Fuerza de Tensión: Cuerdas Ideales

Tensión

• Es una fuerza de tracción ejercida por una cuerda, cable, cadena o similar sobre un objeto.
• El símbolo que la representa es $T$.

Características de la tensión

• Dirección: Actúa a lo largo de la dirección de la cuerda o cable.
• Sentido: Tira del objeto al que está unida la cuerda o cable.
• Magnitud: Depende de la fuerza aplicada a la cuerda o cable.

Tensión en Cuerdas Ideales

• Las cuerdas ideales son inextensibles (longitud constante) y tienen masa despreciable.
• La tensión es uniforme en todos sus puntos.

Ejemplos de Tensión

• Bloque de masa $m$ suspendido verticalmente: $T = mg$, con $g$ siendo la aceleración de la gravedad.
• Bloque de masa $m$ arrastrado horizontalmente con aceleración $a$: $T = ma$, representando la fuerza neta.
• Dos bloques de masas $m_1$ y $m_2$ unidos por una cuerda sobre una polea comparten la misma tensión: $T = m_1 (g + a) = m_2 (g - a)$, donde $a$ es la aceleración del sistema.

Capacidad del Canal

Definición

• La capacidad del canal de un canal discreto sin memoria (DMC) es la máxima información mutua entre la entrada y la salida del canal.
• Se maximiza sobre todas las distribuciones de entrada posibles $p(x)$: $C = \max_{p(x)} I(X; Y)$
• $C$ es la capacidad del canal en bits por uso del canal.
• $X$ es la variable aleatoria de entrada.
• $Y$ es la variable aleatoria de salida.
• $p(x)$ es la función de masa de probabilidad de la entrada.
• $I(X; Y)$ es la información mutua entre $X$ y $Y$.

Propiedades de la Capacidad del Canal

• $C \geq 0$: La capacidad del canal es no negativa, ya que la información mutua siempre es no negativa.
• $C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)$: La capacidad del canal está limitada por el logaritmo del tamaño de los alfabetos de entrada y salida.

Ejemplo: Canal Binario Sin Ruido

• Canal binario con entrada $X \in {0, 1}$ y salida $Y \in {0, 1}$, donde la salida es idéntica a la entrada ($Y = X$).
• La matriz del canal es $\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
• La información mutua se maximiza cuando la entrada está distribuida uniformemente, es decir, $p(X = 0) = p(X = 1) = 0.5$.
• $I(X; Y) = H(Y) - H(Y|X) = H(Y) - 0 = 1$ bit
• La capacidad del canal es $C = 1$ bit.

Ejemplo: Canal Ruidoso Con Salidas No Superpuestas

• Canal con entrada $X \in {1, 2, 3}$ y salida $Y \in {1, 2, 3}$, con probabilidades condicionales:
  • $P(Y = 1 | X = 1) = 1$
  • $P(Y = 2 | X = 2) = 1$
  • $P(Y = 3 | X = 3) = 1$
• La relación entrada-salida es determinista y no superpuesta.
• Se maximiza la información mutua usando todas las entradas con igual probabilidad: $C = \max I(X; Y) = \log |X| = \log 3$ bits

Ejemplo: Canal Binario Simétrico (BSC)

• Canal binario simétrico (BSC) con probabilidad de cruce p.
• La matriz del canal es $\begin{bmatrix} 1-p & p \ p & 1-p \end{bmatrix}$
• La información mutua es $I(X; Y) = H(Y) - H(Y|X) = H(Y) - H(p)$
• $H(p)$ es la función de entropía binaria: $H(p) = -p \log p - (1 - p) \log (1 - p)$
• Para maximizar $I(X; Y)$, se maximiza $H(Y)$, que ocurre cuando $Y$ está uniformemente distribuido, y $X$ también: $C = 1 - H(p)$ bits

Ejemplo: Canal Binario de Borrado (BEC)

• Canal binario de borrado (BEC) con probabilidad de borrado p.
• La entrada es $X \in {0, 1}$ y la salida es $Y \in {0, 1, e}$, donde 'e' indica un borrado.
• La matriz del canal es $\begin{bmatrix} 1-p & p & 0 \ 0 & p & 1-p \end{bmatrix}$
• Sea $\alpha = P(X = 0)$, entonces $P(X = 1) = 1 - \alpha$.
• $I(X; Y) = H(Y) - H(Y|X)$
• $H(Y|X) = p$
• $C = 1 - p$ bits (logrado con una distribución uniforme en X)

Capacidad de un Canal Gaussiano de Banda Limitada

• La capacidad de un canal Gaussiano de banda limitada con ancho de banda $B$ Hz y relación señal a ruido ($SNR$) se da por el teorema de Shannon-Hartley: $C = B \log_2(1 + SNR)$ bits por segundo
• $C$ es la capacidad del canal, y $B$ es el ancho de banda del canal.
• $SNR$ es la relación señal a ruido, definida como $SNR = \frac{S}{N}$, donde $S$ es la potencia promedio de la señal recibida y $N$ es la potencia promedio del ruido.
• Para ruido blanco Gaussiano aditivo (AWGN) con densidad espectral de potencia $\frac{N_0}{2}$, $N = N_0 B$.
• La capacidad del canal se convierte en $C = B \log_2(1 + \frac{S}{N_0 B})$ bits por segundo.

Guías Clínicas

Asociación Americana de Diabetes (ADA)

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