, sustituir valores y despejar, interpretar.

3.3.3. Valores Máximos y Mínimos

• $f(c)$ es un valor máximo absoluto si $f(c) \geq f(x)$ para todo $x$ en $I$.
• $f(c)$ es un valor mínimo absoluto si $f(c) \leq f(x)$ para todo $x$ en $I$.
• $f(c)$ es un valor máximo local si $f(c) \geq f(x)$ para todo $x$ en un intervalo alrededor de $c$.
• $f(c)$ es un valor mínimo local si $f(c) \leq f(x)$ para todo $x$ en un intervalo alrededor de $c$.
• Los valores máximos y mínimos se llaman valores extremos.

Teorema del Valor Extremo

• Si $f$ es continua en $[a, b]$, entonces $f$ tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en $[a, b]$.

Números Críticos

• Si $f'(c) = 0$ o $f'(c)$ no existe, entonces $c$ es un número crítico de $f$.

Teorema Clave

• Si $f$ tiene un valor máximo o mínimo local en $c$, entonces $c$ es un número crítico de $f$.

Procedimiento para Hallar Valores Extremos Absolutos en $[a, b]$

• Hallar los números críticos de $f$ en $(a, b)$.
• Evaluar $f$ en cada número crítico en $(a, b)$.
• Evaluar $f$ en los extremos $a$ y $b$.
• El mayor valor es el máximo absoluto, el menor es el mínimo absoluto.

3.3.4. Criterio de la Primera Derivada

• Si $f'$ cambia de positiva a negativa en $c$, entonces $f$ tiene un máximo local en $c$.
• Si $f'$ cambia de negativa a positiva en $c$, entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$.
• Si $f'$ no cambia de signo en $c$, entonces $f$ no tiene un máximo ni un mínimo local en $c$.

3.3.5. Criterio de la Segunda Derivada

• Si $f'(c) = 0$ y $f''(c) > 0$, entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$.
• Si $f'(c) = 0$ y $f''(c) < 0$, entonces $f$ tiene un máximo local en $c$.
• Si $f'(c) = 0$ y $f''(c) = 0$, el criterio no es concluyente.

3.3.6. Concavidad y Puntos de Inflexión

• Si $f'$ es creciente en $I$, entonces la gráfica de $f$ es cóncava hacia arriba en $I$.
• Si $f'$ es decreciente en $I$, entonces la gráfica de $f$ es cóncava hacia abajo en $I$.

Criterio de Concavidad

• Si $f''(x) > 0$ para todo $x$ en $I$, entonces la gráfica de $f$ es cóncava hacia arriba en $I$.
• Si $f''(x) < 0$ para todo $x$ en $I$, entonces la gráfica de $f$ es cóncava hacia abajo en $I$.

Punto de Inflexión

• Punto donde la concavidad cambia.
• Si $(c, f(c))$ es un punto de inflexión, entonces $f''(c) = 0$ o $f''(c)$ no existe.

3.3.7. Asíntotas

Asíntotas Horizontales

• $y = L$ es una asíntota horizontal si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ o $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$.

Asíntotas Verticales

• $x = a$ es una asíntota vertical si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ o $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$.

Asíntotas Oblicuas

• $y = mx + b$ es una asíntota oblicua si $\lim_{x \to \infty} [f(x) - (mx + b)] = 0$ o $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (mx + b)] = 0$.
• Se hallan calculando $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ y $b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$.

3.3.8. Trazo de Curvas

• Para trazar la gráfica, se deben considerar: dominio, intersecciones, simetría, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos locales, concavidad y puntos de inflexión.

3.4. Optimización

• Consiste en hallar el valor máximo o mínimo de una función sujeta a ciertas restricciones.
• Pasos: leer, dibujar, identificar función objetivo y variables, escribir restricción, expresar la función objetivo en términos de una sola variable, hallar valores críticos, verificar si son máximos o mínimos, interpretar.

3.5. Teorema de Rolle

Teorema de Rolle

• Si $f$ es continua en $[a, b]$, derivable en $(a, b)$ y $f(a) = f(b)$, entonces existe al menos un $c$ en $(a, b)$ tal que $f'(c) = 0$.

3.6. Teorema del Valor Medio

Teorema del Valor Medio

• Si $f$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, entonces existe al menos un $c$ en $(a, b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

Interpretación Geométrica

• Existe un punto $c$ donde la tangente a la gráfica de $f$ es paralela a la recta secante entre $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$.