Fuerza de Tensión: Cuerdas y Cables

Tension

• La tensión es una fuerza ejercida por un cable, cuerda, hilo, o similar sobre un objeto.
• Actúa a lo largo del cable, tirando con una fuerza paralela al cable en el extremo opuesto.

Ejemplos de Tensión

• Bloque Tirado Horizontalmente: La tensión tira del bloque hacia la derecha.
• Bloque Colgando Verticalmente: La tensión tira del bloque hacia arriba, equilibrando la gravedad.
• Bloque Tirado en Ángulo: La tensión tiene componentes horizontal (tira hacia la derecha) y vertical (tira hacia arriba).

Ejemplo de Cálculo de Tensión:

• Un objeto de 5.0 kg es halado hacia arriba con una aceleración de 0.30 m/s².
• Diagrama de cuerpo libre: Incluye la tensión ($T$) hacia arriba y el peso ($mg$) hacia abajo.
• Segunda ley de Newton: $\sum F = ma$, donde $T - mg = ma$.
• Resolviendo para Tensión: $T = m(a + g) = (5.0 , \text{kg})(0.30 , \text{m/s}^2 + 9.8 , \text{m/s}^2) = 50.5 , \text{N}$.
• La tensión en la cuerda es de 50.5 N.

Ley de Coulomb

• La fuerza entre dos cargas ($q_1$ y $q_2$) se calcula con la ley de Coulomb: $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$, donde $k \approx 9 \times 10^9 \ Nm^2/C^2$ y $r$ es la distancia.
• La fuerza es atractiva si las cargas tienen signos opuestos.
• La fuerza es repulsiva si las cargas tienen el mismo signo.

Ejemplo Ley de Coulomb

• Dos cargas, $q_1 = +1 \ C$ y $q_2 = -1 \ C$, separadas por 1 m: $F = (9 \times 10^9) \frac{(1)(-1)}{(1)^2} = -9 \times 10^9 \ N$.
• El signo negativo indica fuerza atractiva.

Campo Eléctrico

• Campo eléctrico ($\vec{E}$ ) es la fuerza por unidad de carga sobre una carga de prueba positiva: $\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}$
• El campo eléctrico debido a una carga puntual $Q$ a distancia $r$: $E = k \frac{Q}{r^2}$.

Potencial Eléctrico

• Potencial eléctrico ($V$) es la energía potencial eléctrica por unidad de carga: $V = \frac{U}{q}$.
• El potencial eléctrico debido a una carga puntual $Q$ a distancia $r$: $V = k \frac{Q}{r}$.

Ejemplo de Potencial Eléctrico

• Para una carga de $Q = +1 \ C$ a una distancia de 1 m: $V = (9 \times 10^9) \frac{1}{1} = 9 \times 10^9 \ V$.

Capacitancia

• Un capacitor almacena energía eléctrica.
• La capacitancia ($C$) es la relación entre la carga ($Q$) almacenada y la diferencia de potencial ($V$): $C = \frac{Q}{V}$.
• Para un capacitor de placas paralelas con área $A$ y separación $d$: $C = \epsilon_0 \frac{A}{d}$, donde $\epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$.

Ejemplo de Capacitancia

• Un capacitor de placas paralelas con $A = 1 \ m^2$ y $d = 0.001 \ m$: $C = (8.85 \times 10^{-12}) \frac{1}{0.001} = 8.85 \times 10^{-9} \ F = 8.85 \ nF$.

Transformaciones 3D (Continuación)

Eje de Rotación Arbitrario

• $\hat{r} = (r_x, r_y, r_z)$ es un vector unitario.
• $\theta$ es el ángulo de rotación.
• $R(\hat{r}, \theta) = ?$

Fórmula de Rodrigues

• $R(\hat{r}, \theta) = cos(\theta)I + sin(\theta)[\hat{r}]_\times + (1 - cos(\theta))\hat{r}\hat{r}^T$
• Donde:
  • $[\hat{r}]_\times = \begin{bmatrix} 0 & -r_z & r_y \ r_z & 0 & -r_x \ -r_y & r_x & 0 \end{bmatrix}$
  • $\hat{r}\hat{r}^T = \begin{bmatrix} r_x^2 & r_x r_y & r_x r_z \ r_y r_x & r_y^2 & r_y r_z \ r_z r_x & r_z r_y & r_z^2 \end{bmatrix}$
  • $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
• Pasos para implementar en código:
  • Normalizar $\hat{r}$.
  • Calcular $[\hat{r}]_\times$.
  • Calcular $\hat{r}\hat{r}^T$.
  • Sustituir los valores en la fórmula.

Quaterniones

• Representación de rotación.
• Número hipercomplejo.
• Tiene 4 componentes: 1 real y 3 imaginarias.
• $q = w + xi + yj + zk$.
• $q = [w, \vec{v}]$ donde $\vec{v} = (x,y,z)$.
• $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$.
• $ij = k, ji = -k$.
• $jk = i, kj = -i$.
• $ki = j, ik = -j$.

Operaciones con Quaterniones

• Conjugado: $q^* = [w, -\vec{v}]$.
• Norma: $||q|| = \sqrt{w^2 + x^2 + y^2 + z^2}$.
• Quaternión Unitario: $\hat{q} = q / ||q|| $ donde $||\hat{q}|| = 1$.
• Multiplicación de Quaterniones: $q_1q_2 = [w_1w_2 - \vec{v_1} \cdot \vec{v_2}, w_1\vec{v_2} + w_2\vec{v_1} + \vec{v_1} \times \vec{v_2}]$.
  • ¡Recordar el orden!

Matriz de Rotación a partir de Quaterniones

• $R = \begin{bmatrix} 1 - 2y^2 - 2z^2 & 2xy - 2wz & 2xz + 2wy \ 2xy + 2wz & 1 - 2x^2 - 2z^2 & 2yz - 2wx \ 2xz - 2wy & 2yz + 2wx & 1 - 2x^2 - 2y^2 \end{bmatrix}$, donde $q = [w, x, y, z]$.

Quaterniones a partir de Matriz de Rotación

• $w = \frac{1}{2}\sqrt{1 + R_{11} + R_{22} + R_{33}}$.
• $x = \frac{R_{32} - R_{23}}{4w}$.
• $y = \frac{R_{13} - R_{31}}{4w}$.
• $z = \frac{R_{21} - R_{12}}{4w}$, donde $R_{ij}$ es el elemento en la fila $i$ y columna $j$ de la matriz de rotación $R$.